动点的轨迹问题.docx

1、动点的轨迹问题动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方 面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过 对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思 想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程， 而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别 是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能 力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、 三角、向

2、量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动 点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：1直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。2定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3.代入法：动点所满足的条件不易表述或

3、求出，但形成轨迹的动点 P（x,y）却随另一动 点 Q（x ， y ）的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x ,y 表示为 x,y的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助 中间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨 迹方程。5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时 常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说 是参数法的一种变种。

4、6.转移法：如果动点 P 随着另一动点 Q 的运动而运动，且 Q 点在某一已知曲线上运动，那么只需将 Q 点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到 P 点的轨迹方程。7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满 足的条件，然而得出动点的轨迹方程。8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为 A(x1,y1),B(x2,y2)并代 入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质 的“源”。对于圆锥曲线的有关

5、问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一 种重要的解题策略。二、注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P的运动规律，即 P点满足的 等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y) = 0表示，又可用参数方程 x = f (t)(t为参数) y = g (t) 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，(即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示)，出现增解则要舍去，出现

6、丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端 情形。4 求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。【典型例题选讲】 一、直接法题型： 例1 已知直角坐标系中，点Q(2，0)，圆C 的方程为x2 + y2 =1，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数 ( 0) ，求动点M的轨迹。 解：设MN切圆C于N，则 MN 2 = MO2 - ON2。设 M ( x, y) ，则 x + y - 1 = ( x - 2) + y 化简得( 2 -1)(x2 + y2)-4 2x+(1+4 2)=0 (1)当 = 1时，方程为x = ，表示一条直线。42 2 1+ 3 22)当 1时，方

7、程化为(x- 22 -1)2 + y2 = (1 +2 -3 1)2 表示一个圆。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。变式- - 如图，圆O1与圆O2的半径都是1， O1O2 = 4 ，过动点 P分别作圆O1 、圆O2的 切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM = 2PN 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解：以O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则O1(-2,0),O2(2,0)由已知PM = 2PN可得： PM 2 =2PN2因为两圆的半径均为1，所以PO12 -1=2(PO22 -1)设

8、P(x,y)，则(x+2)2 -1=2(x-2)2 + y2 -1，即(x-6)2 + y2 =33 所以所求轨迹方程为：(x-6)2 + y2 =33(或x2 + y2 -12x+3=0)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最 后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说 明轨迹是什么。二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC

9、|=6，O切 直线 l于点 A，又过B、C 作O异于l 的两切线， 于点 P，求点P 的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l 的两切线分别切O 两切线交于点 P.由切 线的 性质知： |BA|=|BD|， |CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|， 故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l 所在的直线为x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，22可求得动点P的轨迹方程为： x+y=181 72练习： 已知圆 O的方程为 x2+y2=100,点

10、A 的坐标为(-6，0)， M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交 OM 于点P，求点P 的方程。解：由中垂线知， PA = PM 故 PA + PO = PM + PO = OM =10 ，即P点的轨迹为 以 A、O 为焦点的椭圆，中心为(-3，0)，故 P 点的方程为 (x +3) + y =12525 16评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。代入法题型： 例 3 如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N 。求线段 QN 的中点P 的轨迹方程。解：设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1)则 N (

11、2x-x1,2y-y1 )代入 x+y=2, 得 2x-x1+2y-y1=2 又 PQ 垂直于直线 x+y=2，故 1 = 1 ，即 x-y+y1-x1=0 x-x3 1 1 3 由解方程组得 x1 = x + y -1, y1 = x + y -1 , 代 入双曲线方程即可得 P 点的轨迹方程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0 练习：已知曲线方程 f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于 x 轴，关于 y 轴，关于直线 y=x， 关于直线y=-x ，关于直线y=3 对 称 的 曲 线 方 程 。 (f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-

12、x,-y)=0，f(x,6-y)=0) 四、参数法与点差法题型： 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助 中间变量(参数)，使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出 动点的轨迹方程。例 4 经过抛物线 y2=2p(x+2p)(p0) 的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、 C 两 点，求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。解：A(-2p,0),设直线 AB 的方程为 y=k(x+2p)(k 0).与抛物线方程联立方程组可解得 B 点的坐标为 ( - 2 p, ) ，由于 AC 与 AB 垂直，则 AC 的方程为 y = - (x + 2

13、 p) ，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k 2 p - 2 p,-2kp) ，又M为BC中点，设M(x,y),消去 k 得 y2=px,即点M 的轨迹是抛物线。巩固与提高：1在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=x2上异于坐标原点 O的 两不同动点 A、B 满足AOBO(如图 4所示).求AOB的重心G(即三角形 三条中线的交点)的轨迹方程；解析】A(k，k2) OAOB，OB：y=- x由 y=-k x解得B - , 2 y= x 2消去参数k得重心G的轨迹方程为y = 3x2 + 2OAOB k k =-1,即x x + y y = -1，(2)又点A，B在抛物线上，有y1

