1995考研数四真题及解析.docx
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1995考研数四真题及解析
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）
⑵设z=xyf（丄），f（u）可导，则xZxyzy二.
x
（3）设f（Inx）=1x,贝Uf（x）=.
则方差D（X）二.
（1,f
（1））处的切线斜率为
F列广义积分发散的是
⑷设矩阵Amn的秩为r（A）二m：
：
：
n,Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（）
（A）A的任意m个列向量必线性无关
因跨考敎肓
（B）A的任意一个m阶子式不等于零
（C）A通过初等行变换,必可以化为（Em,0）的形式
（D）非齐次线性方程组Ax=b—定有无穷多组解
⑸设随即变量X服从正态分布N（巴/）,则随的增大，概率P^X—艸＜◎}（）
（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不定
（本题满分6分）
四、（本题满分6分）
求不定积分（arcsinx）2dx.
五、（本题满分7分）
设f（x）、g（x）在区间[_a,a]（a0）上连续,g（x）为偶函数，且f（x）满足条件
f（x）f（-x^A（A为常数）.
aa
（1）证明.f（x）g（x）dx=Ag（x）dx；
-a0
31
（2）利用⑴的结论计算定积分J2jsinxarctanexdx.
六、（本题满分6分）
设某产品的需求函数为Q二Q（p）,收益函数为R二pQ,其中p为产品价格，Q为需求
量（产品的产量）,Q（p）为单调减函数•如果当价格为p0,对应产量为Q0时，边际收益
七、（本题满分5分）
设f（x）在区间［a,b］上连续,在（a,b）内可导.证明：
在（a,b）内至少存在一点',使
八、（本题满分9分）
求二元函数z=f（x,y）=x2y（4-x-y）在由直线x•y=6、x轴和y轴所围成的闭区
域D上的极值、最大值与最小值•
九、（本题满分8分）
对于线性方程组
[/..x1x2•X3=■_3,
%+hx2+x3=-2,
Xr+x2+入x3=-2.
讨论■取何值时，方程组无解、有惟一解和有无穷多组解.在方程组有无穷多组解时，试用其
导出组的基础解系表示全部解•
十、（本题满分8分）
设三阶矩阵A满足A—=ir（i-1,2,3）,其中列向量：
^（1,2,2）T,：
（2,-2,1）T,
:
3=（-2,-1,2/.试求矩阵A.
十一、（本题满分8分）
假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了
n（n一2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：
（1）全部能出厂的概率:
-；
（2）其中恰好有两台不能出厂的概率1;
（3）其中至少有两台不能出厂的概率二.
十二、（本题满分7分）
假设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：
丫=1-e’x在区间（0,1）上服从均匀
分布.
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】2
limJ
Vx丿
曾『1•严
=lim"1+-i=eFlx丿
等式右端是求一个定积分，可以用分部积分法求得.
由题设有-1）,解得〉=2.
【相关知识点】分部积分公式：
假定U二u（x）与v=v（x）均具有连续的导函数，则
⑵【答案】2xyfi；
lx丿
【解析】根据复合函数求导法则，可得
z^xf:
邮；>xf:
yf：
.
【相关知识点】复合函数求导法则：
yh护（f（x））的导数为y^-\f（x））f（x）.
⑶【答案】xexC
【解析】在f（lnx）=1x中令lnx=t,贝Uf（t^1et,从而
f（t）二1ddt=te?
C=f（x）二xexC.
1
⑷【答案】—
10
'100
220
<345
⑸【答案】
【相关知识点】连续型随机变量的数学期望和方差的定义:
忧22
EX=；xf（x）dx,D（X）二E（X2）-E2（X）.
、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）
=limf
（1）—f（1—x）
x-°x
f
（1）-f（1-x）2
2,
所以应选（D）.
（2）【答案】（A）
注：
对于本题选项
（A）,由于当x=0时sinx=0,故在积分区间［-1,1］中x=0是瑕点，反常
11
积分—dx应分解为两个反常积分之和
、七inx
110111
dxdxdx,
」sinx」sinx°sinx
110111
而且dx收敛的充要条件是两个反常积分dx与dx都收敛.
J1・』1・』0・
」sinx」sinx0sinx
1
11（x\
由于广义积分一dx=lnitan--•:
:
L0sinxJ2』。
1111即——dx发散,故——dx发散.
0sinx二sinx
1
在此不可误以为-是奇函数,于是
sinx
⑶【答案】（C）
【解析】禾U用矩阵乘法的分配律、结合律
AB=（E-口。
丫E+2otTa）=E+2otU
=E+aTa_2c（t（g（T$.
所以AB=E卜二1-，T〉二E.故应选（C）.
