全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类无答案9614.docx

1、全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类无答案96142009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(x y) ln(1y )1计算x dxdy _ ，其中区域 D 由直线 xy 1与两D1 xy坐标轴所围成三角形区域 .2设 f ( x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x22f ( x)dx 2 , 则 f ( x) _.03曲面 z x2 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是 _.24设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则d2 ydx2 _.二、（

2、5 分）求极限 lim (exe2 xenxe) x ，其中 n 是给定的正整数 .x 0n1f ( xt)dt ，且 lim f (x)A ， A 为常数， 求 g ( x)三、（ 15 分）设函数 f (x) 连续， g( x)0x 0x并讨论 g ( x) 在 x0处的连续性 .四、（ 15 分）已知平面区域 D ( x, y) | 0 x , 0 y ， L 为 D 的正向边界， 试证：（ 1）xesin ydyye sin xdxxe sin y dy yesin xdx ；LL（ 2）xesin ydyye sin ydx52 .L2五、（ 10 分）已知 y1 xe xe2x ，

3、 y2xexe x ， y3xexe2xe x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（ 10 分）设抛物线 y ax 2bx2 ln c 过原点 . 当 0x 1 时 , y0 , 又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为1 . 试确定 a, b, c , 使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋3转体的体积最小 .七、（ 15 分）已知 un ( x) 满足 un (x) un ( x)xn 1ex (n 1,2, ) , 且 un (1)e , 求函数项n级数un ( x) 之和 .n 1八、（ 10 分）求 x1 时 ,与xn2等价的无穷大量 .n 02

4、010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（ 25 分，每小题 5 分）n（1）设 xn (1 a)(1 a2 ) (1 a2 ), 其中 | a | 1, 求 lim xn.n（2）求 lim e x 1 1x xx2。（3）设 s0 ，求 Ie sx xndx( n1,2,) 。0（4）设函数 f (t ) 有二阶连续导数， rx2y2 , g( x, y) f1 ，求2 g2 g。rx2y2（5）求直线 l1xy0x 2y 1z 3 的距离。:0与直线 l 2 :z421二、（ 15f (x)分）设函数 f ( x) 在0, lim f ( x)x( , 0, lim x) 上具有

5、二阶导数，并且f ( x) 0, 且存在一点x0 ，使得f ( x0 )0 。三、（ 15 分）设函数 yf (x) 由参数方程x2t t 2(t) 具有二阶y(t 1) 所确定，其中(t )导数，曲线 y(t) 与 yt 2u23在 t1出相切，求函数 (t) 。edu2e1n四、（ 15分）设 an 0, Snak , 证明：k1（1）当1时，级数an收敛；n 1 Sn（2）当1且 sn(n) 时，级数an 发散 。n 1 Sn五、（ 15分）设 l 是过原点、方向为(, , )，（其中2221) 的直线，均匀椭球x2y2z21 ，其中（ 0 cba, 密度为 1）绕l旋转。a2b2c2（

6、1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 ( , , ) 的最大值和最小值。六、(15分 ) 设函数 ( x) 具有连续的导数， 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分2xydx( x)dy 的值为常数。cx4y2（1）设 L 为正向闭曲线 ( x 2)2y21, 证明2xydx( x)dy 0;cx4y2（2）求函数( x) ；（3）设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求2xydx( x)dy 。cx4y 22011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1） . 求 lim sin xx 0x11 cos

7、 x；11.1（2） . 求 limn 2；nn 1nn（3）已知xln 1 e2td 2 yyt arctanet，求dx2 。二（本题 10 分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0 的通解 。三（本题 15分 ） 设 函 数 f(x)在 x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f 0 , f 0 , f 0均 不 为 0 ， 证 明 ： 存 在 唯 一 一 组 实 数 k1, k2 , k3 ， 使 得lim k1 f hk2 f2hh2k3 f3hf 00 。h 0x2y2z21 ， 其 中 a b c0 ，四（本题 17分 ） 设1:2b2c2a2 : z2x2y 2，为1

