动点的轨迹问题.docx
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动点的轨迹问题
动点的轨迹问题
根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：
一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求轨迹方程的的基本步骤：
建设现代化（检验）
建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）
求轨迹方程的的基本方法：
1．直接法：
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不
需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
2．定义法：
运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发
直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
3.代入法：
动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点Q（x'，y'）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x',y'表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
4.参数法：
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
6.转移法：
如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，
那么只需将Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。
7.几何法：
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
8.待定系数法：
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。
9.点差法：
求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A（x1,y1）,B（x2,y2）并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。
此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。
二、注意事项：
1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
2.轨迹方程既可用普通方程F（x，y）=0表示，又可用参数方程x=f（t）（t为参数）
y=g（t）来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。
检验方法：
研究运动中的特殊情形或极端情形。
4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。
在此不一一缀述。
【典型例题选讲】一、直接法题型：
例1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切
线长与MQ的比等于常数（0），求动点M的轨迹。
解：
设MN切圆C于N，则MN2=MO2-ON2。
设M（x,y），则x+y-1=（x-2）+y化简得（2-1）（x2+y2）-42x+（1+42）=0
（1）当=1时，方程为x=，表示一条直线。
4
221+32
2）当1时，方程化为（x-22-1）2+y2=（1+2-31）2表示一个圆。
说明：
求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
变式--如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=2PN．试建立适当的坐标系，并求动点
P的轨迹方程．
解：
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的
直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则O1（-2,0）,O2（2,0）
由已知PM=2PN可得：
PM2=2PN2
因为两圆的半径均为1，所以PO12-1=2（PO22-1）
设P（x,y），则（x+2）2-1=2[（x-2）2+y2-1]，即（x-6）2+y2=33所以所求轨迹方程为：
（x-6）2+y2=33（或x2+y2-12x+3=0）
评析：
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
二、定义法题型：
运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发
直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，于点P，求点P的轨迹方程.
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′两切线交于点P.由切线的性质知：
|BA|=|BD|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，
22
可求得动点P的轨迹方程为：
x+y=1
8172
练习：
已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂
直平分线交OM于点P，求点P的方程。
解：
由中垂线知，PA=PM故PA+PO=PM+PO=OM=10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为（x+3）+y=125
2516
评析：
定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
代入法题型：
例3如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。
求线段QN的中点
P的轨迹方程。
解：
设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）
则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①
又PQ垂直于直线x+y=2，故1=1，即x-y+y1-x1=0②
x-x
3113由①②解方程组得x1=x+y-1,y1=x+y-1,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0练习：
已知曲线方程f（x,y）=0.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
（f（-x,-y）=0,f（x,-y）=0,f（-x,y）=0,f（y,x）=0,f（-x,-y）=0，f（x,6-y）=0）四、参数法与点差法题型：
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
例4经过抛物线y2=2p（x+2p）（p>0）的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。
解：
A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k（x+2p）（k0）.与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为（-2p,），由于AC与AB垂直，则AC的方程为y=-（x+2p），与抛
物线方程联立方程组可解得C点的坐标为（2k2p-2p,-2kp），又M为BC中点，设M（x,y）,
消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。
巩固与提高：
1〉在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
解析】
A（k，k2）∵OA⊥OB，
∴OB：
y=-x由y=-kx解得B-,2y=x
2
消去参数k得重心G的轨迹方程为y=3x2+2
∵OA⊥OB∴kk=-1,即xx+yy=-1，……
（2）
又点A，B在抛物线上，有y1=x12,y2=x22，代入
（2）化简得x1x2=-1
∴y=12=（x1+x2）=[（x1+x2）-2x1x2]=（3x）+=3x+
2
所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+2。
2〉如图，设抛物线C:
y=x2的焦点为F，动点P在直线l:
x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
解析】设切点A、B坐标分别为（x,x02）和（x1,x12）（（x1
∴切线AP的方程为：
2x0x-y-x02=0;
切线BP的方程为：
2x1x-y-x12=0;
解得P点的坐标为：
xP=x0+x1,yP=x0x1
所以△APB的重心G的坐标为xG=x0+x1+xP=xP，
y0+y1+yPx02+x12+x0x1（x0+x1）2-x0x14xP-yp
yG=031P=01301=01301=3,
所以yp=-3yG+4xG2，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方
程为：
x-（-3y+4x）-2=0,即y=3（4x-x+2）.
