全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类无答案9614.docx
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全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类无答案9614
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题
5分，共20分）
（xy）ln（1
y）
1．计算
xdxdy____________，其中区域D由直线x
y1与两
D
1x
y
坐标轴所围成三角形区域.
2．设f（x）是连续函数，且满足f（x）3x2
2
f（x）dx2,则f（x）____________.
0
3．曲面zx2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________.
2
4．设函数yy（x）由方程xef（y）eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，则
d2y
dx2________________.
二、（5分）求极限lim（ex
e2x
enx
e
）x，其中n是给定的正整数.
x0
n
1
f（xt）dt，且limf（x）
A，A为常数，求g（x）
三、（15分）设函数f（x）连续，g（x）
0
x0
x
并讨论g（x）在x
0处的连续性.
四、（15分）已知平面区域D{（x,y）|0x,0y}，L为D的正向边界，试证：
（1）
xesinydy
yesinxdx
xesinydyyesinxdx；
L
L
（2）
xesinydy
yesinydx
5
2.
L
2
五、（10分）已知y1xex
e2x，y2
xex
ex，y3
xex
e2x
ex是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分）设抛物线yax2
bx
2lnc过原点.当0
x1时,y
0,又已知该抛物线
与x轴及直线x1所围图形的面积为
1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋
3
转体的体积最小.
七、（15分）已知un（x）满足un（x）un（x）
xn1ex（n1,2,）,且un
（1）
e,求函数项
n
级数
un（x）之和.
n1
八、（10分）求x
1时,
与
xn2
等价的无穷大量.
n0
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（25分，每小题5分）
n
（1）设xn（1a）（1a2）（1a2）,其中|a|1,求limxn.
n
（2）求limex11
xx
x2
。
（3）设s
0，求Iesxxndx（n
1,2,
）。
0
（4）设函数f（t）有二阶连续导数，r
x2
y2,g（x,y）f
1，求
2g
2g
。
r
x2
y2
（5）求直线l1
x
y
0
x2
y1
z3的距离。
:
0
与直线l2:
z
4
2
1
二、（15
f（x）
分）设函数f（x）在
0,limf（x）
x
（,0,limx
）上具有二阶导数，并且
f（x）0,且存在一点
x0，使得
f（x0）
0。
三、（15分）设函数y
f（x）由参数方程
x
2tt2
（t）具有二阶
y
（t1）所确定，其中
（t）
导数，曲线y
（t）与y
t2
u
2
3
在t
1出相切，求函数（t）。
e
du
2e
1
n
四、（15
分）设an0,Sn
ak,证明：
k
1
（1）当
1时，级数
an
收敛；
n1Sn
（2）当
1且sn
（n
）时，级数
an发散。
n1Sn
五、（15
分）设l是过原点、方向为
（
,），（其中
2
2
2
1）的直线，均匀椭球
x2
y2
z2
1，其中（0c
b
a,密度为1）绕
l
旋转。
a2
b2
c2
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向（,,）的最大值和最小值。
六、（15
分）设函数（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线
C上，曲线
积分
2xydx
（x）dy的值为常数。
c
x4
y2
（1）设L为正向闭曲线（x2）2
y2
1,证明
2xydx
（x）dy0;
c
x4
y2
（2）求函数
（x）；
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
2xydx
（x）dy。
c
x4
y2
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求limsinx
x0
x
1
1cosx
；
1
1
...
1
（2）.求lim
n2
；
nn1
n
n
（3）已知
x
ln1e2t
d2y
y
tarctanet
，求
dx2。
二．（本题10分）求方程2xy4dxxy1dy0的通解。
三．（本题15
分）设函数f（x）
在x=0
的某邻域内具有二阶连续导数，且
f0,f'0,f"0
均不为0，证明：
存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得
limk1fh
k2f
2h
h
2
k3f
3h
f0
0。
h0
x2
y2
z2
1，其中abc
0，
四．（本题17
分）设
1
:
2
b2
c2
a
2:
z2
x2
y2
，
为
1与
2的交线，求椭球面
1在上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。
五．（本题16分）已知S是空间曲线
x2
3y2
1
z
0
绕y轴旋转形成的椭球面的上半部
分（z
0
）取上侧，
是S在P
x,y,z点处的切平面，
x,y,z是原点到切
平面
的距离，,
表示S的正法向的方向余弦。
计算：
（1）
z
dS；
（2）
zx3yzdS
x,y,z
S
S
六．（本题
12分）设
f（x）
是在
内的可微函数，且
f
、
x
mf
x
，其
中0
m1
，任取实数
a0
，定义
an
lnf
an1
n
1,2,...,
证明：
anan1绝对收敛。
n1
七（．本题15分）是否存在区间
0,2上的连续可微函数
f（x），满足f0
f21，
2
1？
请说明理由。
f、x1,fxdx
0
第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共
5小题，每小题
6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写
出重要步骤）
1
（1）
求极限lim（n!
