1995考研数四真题及解析.docx

1、1995考研数四真题及解析1995年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.) 设 z = xyf (丄)，f (u)可导，则 xZx yzy 二 .x(3)设 f (In x) =1 x ,贝U f (x) = . 则方差D(X)二 . (1,f (1)处的切线斜率为F列广义积分发散的是 设矩阵Am n的秩为r (A)二m ： n , Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是 () (A) A的任意m个列向量必线性无关因跨考敎肓(B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)的形式(D)非齐次线性方程组 Ax =

2、b 定有无穷多组解 设随即变量 X服从正态分布 N(巴/),则随的增大，概率PX艸()(A)单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定 (本题满分6分)四、(本题满分6分)求不定积分 (arcsi nx)2dx.五、(本题满分7分)设f(x)、g(x)在区间_a,a(a 0)上连续,g(x)为偶函数，且f (x)满足条件f(x) f ( -x A ( A 为常数).a a(1)证明.f(x)g(x)dx = A g(x)dx ；-a 031(2)利用 的结论计算定积分J2jsin x arctanexdx.六、(本题满分6分)设某产品的需求函数为 Q二Q(p),收益函数为R

3、二pQ,其中p为产品价格，Q为需求量(产品的产量),Q( p)为单调减函数如果当价格为p0,对应产量为Q0时，边际收益七、(本题满分5分)设f（x）在区间a,b上连续,在（a,b）内可导.证明：在（a,b）内至少存在一点,使八、 （本题满分9分）求二元函数z = f （x, y） = x2 y（4 -x - y）在由直线x y = 6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值九、 （本题满分8分）对于线性方程组/.x1 x2 X3 = _3,% + hx2 + x3 = -2,Xr +x2 + 入 x3 = -2.讨论取何值时，方程组无解、有惟一解和有无穷多组解 .在方程组有无穷多组

4、解时，试用其导出组的基础解系表示全部解 十、（本题满分8分）设三阶矩阵 A 满足 A =ir（i -1,2,3）,其中列向量：（1,2,2）T, ： （2, -2,1）T ,:3 = （ -2, -1,2/ .试求矩阵 A.十一、（本题满分8分）假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率 0.30需进一步调试， 经调试后以概率 0.80可以出厂；以概率 0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n（n 一 2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立 ）.求：（1） 全部能出厂的概率:-；（2）其中恰好有两台不能出厂的概率 1 ;（3） 其中至少有两台不能出厂的概率 二.十二

5、、（本题满分7分）假设随机变量 X服从参数为2的指数分布.证明：丫 = 1 - ex在区间（0,1）上服从均匀分布.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.) (1)【答案】2lim JV x丿曾 1 严= lim 1 +- i =e Fl x丿等式右端是求一个定积分，可以用分部积分法求得.由题设有-1),解得=2.【相关知识点】分部积分公式：假定 U二u(x)与v = v(x)均具有连续的导函数，则【答案】2xyf i ；lx丿【解析】根据复合函数求导法则，可得zxf :邮；xf : yf ：.【相关知识点】复合函数求导法则： y

6、h护(f (x)的导数为y - f (x) f (x).【答案】x ex C【解析】在f (ln x) =1 x中令ln x =t,贝U f (t1 et,从而f (t)二 1 d dt =t e? C= f (x)二 x ex C .1【答案】 1010 02 2 03 4 5【答案】【相关知识点】连续型随机变量的数学期望和方差的定义:忧 2 2EX = ；x f(x)dx, D(X)二E(X2)-E2(X).、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)= limf(1)f(1x)x- xf(1)-f(1-x) 22,所以应选(D). (2)【答案】(A)注：对于本题选项(A),由于当

7、x = 0时sinx = 0,故在积分区间-1,1中x = 0是瑕点，反常1 1积分 dx应分解为两个反常积分之和、七in x1 1 0 1 1 1dx dx dx,sin x sinx sin x1 1 0 1 11而且 dx收敛的充要条件是两个反常积分 dx与 dx都收敛.J 1 1 0 si nx si nx 0 si nx11 1 ( x由于广义积分 一dx=lnitan- - :,L0si nx J 2。1 1 1 1 即 dx发散,故 dx 发散.0 si nx 二 si nx1在此不可误以为 -是 奇函数,于 是sin x【答案】(C)【解析】禾U用矩阵乘法的分配律、结合律AB

