人口指数增长模型和Logistic模型.docx

1、人口指数增长模型和Logistic模型根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。表1 美国人口统计数据年 份1790180018101820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(106)123.2131.7150.7179.3204

2、.0226.5提示：指数增长模型：Logistic模型：解：模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r，记时刻t的人口为 ，（即为模型的状态变量）且初始时刻的人口为，因为由假设可知 经拟合得到：程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(

3、r.*t);plot(t,x(t),r,t,x1,b)结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：，其中x0 = 1.2480e-016，输入：t=2010;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 。模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设，其中 r 为固有增长率 (x

4、很小时 ) ，为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程： 建立函数文件curvefit_fun2.mfunction f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中调用函数文件curvefit_fun2.m % 定义向量（数组）x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4

5、;plot(x,y,*,x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来hold on; a0=0.001,1; % 初值% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y); disp(a= num2str(a); % 显示结果% 画图检验结果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);% 预测2010年的数据x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off运行结果：a=311.953

6、1 0.02798178y1 =267.1947其中a(1)、a(2)分别表示中的和，y1则是对美国美国2010年的人口的估计。第二题：问题重述：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6问题分析：鲈鱼的体重主

7、要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律模型假设：1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重；4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。符号说明：鲈鱼的身长鲈鱼的胸围鲈鱼的体重模型的建立及求解：（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB

8、软件画出散点图，如下：从图形上看，鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到： (1)根据拟合的函数，我们画出拟合图：从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计，用相对误差检验拟合度，得到下表：表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表身长（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389拟合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相对误差（%）3.20.445.73.4

9、44.935.753.570.86从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。（二）、鲈鱼体重与胸围的模型确立 仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式： (2)根据拟合函数（2），画出胸围与体重关系的拟合图：利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表：表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重

10、量（g)48248245465273776511621389拟合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81从鲈鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高，鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。（三）、建立体重与身长、胸围相互影响的模型实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。此模型的建立是基于假设，（4），即：鲈鱼的

11、体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：，问题转化为对系数的求解。根据已知数据，利用MATLAB软件求解，得到： 0.0327 （3）因此， （4）利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：表三、重量估计值及相对误差重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）74047211157404901491616490相对误差（%）3.252.124.050.421.607.375.587.87根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际。