高考数学 第二节 常用逻辑用语教材.docx
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高考数学第二节常用逻辑用语教材
2019-2020年高考数学第二节常用逻辑用语教材
教材面面观
1．逻辑联结词
（1）可以判断________的语句叫命题，不含逻辑联结词的命题叫做________命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做________命题．
（2）逻辑联结词
________：
两个简单命题至少一个成立．
________：
两个简单命题均成立．
________：
对一个命题的否定．
（3）真值表：
表示命题________的表叫真值表．
复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
________
________
________
真
假
________
________
________
假
真
________
________
________
假
假
________
________
________
答案：
真假 简单 复合 或 且 非 真假 假 真 真 假 真 假 真 真 假 真 假 假
2．四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定．于是四种命题的形式为：
原命题：
________；逆命题：
________；
否命题：
________；逆否命题：
________.
答案 若p则q 若q则p 若綈p则綈q 若綈q则綈p
3．全称量词与存在量词
（1）短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做________，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做________．
（2）短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事件的个体或部分，逻辑中通常叫做________，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做________．
（3）全称命题与存在性命题的否定
①对于全称命题p：
∀x∈M，p（x），其否定为綈p：
________；
②对于存在性命题q：
∃x∈M，q（x），其否定为綈q：
________.
答案 全称量词 全称命题 存在量词 存在性命题 ∃x∈M，綈p（x） ∀x∈M，綈q（x）
4．充要条件的概念
（1）充要条件：
命题A⇒B成立，则A是B的________，B是A的________．若A⇒B且B⇒A，则A是B的________，简称________．
（2）“A是B的充分条件”与“________”是等价的，它们是同一个逻辑关系“A⇒B”的不同表达．
（3）“A是B的充分条件”亦可说成“________”；“B是A的必要条件”亦可说成“________”；“A是B的充要条件”，同时“B也是A的充要条件”．
答案 充分条件 必要条件 充分且必要条件 充要条件 B是A的必要条件 A的必要条件是B B的充分条件是A
考点串串讲
1．命题与逻辑联结词
（1）命题
初中课本中给命题下的定义是：
判断一件事情的句子，叫做命题．而高中课本中的定义是：
可以判断真假的语句叫做命题．说法不同，实质一样．语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不能判断真假的语句就不是命题．如：
①3是12的约数吗？
②他是一个大胖子．
③x＞5.
它们都不是命题．语句①不涉及真假，语句②中“大胖子”没有界定，所以不能判断，语句③，由于x是未知数也不能判断“x＞5”是否成立．
（2）简单命题与复合命题
不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题．由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题．
①简单命题虽不含逻辑联结词，但它必须是命题，如果连命题都不是更谈不上是简单命题了．
②含逻辑联结词的未必是复合命题．
如：
语句：
x＞2或x＜－2就不是复合命题，因为它根本就不是命题．而语句：
可以被5整除的整数，末位是0.此句没有逻辑联结词，但它却是一个复合命题，因为它可以化为复合命题的另一种形式——蕴含式，即“pq”形式．
（3）逻辑联结词
①“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．这三个逻辑联结词的使用，构成了三种基本逻辑运算，对于两个集合A、B，其内涵与集合运算中的“并”、“交”、“补”如出一辙：
