高考数学 第二节 常用逻辑用语教材.docx

1、高考数学 第二节 常用逻辑用语教材2019-2020年高考数学 第二节 常用逻辑用语教材教 材 面 面 观1逻辑联结词(1)可以判断_的语句叫命题，不含逻辑联结词的命题叫做_命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做_命题(2)逻辑联结词_：两个简单命题至少一个成立_：两个简单命题均成立_：对一个命题的否定(3)真值表：表示命题_的表叫真值表复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：pq綈ppqpq真真_真假_假真_假假_答案：真假简单复合或且非真假假真真假真假真真假真假假2四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定于是四种命题的形式为：原命题：_

2、；逆命题：_；否命题：_；逆否命题：_.答案若p则q若q则p若綈p则綈q若綈q则綈p3全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做_，并用符号“”表示，含有全称量词的命题叫做_(2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事件的个体或部分，逻辑中通常叫做_，并用符号“”表示，含有存在量词的命题叫做_(3)全称命题与存在性命题的否定对于全称命题p：xM，p(x)，其否定为綈p：_；对于存在性命题q：xM，q(x)，其否定为綈q：_.答案全称量词全称命题存在量词存在性命题xM，綈p(x)xM，綈q(x)4充要条件的概念(1)充要条件：命题AB成立，则A

3、是B的_，B是A的_若AB且BA，则A是B的_，简称_(2)“A是B的充分条件”与“_”是等价的，它们是同一个逻辑关系“AB”的不同表达(3)“A是B的充分条件”亦可说成“_”；“B是A的必要条件”亦可说成“_”；“A是B的充要条件”，同时“B也是A的充要条件”答案充分条件必要条件充分且必要条件充要条件B是A的必要条件A的必要条件是BB的充分条件是A考 点 串 串 讲1命题与逻辑联结词(1)命题初中课本中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命题而高中课本中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题说法不同，实质一样语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不能判断真假的语句就不是命题如：3是12

4、的约数吗？他是一个大胖子x5.它们都不是命题语句不涉及真假，语句中“大胖子”没有界定，所以不能判断，语句，由于x是未知数也不能判断“x5”是否成立(2)简单命题与复合命题不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题简单命题虽不含逻辑联结词，但它必须是命题，如果连命题都不是更谈不上是简单命题了含逻辑联结词的未必是复合命题如：语句：x2或x2就不是复合命题，因为它根本就不是命题而语句：可以被5整除的整数，末位是0.此句没有逻辑联结词，但它却是一个复合命题，因为它可以化为复合命题的另一种形式蕴含式，即“pq”形式(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑

5、联结词这三个逻辑联结词的使用，构成了三种基本逻辑运算，对于两个集合A、B，其内涵与集合运算中的“并”、“交”、“补”如出一辙：“或”就是“或A”、“或B”、“或A与B”三者的总和，与集合中求“并”一致；“且”就是“既A且B”等同于集合的“交”；而“非”与集合中求“补”意义相同因此，“或”、“且”、“非”是三种逻辑运算，可用集合中的“并”、“交”、“补”来描述除“或”、“且”、“非”这三个逻辑联结词外，还有其他的逻辑联结词，如“若则”，“因为所以”等这些逻辑联结词也构成了命题之间的逻辑运算，但我们目前高中阶段只研究三种最基本的逻辑运算对“或”、“且”、“非”的理解需注意：()“非”与求“补”的意

6、义一样()“非p”必须包括p的所有对立面根据“非p”与求“补”的意义相同，假定“非p”与p的结论所确定的集合分别为A、B，全集为U，则由ABU，AB.所以“非p”的结论必须包括p的所有对立面如：在ABC中，设命题p：A一定是锐角，则“非p”为：A一定不是锐角，而不能表述为：A不一定是锐角因为“一定是”的对立面为“一定不是”，而不是“不一定是”正因为“非p”包括p的所有对立面，所以“非p”与p的真假相反()“非p”与否命题两者不可混淆“非”就是否定，所以“非p”也称为命题p的否定，但“非p”只否定命题包括简单命题和(含有或、且、非的)复合命题的结论，不否定条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题

7、是对原命题的条件与结论全部否定，这就是“非p”与否命题的根本区别()“非p”常用的否定词语()数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题；命题一定有逆命题，而定理未必有逆定理()“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的命题“p或q”为真的三种情况：只有p成立、只有q成立、p与q同时成立()“或”、“且”联结词的命题的否定形式：命题“p或q”的否定是“非p且非q”、命题“p且q”的否定是“非p或非q”其理解方式类似于集合中的I(AB)(IA)(IB)、I(AB)(IA)(IB)(4)真值表表示命题真假的表叫真值表p：四条边相