8、= ( E -口。丫 E + 2otTa)= E + 2ot U=E +aTa _2c(t(g( T $ .所以AB =E卜二1 -，T二E .故应选(C).【答案】(D)【解析】r( A)二m表示A中有m个列向量线性无关.有m阶子式不等于零，并不是任意 的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可把 A化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换 ，只有一种不*010) 一定能化为标准形例如 ，只用初等行变换就不能化成 (E2 ： 0)的形式，故(C)不0 0 1 丿正确关于(D)，因为A为m n矩阵，且r(A)=m，故增广矩阵的秩必为 m，那么 r(A)二r(A)二m ： n，所以方程

9、组 Ax = b必有无穷多组解，故选(D).【答案】(C)X 4 【解析】由于xL n(；2)，将此正态分布标准化，故 N 0,1，PX _艸= cl卜 3(1)_1.计算看出概率p|X -円 0,得t :a 0,且_a0 0 a af(x)g(x)dx 二 a f (-t)g(-t)d(-t) = 0 f (-t)g(t)dt 二 0 f (-x)g(x)dx ,a a a所以f(x)g(x)dx 二 0 If (x) f (-x) 】g(x)dx = A 0 g(x)dx.a方法二：在 f (x)g(x)dx 中令 x - -t ,则由 x: -a a,得 t:aa,且a方法一：取 f(x

10、) =arctanex, g(x) = sinx ,兀a =2由于 f (x) f ( -x) =arctanex arctane满足* e* xarctanex arctane $ 三 0 ,1 +e 1+e故 arctan ex + arctan e* = A .n n令 x =0,得 2arctan1 =A二 A ,即 f(x) f(-x) .于是有2 2六、(本题满分6分)问题的解.题设Ep=b1应理解为 Ep =Ep=b1.又由Q=Q(p)是单调减函数知存在反函数由收益R = pQ对p求导,有dR dp七、(本题满分5分)【解析】由于本题中要证的结论中出现了 f ( J f)，所以应

11、考虑辅助函数F (x) = xf (x).因为 F (x) = f (x) xf (x).令F(x)二xf(x),则F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，满足拉格朗日中值定理条 件,从而在(a,b)内至少存在一点,使F(b)F(a)=F(), b - a即 bf (b) -af(a) = f() f ().b a八、(本题满分9分)【解析】首先在区域 D内求驻点令fx = xy(8-3x-2y) = 0,2fy =x (4 -x -2y) = 0,在D内仅有唯一驻点(2,1).在点(2,1)处，有A = f：(2,1) =(8y -6xy-2y2)(刊=七，fx(2,1(83x4xy)(

12、2,1r-4,C = fyy(2,1) = 生)=-8.2于是B - AC二-32 ： 0 ,因此点(2,1)是极大值点，且极大值f (2,14.在 D 的边界 x 二 0(0 _ y _ 6)和 y 二 0(0 _x_6)上，f(x,y)=0.在D的边界x y = 6(0 ： x ： 6)上，把y = 6 - x代入f (x, y)可得z =2x2(x 一6) (0 ：x ：6).由于r 0z = 6x(x -4) = 0卜0所以点(4, 2)是这段边界上z的最小值点，最小值f(4,2) =-64.综合以上讨论知f (x, y)在D的边界上的最大值是 0,最小值是f (4,2) = -64.

13、比较D内驻点的函数值 f (2,1) =4和f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值可得f (x, y)在D上的最大值和最小值分别是max f (x, f (2,1) =4,叫门 f (x,y)二 f (4,2) - -64.【相关知识点】1.驻点：凡是能使fx(x, y) =0, fy(x, y) =0同时成立的点(oy。)称为函数z = f (x, y)的驻点.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点 例如，点(0,0) 是函数z =xy的驻点，但函数在该点并无极值2.判定一个驻点是否是极值点的定理：定理：设函数Z二f (x, y)在点(Xo,y。)的某邻域内连续且有