14、 = x12,y2 = x22 ，代入(2)化简得x1x2 =-1y = 1 2 = (x1 +x2)= (x1 +x2) -2x1x2= (3x) + =3x +2所以重心为 G 的轨迹方程为 y = 3x 2 + 2 。2如图，设抛物线C : y= x2的焦点为F，动点P在直线l : x - y-2=0上运动， 过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.求 APB 的重心 G 的轨迹方程.解析】设切点 A、B 坐标分别为(x, x02)和(x1, x12 )(x1切线 AP的方程为： 2x0x - y-x02 =0;切线BP的方程为： 2x1x

15、 - y - x12 =0;解得 P 点的坐标为： xP = x0 + x1 , yP = x0 x1所以APB的重心G的坐标为 xG = x0 +x1 +xP = xP，y0 + y1 + yP x02 +x12 +x0x1 (x0 +x1)2 -x0x1 4xP - ypyG = 0 31 P = 0 13 0 1 = 0 13 0 1 = 3 ,所以yp =-3yG +4xG2 ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：x-(-3y+4x )-2=0,即y = 3(4x -x+2).评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也 是学生较

16、难掌握的一类问题。2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立 n+1 个方程，才能消参(特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少)。五、交轨法与几何法题型求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时 常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方 程。可以说是参数法的一种变种。例5 抛物线y =4px(p 0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。

17、(考例 5 )解1(交轨法)：点A、B在抛物线y2 =4px(p 0)上，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2由消去得yA+yB即得x2 + y2 -4px=0， 即得(x-2p)2 + y2 =4p2。 所以点M的轨迹方程为(x - 2 p)2 + y2 =4p2，其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆, 除去点(0，0)。说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交 点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解 2(几何法)：由解 1 中 AB 方程( yA+yB)y-4px+16p2 =0 可

18、得 AB 过定点(4p,0 )而 OM 垂直 AB，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆。所 以方程为(x-2p)2 + y2 = 4p2 ，除去点(0，0)。六、点差法：例6(2004 年福建，22)如图，P 是抛物线 C： y = 1 x2上一点，直线l过点 P 且与抛物线2C 交于另一点Q。若直线l与过点 P 的切线垂直，求线段PQ中点M 的轨迹方程。(图见教 材 P129 页例 2 )。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意知，x1 0,y1 0,y2 01由y = x2 (1)2得y/ = x ， 过点P的切线的斜率k

19、切x1 ， 直线l的斜率k =- 1 =- 1 ， 直线l的方程为y - 1 x2 =- 1 (x-x ) (2)l x x 2 1 x 12 方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立（1）（2）消去y得，x2 + 2 x-x12 -2=0x1 1x1 + x2 1 M 为 PQ 的中点， x0 = 2 = - x1 2 1 y0 = x1 - (x0 - x1)2x消去x1,得y0 = x0 + 2x02 +1(x0 0). PQ 中点为 M 的轨迹方程为 y = x2 + 1 + 1(x 0)2x方法二(点差法)由y1 = 1x12,y2 = 1x22,x0 = x1 +x2111得 y

20、1 - y2 = x1 - x2 = (x1 + x2)(x1 - x2) =x0(x1 - x2 )则 x0 = 1 2 = kl = - , x1 = -0 x1 - x 2 l x1 1 x0将上式代入(2)并整理，得 y0 = x0 + + 1(x0 0).2x0 PQ 中点为 M 的轨迹方程为 y = x2 + 1 + 1(x 0)2x说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。七、向量法：x + y 1 ，P 是 L12 8x2 y 2例7 （1995全国理）已知椭圆如图6，2x4 +

21、1y6 1，直线L：上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q 在OP上且满足|OQ|OP|OR|2.当点P在L上移 动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 解：由OQ,OR,OP共线,设OR = mOQ,OP = nOQ,OQ = (x, y) uuur uuur uuur uuur uuur则OR = (mx,my),OP =(nx,ny),由|OP|.|OQ|=|OR|2,得n = m2 (1)2 2 2 2Q R在椭圆上, m x +m y =1,24 16又Q点P在L上 nx + ny =112 822

22、22 x2+ y2= 1 , x + y = 1代入(1)得：x2 + y2= x + y24 16 m2 12 8 n 24 16 12 8 (x-1) + (y-1) =1即为所求的轨迹为椭圆。23 本题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，如果用常规方法求解，其过程曲折， 运算繁杂，而利用向量作形与数的转化，由此展开思路，不仅减少运算量，其过程也就变得 平坦自然总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题 时是值得我们引起高度重视的：1.高考方向要把握高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问

23、题，综合考查各种方法。2.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出 方程所表示的曲线类型(定形、定位、定量)。3.抓住特点选方法处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法(什么情况下用什么方法 上面已有介绍，这里不再重复)。4.认真细致定范围确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在 确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：1准确理解题意，挖掘隐含条件；2列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；3推理要严密，方程化简要等价；4消参时要保持范围的等价性；数形结合，查 “ 漏 ” 补 “ 缺 ” 。5.平几知识“用当先”在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有：1题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；2简化条件式；3转化化归。6.向量工具“用自如”向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中 起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用 自如