评析：
1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。
2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：
斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才
能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。
五、交轨法与几何法题型
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
例5抛物线y=4px（p0）的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直
线AB上的射影M的轨迹。
（考例5）
解1（交轨法）：
点A、B在抛物线y2=4px（p0）上，
即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2
由①②消去得yA+yB即得x2+y2-4px=0，即得（x-2p）2+y2=4p2。
所以点M的轨迹方程为（x-2p）2+y2=4p2，其轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆,除去点（0，0）。
说明：
用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。
交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2（几何法）：
由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2=0可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：
M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。
所以方程为（x-2p）2+y2=4p2，除去点（0，0）。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：
y=1x2上一点，直线l过点P且与抛物线
2
C交于另一点Q。
若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。
（图见教材P129页例2）。
解：
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,M（x0,y0）,依题意知，x10,y10,y20
1
由y=x2
（1）
2
得y/=x，过点P的切线的斜率k切＝x1，
直线l的斜率k=-1=-1，直线l的方程为y-1x2=-1（x-x）
（2）
lxx21x1
2方法一、（利用韦达定理、中点坐标公式）联立
（1）
（2）消去y得，x2+2x-x12-2=0
x11
x1+x21
M为PQ的中点，
x0=2=-x
121y0=x1-（x0-x1）
2x
消去x1,得y0=x0+2x02+1（x00）.
PQ中点为M的轨迹方程为y=x2+1+1（x0）
2x
方法二（点差法）由y1=1x12,y2=1x22,x0=x1+x2
111
得y1-y2=x1-x2=（x1+x2）（x1-x2）=x0（x1-x2）
则x0=12=kl=-,x1=-
0x1-x2lx11x0
将上式代入
（2）并整理，得y0=x0++1（x00）.
2x0
PQ中点为M的轨迹方程为y=x2+1+1（x0）
2x
说明：
本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键
是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。
七、向量法：
x+y＝1，P是L
128
x2y2
例7（1995全国理）已知椭圆如图6，2x4+1y6＝1，直线L：
上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解：
由OQ,OR,OP共线,设OR=mOQ,OP=nOQ,OQ=（x,y）uuuruuuruuuruuuruuur
则OR=（mx,my）,OP=（nx,ny）,由|OP|.|OQ|=|OR|2,得n=m2
（1）
2222
QR在椭圆上,mx+my=1,
2416
又Q点P在L上nx+ny=1
128
2222
x2+y2=1,x+y=1代入
（1）得：
x2+y2=x+y
2416m2128n2416128
（x-1）+（y-1）=1即为所求的轨迹为椭圆。
23本题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，如果用常规方法求解，其过程曲折，运算繁杂，而利用向量作形与数的转化，由此展开思路，不仅减少运算量，其过程也就变得平坦自然
总结：
以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：
1.高考方向要把握
高考考查轨迹问题通常是以下两类：
一类是容易题，以定义法、相关点法、
待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。
2.“轨迹”、“方程”要区分
求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。
3.抓住特点选方法
处理轨迹问题成败在于：
对各种方法的领悟与解题经验的积累。
所以在处理
轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。
4.认真细致定范围
确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：
1准确理解题意，挖掘隐含条件；
2列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；
3推理要严密，方程化简要等价；
4消参时要保持范围的等价性；
⑤数形结合，查“漏”补“缺”。
5.平几知识“用当先”
在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：
1题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；
2简化条件式；
3转化化归。
6.向量工具“用自如”
向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握，并能运用自如
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