8、等的四边形是正方形错解：非p：四条边相等的四边形不是正方形这里p是假命题，所以“非p”应是真命题，而叙述的语句却也是假命题，因此这种叙述不符合要求正解：非p：四条边相等的四边形不都是正方形因为在p中结论为“都是正方形”，所以其否定应为：“不都是”或、且、非的复合命题()非p形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真()p且q形式的复合命题：当p、q都为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假()p或q形式的复合命题：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真注意“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，这要看具体问题中“是”的含义2四种命题(1)四种命题原命题与

9、逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题如果把两个互逆命题的其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题如：原命题是：同位角相等，两直线平行()逆命题是：两直线平行，同位角相等()因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题就是逆命题否命题与逆否命题如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题把其中一个命题叫做原命题的话，那么另一个就叫做原命题的否命题如：()的否命题是：同位角不相等，两直线不平行如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件

10、的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题把其中一个命题叫做原命题的话，另一个就叫做原命题的逆否命题如：()的逆否命题是：两直线不平行，同位角不相等(2)四种命题之间的关系逆命题是由原命题的条件与结论互相交换而得即如果原命题为：若p则q，那么逆命题就是“若q则p”，所以原命题与逆命题是互逆的关系否命题是把原命题的条件和结论同时否定而得即原命题为：若p则q，则否命题为“若綈p则綈q”，则原命题也是把否命题的条件和结论同时否定，所以原命题与否命题是互否关系交换原命题的条件和结论，并且同时否定所得命题就是逆否命题如果原命题为“若p则q”，则逆否命题就是“若綈q则綈p”，反过来把逆否命题“若綈q则綈p”的

11、条件綈q与结论綈p交换后再否定就是“若p则q”，这就是原命题，所以原命题与逆否命题是互为逆否的关系同样的道理，把逆命题“若q则p”的条件与结论同时否定就得到“若綈q则綈p”，这就是逆否命题，所以逆命题与逆否命题是互否的关系再看否命题与逆否命题的关系，从否命题“若綈p则綈q”以及逆否命题“若綈q则綈p”它们的结构看，可知否命题与逆否命题是互逆的关系最后逆命题与否命题的关系，从结构上看否命题是把逆命题的条件与结论先交换后否定而得，因此逆命题与否命题是互为逆否的关系四种命题之间的关系如图所示(3)命题的真假与等价一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系原命题为真，它的逆命题不一定为真例如，原

12、命题：若a0，则ab0是真命题，而它的逆命题若ab0，则a0是假命题原命题为真，它的否命题不一定为真例如，原命题：若a0，则ab0，是真命题，它的否命题：若a0，则ab0是假命题原命题为真，它的逆否命题一定为真仍以上面的原命题为例，它的逆否命题：若ab0，则a0，这是真命题根据以上分析可知：原命题与它的逆否命题是等价的因为逆命题与否命题也是互为逆否的关系，所以逆命题与否命题是等价的3全称量词与存在量词(1)全称命题为真时，表示在所限定的集合中的每一个元素都具有某种属性，使所给语句为真；存在性命题为真时，表示在限定的集合中有一些元素具有某种属性，使所给语句为真(2)一般地，若一个全称命题是真命题

13、，那么它的否定是一个存在性命题，并且是假命题；若一个存在性命题是真命题，那么它的否定是一个全称命题，并且是假命题(3)对于同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择，以下列表表示：(4)对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定在对全称命题进行否定时，要特别注意有些命题可能省略了全称量词例如：实数的绝对值是正数，它的否定应该为：存在一个实数，它的绝对值不是正数，而不能写成：实数的绝对值不是正数4充要条件(1)充分条件在一个命题“若p则q”中，p是条件，q是结论若由条件p能够推出结论q，则称p是q的充分条件通俗地讲就是有了条件p就足以保证结论q

14、成立即pq.“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”，根据逆否命题与原命题等价的性质可知，如果p是q成立的充分条件，那么q就是p成立的必要条件如45是tan1的充分条件，反过来tan1就是45的必要条件(2)必要条件在命题“若p则q”中，如果由q能推出p，则qp则称p是q的必要条件，这一点可由“若q则p”与命题“若綈p则綈q”的等价性知道，说明：没有p就没有q，所以p是q的必要条件由必要条件的定义可知，若p是q的必要条件，那么q就是p成立的充分条件如cos是的必要条件(但不是充分条件)，而却是cos的充分条件(但不是必要条件)(3)充要条件如果p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就称p是