）n2
n
（2）
2x
y3z
2
0
的两个互相垂直的平面
1和2，使其中
求通过直线l:
5y
4z
3
0
5x
一个平面过点（4,
3,1）。
（3）
已知函数z
u（x,y）eax
by，且
2u
0。
确定常数a和b，使函数zz（x,y）
x
y
满足方程
2z
z
z
0
xy
x
z
y
（4）
设函数u
u（x）连续可微，u
（2）
1，且（x2y）udx（x
u3）udy在右半平
面与路径无关，求u（x,y）。
x1
（5）求极限lim3x
xx
sint
dt
tcost
二、（本题
10分）计算
0
e
2x
sinxdx
三、求方程x2sin
1
2x
501的近似解，精确到
0.001.
x
四、（本题12分）设函数y
f（x）二阶可导，且f（x）0，f（0）0，f（0）0，
3
求lim
xf（u）
，其中u是曲线yf（x）上点P（x,f（x））处的切线在x轴
f（x）sin3
x0
u
上的截距。
五、（本题12分）求最小实数C，使得满足
1
f（x）都
f（x）dx1的连续函数
有
0
1
f（x）dxC
0
六、（本题
12分）设f（x）为连续函数，t0。
区域
是由抛物面zx2
y2
和球面x
2
y2
z2
t2（z
0）所围起来的部分。
定义三重积分
F（t）
f（x2
y2
z2）dv
求F（t）的导数F（t）
七、（本题14分）设
an与
bn为正项级数，证明：
n1
n1
（1）若lim
an
1
0
，则级数
an收敛；
an1bn
bn
n
1
n1
（2）若lim
an
1
0
，且级数
bn发散，则级数
an发散。
n
an1bn
bn1
n1
n1
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限lim1
sin
14n2
n
.
n
2.证明广义积分
sinxdx不是绝对收敛的
0
x
3.设函数
y
yx由x3
3x2y
2y3
2确定，求yx的极值。
4.过曲线
y
3
xx
0
上的点
A作切线，使该切线与曲线及
x轴所围成的平面图形的
面积为3，求点A的坐标。
4
xsinxarctanex
二、（满分12）计算定积分I
cos2
dx
1
x
三、（满分12分）设
fx在x
0处存在二阶导数f
f
x
0，且lim
0。
x0
x
证明：
级数
f
1
收敛。
n1
n
b
四、（满分12分）设
fx,fx
证明sinf
xdx
0axb，
2
a
m
五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。
给定第二型
的曲面积分Ix3xdydz2y3ydzdx3z3zdxdy。
试确定曲面，
使积分I的值最小，并求该最小值。
六、（满分14分）设Iar
ydx
xdya，其中a为常数，曲线C为椭圆
C
x2
y2
x2
xyy2
r2，取正向。
求极限limIar
r
1
1
七（满分14分）判断级数
1
n的敛散性，若收敛，求其和。
2
n1
n1n
2
五、向量代数和空间解析几何
1.
向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
2.
两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
3.
向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
4.
曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.
6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.
7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
Ⅲ、解析几何部分
一、向量与坐标
1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
5.应用向量求解一些几何、三角问题.
二、轨迹与方程
1.
曲面方程的定义：
普通方程、参数方程
（向量式与坐标式之间的互化
）及其关系.
2.
空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
3.
建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程
.
4.
球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程
.
三、平面与空间直线
1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.
3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们
之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
四、二次曲面
1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
3.
单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法
.
4.
根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题
.
五、二次曲线的一般理论
1.
二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
2.
二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
3.
二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
4.
二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.
5.
化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
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