人口指数增长模型和Logistic模型.docx
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人口指数增长模型和Logistic模型
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1美国人口统计数据
年份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口（×106）
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口（×106）
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口（×106）
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
提示：
指数增长模型：
Logistic模型：
解：
模型一:
指数增长模型。
Malthus模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r，记时刻t的人口为
，（即
为模型的状态变量）且初始时刻的人口为
，因为
由假设可知
经拟合得到：
程序：
t=1790:
10:
1980;
x（t）=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
y=log（x（t））;a=polyfit（t,y,1）
r=a
（1）,x0=exp（a
（2））
x1=x0.*exp（r.*t）;
plot（t,x（t）,'r',t,x1,'b'）
结果：
a=0.0214-36.6198
r=0.0214
x0=1.2480e-016
所以得到人口关于时间的函数为：
，其中x0=1.2480e-016，
输入：
t=2010;
x0=1.2480e-016;
x（t）=x0*exp（0.0214*t）
得到x（t）=598.3529。
即在此模型下到2010年人口大约为598.3529
。
模型二：
阻滞增长模型（或Logistic模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设
，其中r为固有增长率（x很小时），
为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：
建立函数文件curvefit_fun2.m
functionf=curvefit_fun2（a,t）
f=a
（1）./（1+（a
（1）/3.9-1）*exp（-a
（2）*（t-1790）））;
在命令文件main.m中调用函数文件curvefit_fun2.m
%定义向量（数组）
x=1790:
10:
1990;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...
92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4];
plot（x,y,'*',x,y）;%画点，并且画一直线把各点连起来
holdon;
a0=[0.001,1];%初值
%最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点
a=lsqcurvefit（'curvefit_fun2',a0,x,y）;
disp（['a='num2str（a）]）;%显示结果
%画图检验结果
xi=1790:
5:
2020;
yi=curvefit_fun2（a,xi）;
plot（xi,yi,'r'）;
%预测2010年的数据
x1=2010;
y1=curvefit_fun2（a,x1）
holdoff
运行结果：
a=311.95310.02798178
y1=267.1947
其中a
（1）、a
（2）分别表示
中的
和
，y1则是对美国美国2010年的人口的估计。
第二题：
问题重述：
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
身长（cm）
36.8
31.8
43.8
36.8
32.1
45.1
35.9
32.1
重量（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
胸围（cm）
24.8
21.3
27.9
24.8
21.6
31.8
22.9
21.6
问题分析：
鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。
一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼的体重会越重，身长越长，体重也越重。
但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系，共同影响鱼的体重。
建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律
模型假设：
1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；
2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；
3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重；
4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。
符号说明：
鲈鱼的身长
鲈鱼的胸围
鲈鱼的体重
模型的建立及求解：
（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立
为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重的数据，利用MATLAB软件画出散点图，如下：
从图形上看，鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：
（1）
根据拟合的函数，我们画出拟合图：
从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计，用相对误差检验拟合度，得到下表：
表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
身长（cm）
31.8
32.1
32.1
35.9
36.8
36.8
43.8
45.1
重量（g）
482
482
454
652
737
765
1162
1389
拟合值（g）
466.6
479.9
479.9
674.4
727.3
727.3
1228.8
1339.4
相对误差（%）
3.2
0.44
5.7
3.44
4.93
5.75
3.57
0.86
从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
（二）、鲈鱼体重与胸围的模型确立
仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈鱼体重与胸围的散点图：
从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式：
（2）
根据拟合函数
（2），画出胸围与体重关系的拟合图：
利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表：
表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
胸围（cm）
21.3
21.6
21.6
22.9
24.8
24.8
27.9
31.8
重量（g）
482
482
454
652
737
765
1162
1389
拟合值（cm）
462.1
489.7
489.7
609.3
784.1
784.1
1069.3
1428.1
相对误差（%）
4.13
1.60
7.86
6.55
6.39
2.50
7.98
2.81
从鲈鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高，鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大，说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
（三）、建立体重与身长、胸围相互影响的模型
实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。
此模型的建立是基于假设⑶，（4），即：
鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身长等高的圆柱形来近似。
因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长表示：
.因此可以分析得出
.又物体质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。
于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：
，问题转化为对系数
的求解。
根据已知数据，利用MATLAB软件求解，得到：
0.0327（3）
因此，
（4）
利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：
表三、重量估计值及相对误差
重量（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
估算值（g）
740
472
1115
740
490
1491
616
490
相对误差（%）
3.25
2.12
4.05
0.42
1.60
7.37
5.58
7.87
根据表三的数据，可以知道模型三的拟合程度也较好，相对于模型一、二，此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响，用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际。
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