15、q的充要条件，即充分且必要条件就是pq.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，这点由定义不难理解如：“四条边都相等的矩形”是“正方形”的充要条件，反过来，“正方形”也是“四条边都相等的矩形”的充要条件(4)从命题的真假角度认识充要条件设有命题()“若p则q”和命题()“若q则p”，若命题()是真命题，而命题()是假命题，则p是q的充分不必要条件；若命题()是真命题，而命题()是假命题，则p是q的必要不充分条件；若两个命题都是真命题，则p是q的充分必要条件；若两个命题都是假命题，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(5)用集合的包含关系来分析充分条件、必要条件与充要条件设集合Ax|

16、x满足p，Bx|x满足q若AB，即A中的任何一个元素都是B中的元素，所以由p可推出q，即pq.当AB时，p是q的充分条件如：“张三是湖北人”是“张三是中国人”的充分条件湖北人中国人，特别地当AB时，p是q的充分不必要条件若AB即B是A的子集，所以由q能推出p，此时p是q成立的必要条件特别地当AB时，p是q的必要不充分条件对于与通俗地讲就是“小充分，大必要”若AB，则p是q成立的充要条件，所以“不大不小是充要”若A B，且B A，则p是q成立的既不充分也不必要条件(6)充分条件与必要条件的判断方法定义法：()分清条件与结论，即分清哪一个是条件，哪一个是结论；()找推式，即判断pq及qp的真假；(

17、)下结论，即根据推式及定义下结论等价法：将命题等价转化为另一个等价的又便于判断真假的命题集合法：写出集合Ax|p(x)及Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断注意注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.典 例 对 对 碰题型一 利用真值表判断复合命题的真假例1已知命题p：xR，使tanx1，命题q：x23x20的解集是x|1x2，给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题其中正确的是()ABC D解析命题p：xR，使tanx1是真命题，命题q：x23x20的解集是x|1x2也是真命题，命题“

18、pq”是真命题；命题“p綈q”是假命题；命题“綈pq”是真命题；命题“綈p綈q”是假命题，故应选D.答案D变式迁移1若命题p：不等式axb0的解集是x|x，命题q：关于x的不等式(xa)(xb)0的解集是x|axb，则在命题：“p且q”、“p或q”、“非p”、“非q”中，是假命题的有_答案“p且q”、“p或q”解析依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p且q”为假、“p或q”为假、“非p”为真、“非q”为真.题型二 四种命题例2下列命题中的真命题是()A命题“若a、b都是偶数，则ab是偶数”的逆命题B命题“奇数的平方不是偶数”的否定C命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题D命题“至少有一个内

19、角为60的三角形是正三角形”的否命题分析根据“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”和“命题的否定”的概念逐一得出命题后，再进行真假判断，也可以利用等价命题来判断原命题的真假，确定一个命题的是假命题时可以灵活运用特殊值方法解析选项A中的命题是“ab是偶数，则a、b都是偶数”，举一反例即能断定这是一个假命题；选项B中的命题是“存在一个奇数，其平方是偶数”，显然也是一个假命题；注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集，选项C中的原命题是一个假命题，它的逆否命题也是一个假命题；选项D中的命题是“三个内角均不为60的三角形不是正三角形”，这显然是一个真命题答案D点评原命题与它的逆命题不等价

20、，原命题与它的否命题也不等价，解题时应该充分注意这一点，要避免犯“用一个命题的逆命题或否命题的真假来断定原命题的真假”的错误.变式迁移2分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：(1)若q1，则方程x22xq0有实数根；(2) 解析(1)逆命题是“若方程x22xq0有实数根，则q1”，是假命题；否命题是“若q1，则方程x22xq0没有实数根”，是假命题；逆否命题是“若方程x22xq0没有实数根，则q1”，同原命题一样是一个真命题(2)原命题即“若a0，且b0，则ab0，且ab0”，是一个真命题；逆命题是“若ab0，且ab0，则a0，且b0”，是一个真命题；否命题是“若a0，或

