第六章 线性空间15986Word下载.docx

1、 2）.（）=（） 3）.在V中有一个元素O，对于V中任一元素，都由 O= 4）.对于V中每一个元素，都有V中元素，使得=0（称为的负元素）。.在V中，在数域p与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，或者说对于数域p中任一个数k与v中任一元素a，在v中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与的数量乘积，证为=k. . 数量乘积满足下面两条规则： 5）. 1= 6）. k（l）=（kl） V . 数量乘积法与加法满足下面两条规则： 7）.（k+l）=k+l 8）. k（+）=k+k 在以上规则中，k,l等表示数域p中的任意数，, ,r,等表示集合V中任意元素 VI . 如果v中的加法与P

2、与V中的向量的数量乘法满足上述八条规则，则V是数域P上的一个向量空间 VII. 线形空间的一些简单性质（1）零元素是唯一的，记为0（2）负元素是唯一的，、+ =0, 记为-（3） 0=0,k0=0,（-1）=- 布置作业：P267.1.2.3.（2）（4）（6）（8）.4 Ch62维数基和坐标 让学生掌握向量空间中的向量的线性相关性,以及向量的相关性与向量空间中的一组基之间的关系. 教学手段: （1）采用实例引入向量的线性相关无关的概念 （2）提问学生几个向量相关的问题 .单个向量是线性相关的充分必要条件是=0 .一组向量1, 2 , n （n2）线性相关的充分必要条件是其中有一个向量为其余向

3、量线性表出. .如果向量组1, 2 , , r 线性无关,且可被向量组1, 2, , s线性表出,那么rs. .两个等价的线性无关的向量组,必定含有相同个数的向量. .如果向量组一组向量1, 2 , r 线性无关,但向量组一组向量1, 2 , , r, ,线性相关,那么可经 1, 2 , , r线性表出,且表示法是唯一的. 在以上五个简短结论的基础上,建立向量空间维数的概念,并且确定本书只研究有限维向量空间,无限向量空间是一个专门研究的对象.有了维数概念,引出向量空间一组基以及任一个向量在这组基下的坐标.由此,我们引出一系列的向量空间的结论. 定理1. 如果在向量空间V中有n个线性无关的向量1

4、, 2, , n且V中任一个向量都可经它们线性表出,那么V是n维的,而1, 2 , n就是V的一组基.由此推出,V中任意一组n个线性无关的向量也可以充当它的一组基;任意n+1个向量必定线性无关布置作业: P268. 7（1）. 8（3）（4） 9（1） 103基变换与坐标变换 让学生掌握一个向量空间有不同的基,那么两组基之间有一个可逆的过渡矩阵,从这个意义上出发,了解一个向量在两组基之间的联系情况.教学手段 一般矩阵的元素都是数哉P的数,此时我们用向量空间中的向量来代替数域P里的数,然后用此向量与一般矩阵相乘,相乘的规则依旧,自然这是形式上采用这种办法,目的解决向量空间的两组基之间的渭过渡矩阵

5、的问题. . （ 1 ,2, , n ） （ 1, 2, , n ） 矩阵 A= 称为由基1 ,2, , n到基1, 2, , n的过渡矩阵,它是可逆的 . 上述.的写法有一些运算规则. （1, 2, n） A）B=（1, 2, n）（ AB） （1, 2, n） A）+ （1, 2, n） B=（1, 2, n）（ A+B） （1, 2, n） A+（1 2 n）A=（1+1, 2+2, n+ n）A . 这就是所谓向量在两组基下的坐标变换公式 P269. 9（1）. 10 . P271. 1.（1）（2）. 2. 3.Ch6 4线性子空间 让学习明嘹山由向量空间的子空间来了解向量空间的某个

6、特性.学习要求: 生成子空间;在一个子空间上扩充向量,从而组成向量空间V的新的向量子空间. I:向量空间V的一个非空子集W组成V的一个子空间的条件:（1） W, KP, so k W （2） , W , so + W （3） O W（4） W , W :任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数. :1,2,r V,那么 L （1,2,） = 11+22+ =1.2, 称为由1,2, 生成的子空间,即V的一个子空间包含了1,2,那么就一定包含它们所有的线性组合,也就是说一定包含L（1,2,）作为子空间.:两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价. : L（1,2,r）的维数

7、等于向量组1,2,r的秩. :设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间, 1,2, n为W的一组基,那么这组向量必定可扩充为整个空间的一组基,也就是说,在V中必定可以找到n-m个向量m+1, m+2, n,使得1,2,n是V的一组基.证明这个结论的时候采取对维数差n-m作数学归纳法 P269. 12. 13,14,15,16,17Ch6 . 5子空间的交与和 让学生掌握子空间的两种运算:交与和. 采用集合论中相等的两个集合互相包含的方法. .如果V1,V2是线性空间v的两个子空间,那么它们的交V1V2也是V的子空间,但是它们的并V1UV2未必是V的子空间,并举出反例说明之. 子空间的交运算

8、适合下列运算规律: V1V2 = V2V1 （交换律） （V1V2） V3= V3（V1V2） （结合律） 由结合律,我们可以定义多个子空间的交: V1V2Vs 它也是V的一个子空间. 如果V1,V2是V的两个子空间,那么它们的和V1+V2也是V的子空间. . 子空间的和适合下列运算规律: V1+V2=V2+V1 （交换律） （V1+V2）+V3=V1+（V2+V3）（结和律） 由结合律,我们可以定义多个子空间的和 V1+V2+VS=它是由 1+ 2+ s iV i, i =1,2,s,组成的子空间.关于两个空间的交与和的维数,有下面的维数公式维（V1）+维（V2）=维（V1+V2）+维（V1V2）证明此结论,注意由V1V2的一组基1,2m出发,扩充成V1的一组基 1, 2 m , 1, 2 , ,n1-m也可以扩充成V2的一组基 1, 2 m , 1, 2 , ,n2-m然后证明1, 2 m , 1, 2 , ,n1-m, 1, 2 , ,n2-m组成V1+V2的一维基.如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2必含有非零的公共向量. P270. 18（1）（3）. 23（1）（2）（3）.