“或”就是“或A”、“或B”、“或A与B”三者的总和，与集合中求“并”一致；“且”就是“既A且B”等同于集合的“交”；而“非”与集合中求“补”意义相同．因此，“或”、“且”、“非”是三种逻辑运算，可用集合中的“并”、“交”、“补”来描述．
②除“或”、“且”、“非”这三个逻辑联结词外，还有其他的逻辑联结词，如“若……则……”，“因为……所以……”等．这些逻辑联结词也构成了命题之间的逻辑运算，但我们目前高中阶段只研究三种最基本的逻辑运算．
③对“或”、“且”、“非”的理解需注意：
（ⅰ）“非”与求“补”的意义一样．
（ⅱ）“非p”必须包括p的所有对立面．
根据“非p”与求“补”的意义相同，假定“非p”与p的结论所确定的集合分别为A、B，全集为U，则由A∪B＝U，A∩B＝∅.所以“非p”的结论必须包括p的所有对立面．
如：
在△ABC中，设命题p：
∠A一定是锐角，则“非p”为：
∠A一定不是锐角，而不能表述为：
∠A不一定是锐角．
因为“一定是”的对立面为“一定不是”，而不是“不一定是”．正因为“非p”包括p的所有对立面，所以“非p”与p的真假相反．
（ⅲ）“非p”与否命题两者不可混淆．
“非”就是否定，所以“非p”也称为命题p的否定，但“非p”只否定命题包括简单命题和（含有或、且、非的）复合命题的结论，不否定条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条件与结论全部否定，这就是“非p”与否命题的根本区别．
（ⅳ）“非p”常用的否定词语
（ⅴ）数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
命题有真假之分，而定理都是真命题；命题一定有逆命题，而定理未必有逆定理．
（ⅵ）“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的．命题“p或q”为真的三种情况：
只有p成立、只有q成立、p与q同时成立．
（ⅶ）“或”、“且”联结词的命题的否定形式：
命题“p或q”的否定是“非p且非q”、命题“p且q”的否定是“非p或非q”．其理解方式类似于集合中的
∁I（A∪B）＝（∁IA）∩（∁IB）、∁I（A∩B）＝（∁IA）∪（∁IB）．
（4）真值表
①表示命题真假的表叫真值表．
p：
四条边相等的四边形是正方形．
错解：
非p：
四条边相等的四边形不是正方形．
这里p是假命题，所以“非p”应是真命题，而叙述的语句却也是假命题，因此这种叙述不符合要求．
正解：
非p：
四条边相等的四边形不都是正方形．
因为在p中结论为“都是正方形”，所以其否定应为：
“不都是”．
②或、且、非的复合命题
（ⅰ）非p形式的复合命题：
当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．
（ⅱ）p且q形式的复合命题：
当p、q都为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假．
（ⅲ）p或q形式的复合命题：
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真．
注意 “是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，这要看具体问题中“是”的含义．
2．四种命题
（1）四种命题
①原命题与逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把两个互逆命题的其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
如：
原命题是：
同位角相等，两直线平行．（ⅰ）
逆命题是：
两直线平行，同位角相等．（ⅱ）
因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题就是逆命题．
②否命题与逆否命题
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题的话，那么另一个就叫做原命题的否命题．
如：
（ⅰ）的否命题是：
同位角不相等，两直线不平行．
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个命题叫做原命题的话，另一个就叫做原命题的逆否命题．
如：
（ⅰ）的逆否命题是：
两直线不平行，同位角不相等．
（2）四种命题之间的关系
逆命题是由原命题的条件与结论互相交换而得．即如果原命题为：
若p则q，那么逆命题就是“若q则p”，所以原命题与逆命题是互逆的关系．
否命题是把原命题的条件和结论同时否定而得．即原命题为：