21、b0，则ab0，或ab0”，逆否命题是“若ab0，或ab0，则a0，或b0”，从原命题和逆命题都是真命题可以断定否命题和逆否命题也都是真命题.题型三 判断含有量词的命题的真假例3有四个关于三角函数的命题：p1：xR，sin2cos2p2：x，yR，sin(xy)sinxsinyp3：x0，,sinxp4：sinxcosyxy其中的假命题是()Ap1，p4 Bp2，p4Cp1，p3 Dp2，p3分析对于全称命题，只有当该命题对涉及的变量或参数的所有值都成立时，才是真命题，只要有一个不成立，就是假命题；而对于存在性命题，只要该命题对涉及的变量或参数的某个(某些)值成立，该命题就是真命题解析本题考查

22、全称命题与存在性命题真假的判断p1：xR，sin2cos2是假命题；p2是真命题，如xy0时成立；p3是真命题，x0，sinx0，|sinx|sinx；p4是假命题，如x，y2时，sinxcosy，但xy.答案A变式迁移3已知命题p：x0，cos2xcosxm0为真命题，则实数m的取值范围是()A，1 B，2C1,2 D，)答案C解析依题意，cos2xcosxm0在x0，上恒成立，即cos2xcosxm.令f(x)cos2xcosx2cos2xcosx12(cosx)2，由于x0，所以cosx0,1，于是f(x)1,2，因此实数m的取值范围是1,2.题型四 含有量词的命题的否定例4命题“存在x

23、0R,2x00”的否定是()A不存在x0R,2x00B存在x0R,2x00C对任意的xR,2x0D对任意的xR,2x0分析在写出全称命题(或存在性命题)的否定时，一般要在两个地方作出变化，一是量词符号，全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词；二是命题中的语句要进行否定解析本题考查全称命题与存在性命题的否定原命题为存在性命题，其否定为全称命题，而“”的否定是“”，所以其否定为“对任意的xR,2x0”，故选D.答案D变式迁移4若命题p：xR,2x210，则该命题的否定是()AxR,2x210BxR,2x210CxR,2x210DxR,2x210答案C解析原命题为全称命题，其否定应为存在性命

24、题.题型五 充分条件与必要条件例5(1)若集合P1,2,3,4，Qx|0x5，xR，则()A“xP”是“xQ”的充分条件但不是必要条件B“xP”是“xQ”的必要条件但不是充分条件C“xP”是“xQ”的充要条件D“xP”既不是“xQ”的充分条件也不是“xQ”的必要条件(2)设m、n是整数，则“m、n均为偶数”是“mn是偶数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(3)“|x1|2成立”是“x(x3)0成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(4)“a1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的()A充分而不必要条件B必要而不

25、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析(1)01,2,3,45，“xP”“xQ”，但1.5Q/ 1.5P，“xP”是“xQ”的充分条件但不是必要条件(2)命题“m、n为偶数”能够推出命题“mn是偶数”，但是m，n均为奇数时，满足mn是偶数即命题“mn为偶数”不能推出命题“m、n均为偶数”“m、n均为偶数”是“mn是偶数”的充分不必要条件(3)|x1|22x121x3，又x(x3)00x3，0x31x3，反之不成立，从而得出|x1|2是x(x3)0的必要不充分条件(4)由直线xy0和直线xay0互相垂直得(1)1(a0时不合题意)，得a1，故a1是直线xy0和直线xay0互相垂直的充要条件

26、答案(1)A(2)A(3)B(4)C变式迁移5条件p：|x1|2，条件q：x2，则綈p是綈q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由|x1|2得x12或x12，即x3或x1，于是綈p：3x1.由已知得綈q：x2.由3x1可得x2；但由x2不能得知3x1.因此綈p是綈q的充分不必要条件，选A.题型六 利用简易逻辑知识解决数学综合题例6已知c0，设p：函数ycx在R上单调递减，q：不等式x|x2c|1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围解析函数ycx在R上单调递减0c1.不等式x|x2c|1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.

27、x|x2c|函数yx|x2c|在R上的最小值为2c.不等式x|x2c|1的解集为R2c1c.如果p正确，且q不正确，则0c；如果p不正确，且q正确，则c1.c的取值范围为(0，1，).变式迁移6已知p：方程x2mx10有两个不等的负根，q：方程4x24(m2)x10无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围解析若方程x2mx10有两个不等的负根，则，解得m2，即p：m2；若方程4x24(m2)x10无实根，则16(m2)21616(m24m3)0，解得1m3，即q：1m3.因p或q为真，所以p、q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真或解得：m3或1m2.【教师备课资源】题型七 充要条件的证明与探索例7设a，b，c为ABC的三边，求证：方程x22