14、一阶及二阶连续偏导数 ，又fx(x,y) =0, fy(x, y) =0,令fxx(Xo, y) = A, fxy(x, y) = B, fyy(x, y) =C ,则f (x, y)在(x, y)处是否取得极值的条件如下：2(1)AC -B 0时具有极值，且当A ： 0时有极大值，当A 0时有极小值；2(2)AC -B 0时没有极值；2(3)AC -B =0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.3.具有二阶连续偏导数的函数 z = f (x, y)的极值的求法如下：第一步：解方程组fx(x,y)二 0, fy(x,y) =0,求得一切实数解，即可求得一切驻点第二步：对于每一个驻点(x,

15、y),求出二阶偏导数的值 A、B和C .第三步：定出 AC - B2的符号，按上述定理的结论判定 f(X。，y)是不是极值、是最大值还是最小值.九、(本题满分8分)【解析】对增广矩阵作初等行变换，有11 沈-3-11-2 11&仁-2T1Z1-2J1加-2 一11扎3 一Z ； -2 |1 门01- 2 3 -3当 1且_2时，r A =r A=3,方程组有唯一解当二-2时,r A =2,r A =3,方程组无解.当，=1时，r A=r A=1,方程组有无穷多组解其同解方程组为：x1 x2 x3 = -2 .令 X2 =X3 =0,得到特解=(-2,0,0)1令x1 - -1, x2 =1,x

16、3 =0及xi - -1,x2 =0,x3 =1得到导出组的基础解系T T1 二-1,1,0 , 2 二-1,0,1 因此，方程组的通解是 G +k2q2,其中k1,k2是任意常数十、（本题满分8分）【解析】由A =i二（i =1,2,3）知：二:匕是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性无关利用分块矩阵,有A :】，=:,2 2,3 3 .由123线性无关,知矩阵12,3可逆,故（本题满分8分）因跨考敎肓KUAKAO EDUCATIONBorn to win【解析】对于新生产的每台仪器,设事件A表示“仪器需要进一步调试” ，B表示“仪器能P(B| A)=出厂”，则A二“仪器能直接出厂” ，A

17、B二“仪器经调试后能出厂” 且B二入U AB,入与AB 互不相容，应用加法公式与乘法公式，且由条件概率公式P B ;=P A P A P B| A ;=0.7 0.3 0.8 =0.94.设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从二项分布B n,0.94 .由二项分 布的概率计算公式，可得所求概率为： = p= n=0.94 ；(2)-二 PX 二 n-2 .；=C： 0.94心 0.062;(3)- -PX 乞 n- 2； = 1-pfx 二n l PX 二 n；=10.06 n 0.94n-0.94n【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若Y、B(n, p)，则 pj 二 Q 二C：p

18、k( 1-p)n= k = 0,1山n.十二、(本题满分7分)2 X【解析】要证明Y=1-e 在区间(0,1)上服从均匀分布，只需证明随机变量 Y的概率密度1, 丄 1, 0 ： y ：1,fY y 或证明Y的分布函数为FY y = 0,0,其他，其他,f2e-iL2 1 - y方法2:用分布函数法求Y的分布函数当 y 乞0时，Fy y =0 ;当 y _1 时，FY y =1;1当 0 ： y ： 1 时,ln 1 - y 0 ,Fy y = P ；Y y .； = pf1ex空 y ； = P X 二n 1 - yI 2 “J-1|n 1-y -e计算可知Y的分布函数为1, y -1,FY

19、(y)=*0, yc0,y, 0 兰 y c1.上式恰好是区间（0,1）上均匀分布随机变量的分布函数a乞x乞b,其他，1I f (x)二 b - a【0，则称X服从区间a,b上的均匀分布.其分布函数为0, x v a,xaF (x) , a _ x _ b,b a1, 其他.1厂dx -xln x11 T T设n维行向量=(,0，川,0,),矩阵A二E -，B = E 2 ,其中E为n阶2 2单位矩阵，则AB等于1在区间(0,1)上h八R应用单调函数公式法，Y的概率密度为f (、Jh(y)! fx(h(y), oy fY y 二0,0 y ：1,_ 1, 0 y 1, 其他，= 0,其他.由计算可知fY y恰是(0,1)上均匀分布的密度函数