8、与2 的交线，求椭球面1 在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五（本题 16 分）已知 S 是空间曲线x23y21z0绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（ z0）取上侧，是 S在Px, y, z 点处的切平面，x, y, z 是原点到切平面的距离， , 表示 S 的正法向的方向余弦。计算：（1）zdS；（ 2）z x 3 y z dSx, y, zSS六（本题12 分）设f(x)是在,内的可微函数，且f、xmfx，其中 0m 1，任取实数a0， 定 义anln fan 1, n1,2,.,证 明 ：an an 1 绝对收敛。n 1七（本题 15 分）是否存在区间0,2 上的连续可微

9、函数f(x) ，满足 f 0f 2 1，21？请说明理由。f 、 x 1, f x dx0第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（本大题共5 小题，每小题6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）1(1)求极限 lim ( n! ) n2n(2)2 xy 3z20的两个互相垂直的平面1和 2，使其中求通过直线 l :5 y4z305x一个平面过点 ( 4 ,3,1)。(3)已知函数 zu( x , y)eaxby ，且2u0 。确定常数 a 和 b ，使函数 z z( x , y)xy满足方程2 zzz0x yxzy(4)设函数 uu( x ) 连续可微， u(2)1 ，且 (

10、 x 2y)udx ( xu3 )udy 在右半平面与路径无关，求 u( x , y) 。x 1(5) 求极限 lim 3 xx xsin tdtt cost二、（本题10 分）计算0e2 xsin x dx三、求方程 x 2 sin12 x501 的近似解，精确到0.001.x四、（本题 12 分）设函数 yf ( x ) 二阶可导，且 f ( x ) 0 ， f (0) 0 ， f (0) 0 ，3求 limx f (u )，其中 u 是曲线 y f ( x) 上点 P( x , f ( x ) 处的切线在 x 轴f ( x ) sin 3x 0u上的截距。五、（本题 12 分）求最小实数

11、 C ，使得满足1f ( x ) 都f ( x ) dx 1 的连续函数有01f ( x )dx C0六、（本题12 分）设 f ( x ) 为连续函数， t 0 。区域是由抛物面 z x 2y2和球面 x2y2z2t 2 (z0) 所围起来的部分。定义三重积分F (t )f ( x 2y2z2 )dv求 F ( t) 的导数 F (t )七、（本题 14 分）设an 与bn 为正项级数，证明：n 1n 1（1）若 liman10，则级数an 收敛；an 1bnbnn1n 1（2）若 liman10，且级数bn 发散，则级数an 发散。nan 1bnbn 1n 1n 1第五届全国大学生数学竞赛

12、预赛试卷一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限 lim 1sin1 4n2n.n2.证明广义积分sin x dx 不是绝对收敛的0x3.设函数yy x 由 x33x2 y2 y32 确定，求 y x 的极值。4.过曲线y3x x0上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为 3 ，求点 A 的坐标。4x sin x arctan ex二、（满分 12）计算定积分 Icos2dx1x三、（满分 12 分）设f x 在 x0 处存在二阶导数 ffx0 ，且 lim0 。x 0x证明 ：级数f1收敛。n 1nb四、（满分 12 分）设f x,

13、 f x证明 sin fx dx0 a x b ，2am五、（满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 I x3 x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy 。试确定曲面 ，使积分 I 的值最小，并求该最小值。六、（满分 14 分）设 I a rydxxdya ， 其中 a 为常数，曲线 C 为椭圆Cx2y2x2xy y2r 2 ，取正向。求极限 lim I a rr11七（满分 14 分）判断级数1n 的敛散性，若收敛，求其和。2n 1n 1 n2五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向

14、量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离 .6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形 .7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算 .2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算 .3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹

15、角 .4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用 .5. 应用向量求解一些几何、三角问题 .二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程( 向量式与坐标式之间的互化) 及其关系 .2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1. 平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义 .2. 从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程 .3. 根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直

16、线与直线、平面与直线间的位置关系 .4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1. 柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程 .2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质， 根据不同条件建立二次曲面的标准方程 .3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.