⑷【答案】（D）
【解析】r（A）二m表示A中有m个列向量线性无关.有m阶子式不等于零，并不是任意的,因此（A）、（B）均不正确.
经初等变换可把A化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只有一种不
*010）■
一定能化为标准形•例如，只用初等行变换就不能化成（E2：
0）的形式，故（C）不
<001丿
正确•
关于（D），因为A为mn矩阵，且r（A）=m，故增广矩阵的秩必为m，那么r（A）二r（A）二m：
：
：
n，所以方程组Ax=b必有无穷多组解，故选（D）.
⑸【答案】（C）
X—4【解析】由于xLn（»；「2），将此正态分布标准化，故N0,1，
P{X_艸=cl卜3
（1）_1.
计算看出概率p{|X-円<即f.（0）=f2（0）=0,故f（x）在x=0处可导，且f（0）=0.
四、（本题满分6分）
【解析】当被积函数仅仅为反三角函数时，这种积分肯定要用分部积分法
二x（arcsinx）22arcsinxd.1-x2
二x（arcsinx）221-x2arcsinx-2dx
=x（arcsinx）221-x2arcsinx-2xC.
方法二：
令arcsinx二u,则
（arcsinx）2dx=u2cosudu=u2dsinu
22
=usinu-2usinudu=usinu2udcosu
22
=usinu2ucosu-2cosudu=usinu2ucosu-2sinuC.
五、（本题满分7分）
【解析】
（1）由要证的结论可知,应将左端积分化成0,a1上的积分,即
a0a
』f（x）g（x）dxaf（x）g（x）dx°f（x）g（x）dx,
再将f（x）g（x）dx作适当的变量代换化为在0,a1上的定积分•
a0a
方法一：
由于f（x）g（x）dxf（x）g（x）dx亠！
f（x）g（x）dx,
_a.a0
0在.f（x）g（x）dx中令x=-t,则由x:
-a>0,得t:
a>0,且
_a
00aa
」f（x）g（x）dx二af（-t）g（-t）d（-t）=0f（-t）g（t）dt二0f（-x）g（x）dx,
aaa
所以
』f（x）g（x）dx二0If（x）f（-x）】g（x）dx=A0g（x）dx.
a
方法二：
在f（x）g（x）dx中令x--t,则由x:
-a>a,得t:
a—「a,且
~a
方法一：
取f（x）=arctanex,g（x）=sinx,
兀
a=—
2
由于f（x）f（-x）=arctanexarctane"满足
*e*—x
arctanexarctane^$三0,
1+e1+e
故arctanex+arctane*=A.
nn
令x=0,得2arctan1=A二A,即f（x）f（-x）.于是有
22
六、（本题满分6分）
问题的解.
题设Ep=b>1应理解为Ep=—Ep=b>1.又由Q=Q（p）是单调减函数知存在反函数
由收益R=pQ对p求导,有
dRdp
七、（本题满分5分）
【解析】由于本题中要证的结论中出现了f（Jf「），所以应考虑辅助函数
F（x）=xf（x）.因为F（x）=f（x）xf（x）.
令F（x）二xf（x）,则F（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，满足拉格朗日中值定理条件,从而在（a,b）内至少存在一点',使
F（b）—F（a）=F（）,b-a
即bf（b）-af（a）=f（）■f（）.
b—a
八、（本题满分9分）
【解析】首先在区域D内求驻点•令
fx=xy（8-3x-2y）=0,
2
fy=x（4-x-2y）=0,
在D内仅有唯一驻点（2,1）.在点（2,1）处，有
A=f：
（2,1）=（8y-6xy-2y2）（刊=七"，
^fx^^（2,1^（8^3x^4xy）（2,1r-4,
C=fy'y（2,1）=生）=-8.
2
于是B-AC二-32：
：
：
0,因此点（2,1）是极大值点，且极大值f（2,1^4.
在D的边界x二0（0_y_6）和y二0（0_x_6）上，f（x,y）=0.
在D的边界x•y=6（0：
：
：
x：
：
：
6）上，把y=6-x代入f（x,y）可得
z=2x2（x一6）（0：
：
x：
：
6）.
由于
r[<0
z=6x（x-4）=0
卜0
所以点（4,2）是这段边界上z的最小值点，最小值f（4,2）=-64.
综合以上讨论知f（x,y）在D的边界上的最大值是0,最小值是f（4,2）=-64.
比较D内驻点的函数值f（2,1）=4和f（x,y）在D的边界上的最大值和最小值可得
f（x,y）在D上的最大值和最小值分别是
maxf（x,f（2,1）=4,叫门f（x,y）二f（4,2）--64.
【相关知识点】
1.驻点：
凡是能使fx（x,y）=0,fy（x,y）=0同时成立的点（oy。
）称为函
数z=f（x,y）的驻点.