若p则q，则否命题为“若綈p则綈q”，则原命题也是把否命题的条件和结论同时否定，所以原命题与否命题是互否关系．
交换原命题的条件和结论，并且同时否定所得命题就是逆否命题．如果原命题为“若p则q”，则逆否命题就是“若綈q则綈p”，反过来把逆否命题“若綈q则綈p”的条件綈q与结论綈p交换后再否定就是“若p则q”，这就是原命题，所以原命题与逆否命题是互为逆否的关系．
同样的道理，把逆命题“若q则p”的条件与结论同时否定就得到“若綈q则綈p”，这就是逆否命题，所以逆命题与逆否命题是互否的关系．
再看否命题与逆否命题的关系，从否命题“若綈p则綈q”以及逆否命题“若綈q则綈p”它们的结构看，可知否命题与逆否命题是互逆的关系．
最后逆命题与否命题的关系，从结构上看否命题是把逆命题的条件与结论先交换后否定而得，因此逆命题与否命题是互为逆否的关系．
四种命题之间的关系如图所示．
（3）命题的真假与等价
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系．
①原命题为真，它的逆命题不一定为真．
例如，原命题：
若a＝0，则ab＝0是真命题，而它的逆命题若ab＝0，则a＝0是假命题．
②原命题为真，它的否命题不一定为真．
例如，原命题：
若a＝0，则ab＝0，是真命题，它的否命题：
若a≠0，则ab≠0是假命题．
③原命题为真，它的逆否命题一定为真．
仍以上面的原命题为例，它的逆否命题：
若ab≠0，则a≠0，这是真命题．
根据以上分析可知：
原命题与它的逆否命题是等价的．
因为逆命题与否命题也是互为逆否的关系，所以逆命题与否命题是等价的．
3．全称量词与存在量词
（1）全称命题为真时，表示在所限定的集合中的每一个元素都具有某种属性，使所给语句为真；存在性命题为真时，表示在限定的集合中有一些元素具有某种属性，使所给语句为真．
（2）一般地，若一个全称命题是真命题，那么它的否定是一个存在性命题，并且是假命题；若一个存在性命题是真命题，那么它的否定是一个全称命题，并且是假命题．
（3）对于同一个全称命题或存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择，以下列表表示：
（4）对一个命题的否定是全部否定，而不是部分否定．在对全称命题进行否定时，要特别注意有些命题可能省略了全称量词．例如：
实数的绝对值是正数，它的否定应该为：
存在一个实数，它的绝对值不是正数，而不能写成：
实数的绝对值不是正数．
4．充要条件
（1）充分条件
①在一个命题“若p则q”中，p是条件，q是结论．若由条件p能够推出结论q，则称p是q的充分条件．通俗地讲就是有了条件p就足以保证结论q成立．即p⇒q.
②“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”，根据逆否命题与原命题等价的性质．可知，如果p是q成立的充分条件，那么q就是p成立的必要条件．
如α＝45°是tanα＝1的充分条件，反过来tanα＝1就是α＝45°的必要条件．
（2）必要条件
①在命题“若p则q”中，如果由q能推出p，则q⇒p则称p是q的必要条件，这一点可由“若q则p”与命题“若綈p则綈q”的等价性知道，说明：
没有p就没有q，所以p是q的必要条件．
②由必要条件的定义可知，若p是q的必要条件，那么q就是p成立的充分条件．
如cosα＝
是α＝
的必要条件（但不是充分条件），而α＝
却是cosα＝
的充分条件（但不是必要条件）．
（3）充要条件
①如果p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就称p是q的充要条件，即充分且必要条件．就是p⇔q.
②如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，这点由定义不难理解．
如：
“四条边都相等的矩形”是“正方形”的充要条件，反过来，“正方形”也是“四条边都相等的矩形”的充要条件．
（4）从命题的真假角度认识充要条件
设有命题（ⅰ）“若p则q”和命题（ⅱ）“若q则p”，
若命题（ⅰ）是真命题，而命题（ⅱ）是假命题，则p是q的充分不必要条件；
若命题（ⅱ）是真命题，而命题（ⅰ）是假命题，则p是q的必要不充分条件；
若两个命题都是真命题，则p是q的充分必要条件；
若两个命题都是假命题，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
（5）用集合的包含关系来分析充分条件、必要条件与充要条件
设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}．
①若A⊆B，即A中的任何一个元素都是B中的元素，所以由p可推出q，即p⇒q.
∴当A⊆B时，p是q的充分条件．
如：
“张三是湖北人”是“张三是中国人”的充分条件．
∵{湖北人}⊆{中国人}，
特别地当AB时，p是q的充分不必要条件．
②若A⊇B即B是A的子集，所以由q能推出p，此时p是q成立的必要条件．
特别地当AB时，p是q的必要不充分条件．
对于①与②通俗地讲就是“小充分，大必要”．
③若A＝B，则p是q成立的充要条件，所以“不大不小是充要”．
④若A
B，且B
A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．
（6）充分条件与必要条件的判断方法
①定义法：
（ⅰ）分清条件与结论，即分清哪一个是条件，哪一个是结论；
（ⅱ）找推式，即判断p⇒q及q⇒p的真假；
（ⅲ）下结论，即根据推式及定义下结论．
②等价法：
将命题等价转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
③集合法：
写出集合A＝{x|p（x）}及B＝{x|q（x）}，利用集合之间的包含关系加以判断．
注意 注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.
典例对对碰
题型一利用真值表判断复合命题的真假
例1已知命题p：
∃x∈R，使tanx＝1，命题q：
x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②④
C．①③④D．①②③④
解析 命题p：
∃x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：
x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题，故应选D.
答案 D
变式迁移1
若命题p：
不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题：
“p且q”、“p或q”、“非p”、“非q”中，是假命题的有________．
答案 “p且q”、“p或q”
解析 依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p且q”为假、“p或q”为假、“非p”为真、“非q”为真.
题型二四种命题
例2下列命题中的真命题是（ ）
A．命题“若a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆命题
B．命题“奇数的平方不是偶数”的否定
C．命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题
D．命题“至少有一个内角为60°的三角形是正三角形”的否命题
分析 根据“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”和“命题的否定”的概念逐一得出命题后，再进行真假判断，也可以利用等价命题来判断原命题的真假，确定一个命题的是假命题时可以灵活运用特殊值方法．
解析 选项A中的命题是“a＋b是偶数，则a、b都是偶数”，举一反例即能断定这是一个假命题；
选项B中的命题是“存在一个奇数，其平方是偶数”，显然也是一个假命题；
注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集，
∴选项C中的原命题是一个假命题，
∴它的逆否命题也是一个假命题；
选项D中的命题是“三个内角均不为60°的三角形不是正三角形”，这显然是一个真命题．
答案 D
点评 原命题与它的逆命题不等价，原命题与它的否命题也不等价，解题时应该充分注意这一点，要避免犯“用一个命题的逆命题或否命题的真假来断定原命题的真假”的错误.
变式迁移2
分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断它们的真假：
（1）若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实数根；
（2）
⇒
解析
（1）逆命题是“若方程x2＋2x＋q＝0有实数根，则q＜1”，是假命题；
否命题是“若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0没有实数根”，是假命题；
逆否命题是“若方程x2＋2x＋q＝0没有实数根，则q≥1”，同原命题一样是一个真命题．
（2）原命题即“若a＞0，且b＞0，则ab＞0，且a＋b＞0”，是一个真命题；
逆命题是“若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0，且b＞0”，是一个真命题；
否命题是“若a≤0，或b≤0，则ab≤0，或a＋b≤0”，
逆否命题是“若ab≤0，或a＋b≤0，则a≤0，或b≤0”，
从原命题和逆命题都是真命题可以断定否命题和逆否命题也都是真命题.
题型三判断含有量词的命题的真假
例3有四个关于三角函数的命题：
p1：
∃x∈R，sin2
＋cos2
＝
p2：
∃x，y∈R，sin（x－y）＝sinx－siny
p3：
∀x∈[0，π],
＝sinx
p4：
sinx＝cosy⇒x＋y＝
其中的假命题是（ ）
A．p1，p4B．p2，p4
C．p1，p3D．p2，p3
分析 对于全称命题，只有当该命题对涉及的变量或参数的所有值都成立时，才是真命题，只要有一个不成立，就是假命题；而对于存在性命题，只要该命题对涉及的变量或参数的某个（某些）值成立，该命题就是真命题．
解析 本题考查全称命题与存在性命题真假的判断．
p1：
∃x∈R，sin2
＋cos2
＝
是假命题；
p2是真命题，如x＝y＝0时成立；
p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sinx≥0，∴
＝
＝|sinx|＝sinx；
p4是假命题，如x＝
，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠
.