具有偏导数的函数的极值点必定是驻点•但函数的驻点不一定是极值点•例如，点（0,0）是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值
2.判定一个驻点是否是极值点的定理：
定理：
设函数Z二f（x,y）在点（Xo,y。
）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又
fx（x,y）=0,fy（x,y）=0,令
fxx（Xo,y°）=A,fxy（x°,y°）=B,fyy（x°,y°）=C,
则f（x,y）在（x°,y°）处是否取得极值的条件如下：
2
（1）AC-B0时具有极值，且当A：
：
：
0时有极大值，当A0时有极小值；
2
（2）AC-B<0时没有极值；
2
（3）AC-B=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.
3.具有二阶连续偏导数的函数z=f（x,y）的极值的求法如下：
第一步：
解方程组
fx（x,y）二0,fy（x,y）=0,
求得一切实数解，即可求得一切驻点•
第二步：
对于每一个驻点（x°,y°）,求出二阶偏导数的值A、B和C.
第三步：
定出AC-B2的符号，按上述定理的结论判定f（X。
，y°）是不是极值、是最大值还
是最小值.
九、（本题满分8分）
【解析】对增广矩阵作初等行变换，有
1
1沈-3〕
-
「1
1
-21
1
&
仁-2
T
1
Z
1
-2
J
1
加-2一
1
1
扎—3一
Z；-2|
1—门0
1-23-3
当‘1且’_2时，rA=rA]=3,方程组有唯一解•
当■二-2时,rA=2,rA=3,方程组无解.
当，=1时，rA]=rA[=1,方程组有无穷多组解•
其同解方程组为：
x1x2x3=-2.
令X2=X3=0,得到特解〉=（-2,0,0）1
令x1--1,x2=1,x3=0及x^i--1,x2=0,x3=1得到导出组的基础解系
TT
1二-1,1,0,2二-1,0,1•
因此，方程组的通解是G+k2q2,其中k1,k2是任意常数•
十、（本题满分8分）
【解析】由A]=i二（i=1,2,3）知：
二:
匕‘①是矩阵A的不同特征值的特征向量，它们线性
无关•
利用分块矩阵,有A:
】，—，〜=:
^,22,33.
由〉1「2「3线性无关,知矩阵〉1「2,〉3可逆,故
（本题满分8分）
因跨考敎肓
KUAKAOEDUCATION
Borntowin
【解析】对于新生产的每台仪器
设事件A表示“仪器需要进一步调试”，B表示“仪器能
P（B|A）=
出厂”，则A二“仪器能直接出厂”，AB二“仪器经调试后能出厂”•且B二入UAB,入与AB互不相容，应用加法公式与乘法公式，且由条件概率公式
PB;=PAPAPB|A;=0.70.30.8=0.94.
设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从二项分布Bn,0.94.由二项分布的概率计算公式，可得所求概率为
⑴：
•=p=n』=0.94；
（2）-二P〈X二n-2.；=C：
0.94心0.062;
（3）--P^X乞n-2；=1-pfx二n—l—P^X二n；=1—0.06n0.94n」-0.94n
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
若Y、B（n,p），则pj二Q二C：
pk（1-p）n=k=0,1」山n.
十二、（本题满分7分）
2X
【解析】要证明Y=1-e在区间（0,1）上服从均匀分布，只需证明随机变量Y的概率密度
1,丄1,0：
y：
1,
fYy或证明Y的分布函数为FYy=0,
0,其他，
其他,
f
2e
-iL21-y
方法2:
用分布函数法求Y的分布函数•
当y乞0时，Fyy=0;当y_1时，FYy=1;
1
当0：
：
：
y：
：
：
1时,ln1-y0,
Fyy=P；Y空y；=PX二」n1-y
I2“J
-1|n1-y"-e
计算可知Y的分布函数为
1,y-1,
FY（y）=*0,yc0,
y,0兰yc1.
上式恰好是区间（0,1）上均匀分布随机变量的分布函数
a乞x乞b,
其他，
1
I—f（x）二b-a
【0，
则称X服从区间［a,b］上的均匀分布.其分布函数为
0,xva,
x——a
F（x）,a_x_b,
b—a
1,其他.
1
厂dx-xlnx
11TT
设n维行向量〉=（—,0，川,0,—）,矩阵A二E-〉•，B=E2,其中E为n阶
22
单位矩阵，则AB等于
1
在区间（0,1）上h八R"
应用单调函数公式法，Y的概率密度为
f（、Jh'（y）!
fx（h（y））,o^y"fYy二
0,
0y：
：
1,_1,0y1,其他，=0,其他.
由计算可知fYy恰是（0,1）上均匀分布的密度函数
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