答案 A
变式迁移3
已知命题p：
∃x∈[0，
]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．[－
，－1]B．[－
，2]
C．[－1,2]D．[－
，＋∞）
答案 C
解析 依题意，cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，
]上恒成立，即cos2x＋cosx＝m.令f（x）＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2（cosx＋
）2－
，由于x∈[0，
]，所以cosx∈[0,1]，于是f（x）∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2].
题型四含有量词的命题的否定
例4命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是（ ）
A．不存在x0∈R,2x0＞0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
分析 在写出全称命题（或存在性命题）的否定时，一般要在两个地方作出变化，一是量词符号，全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词；二是命题中的语句要进行否定．
解析 本题考查全称命题与存在性命题的否定．
原命题为存在性命题，其否定为全称命题，而“≤”的否定是“＞”，所以其否定为“对任意的x∈R,2x＞0”，故选D.
答案 D
变式迁移4
若命题p：
∀x∈R,2x2－1＞0，则该命题的否定是（ ）
A．∀x∈R,2x2－1＜0
B．∀x∈R,2x2－1≤0
C．∃x∈R,2x2－1≤0
D．∃x∈R,2x2－1＞0
答案 C
解析 原命题为全称命题，其否定应为存在性命题.
题型五充分条件与必要条件
例5
（1）若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则（ ）
A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
（2）设m、n是整数，则“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（3）“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（4）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
（1）∵0＜1,2,3,4＜5，∴“x∈P”⇒“x∈Q”，但1.5∈Q⇒/1.5∈P，∴“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件．
（2）∵命题“m、n为偶数”能够推出命题“m＋n是偶数”，但是m，n均为奇数时，满足m＋n是偶数．即命题“m＋n为偶数”不能推出命题“m、n均为偶数”．
∴“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分不必要条件．
（3）∵|x－1|＜2⇔－2＜x－1＜2⇔－1＜x＜3，
又∵x（x－3）＜0⇔0＜x＜3，∴0＜x＜3⇒－1＜x＜3，反之不成立，从而得出|x－1|＜2是x（x－3）＜0的必要不充分条件．
（4）由直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直得（－1）·
＝－1（a＝0时不合题意），得a＝1，故a＝1是直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件．
答案
（1）A
（2）A （3）B （4）C
变式迁移5
条件p：
|x＋1|＞2，条件q：
x＞2，则綈p是綈q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由|x＋1|＞2得x＋1＜－2或x＋1＞2，即x＜－3或x＞1，于是綈p：
－3≤x≤1.由已知得綈q：
x≤2.由－3≤x≤1可得x≤2；但由x≤2不能得知－3≤x≤1.因此綈p是綈q的充分不必要条件，选A.
题型六利用简易逻辑知识解决数学综合题
例6已知c＞0，设p：
函数y＝cx在R上单调递减，q：
不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．
解析 函数y＝cx在R上单调递减⇔0＜c＜1.
不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R
⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∵x＋|x－2c|＝
∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.
不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞
.
如果p正确，且q不正确，则0＜c≤
；
如果p不正确，且q正确，则c≥1.
∴c的取值范围为（0，
]∪[1，＋∞）.
变式迁移6
已知p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：
方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解析 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则
，解得m＞2，即p：
m＞2；
若方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实根，
则Δ＝16（m－2）2－16＝16（m2－4m＋3）＜0，
解得1＜m＜3，即q：
1＜m＜3.
因p或q为真，所以p、q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．
∴
或
解得：
m≥3或1＜m≤2.
【教师备课资源】
题型七充要条件的证明与探索
例7设a，b，c为△ABC的三边，求证：
方程x2＋2
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