第六章 线性空间15986Word下载.docx

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2）.（α＋β）＋γ=α＋（β＋γ）

3）.在V中有一个元素O，对于V中任一元素α，都由

α＋O=α

4）.对于V中每一个元素α，都有V中元素β，使得

α＋β=0

（β称为α的负元素）。

Ⅲ.在V中，在数域p与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，或者说对于数域p中任一个数k与v中任一元素a，在v中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称为k与α的数量乘积，证为

δ=kα.

Ⅳ.数量乘积满足下面两条规则：

5）.1α=α

6）.k（lα）=（kl）α

V.数量乘积法与加法满足下面两条规则：

7）.（k+l）α=kα+lα

8）.k（α+β）=kα+kβ

在以上规则中，k,l等表示数域p中的任意数，α,β,r,等表示集合V中任意元素

VI.如果v中的加法与P与V中的向量的数量乘法满足上述八条规则，

则V是数域P上的一个向量空间

VII.线形空间的一些简单性质

（1）零元素是唯一的，记为0

（2）负元素是唯一的，、α+β=0,β记为-α

（3）0α=0,k0=0,（-1）α=-α

布置作业：

P267.1.2.3.

（2）（4）（6）（8）.4

Ch6§

2维数基和坐标

让学生掌握向量空间中的向量的线性相关性,以及向量的相关性与向量空间

中的一组基之间的关系.

教学手段:

（1）采用实例引入向量的线性相关`无关的概念

（2）提问学生几个向量相关的问题

Ⅰ.单个向量α是线性相关的充分必要条件是α=0

Ⅱ.一组向量α1,α2,…,αn（n≥2）线性相关的充分必要条件是其中有一个向量为其余向量线性表出.

Ⅲ.如果向量组α1,α2,…,αr线性无关,且可被向量组β1,β2,…,βs线性表出,那么r≤s.

Ⅳ.两个等价的线性无关的向量组,必定含有相同个数的向量.

Ⅴ.如果向量组一组向量α1,α2,…,αr线性无关,但向量组一组向量α1,α2,…,αr,,β线性相关,那么β可经α1,α2,…,αr线性表出,且表示法是唯一的.

在以上五个简短结论的基础上,建立向量空间维数的概念,并且确定本书只研究有限维向量空间,无限向量空间是一个专门研究的对象.

有了维数概念,引出向量空间一组基以及任一个向量在这组基下的坐标.由此,我们引出一系列的向量空间的结论.

定理1.如果在向量空间V中有n个线性无关的向量α1,α2,…,αn且V中任一个向量都可经它们线性表出,那么V是n维的,而α1,α2,…,αn就是V的一组基.

由此推出,V中任意一组n个线性无关的向量也可以充当它的一组基;

任意n+1个向量必定线性无关

布置作业:

P268.7

（1）.8（3）（4）9

（1）10

3基变换与坐标变换

让学生掌握一个向量空间有不同的基,那么两组基之间有一个可逆的过渡矩阵,从这个意义上出发,了解一个向量在两组基之间的联系情况.

教学手段一般矩阵的元素都是数哉P的数,此时我们用向量空间中的向量来代替数域P里的数,然后用此向量与一般矩阵相乘,相乘的规则依旧,自然这是形式上采用这种办法,目的解决向量空间的两组基之间的渭过渡矩阵的问题.

Ⅰ.（η1,η2,…,ηn）＝（ε1,ε2,…,εn）

矩阵A==

称为由基ε1,ε2,…,εn到基η1,η2,…,ηn的过渡矩阵,它是可逆的

Ⅱ.上述Ⅰ.的写法有一些运算规则.

（（α1,α2,…αn）A）B=（α1,α2,…αn）（AB）

（α1,α2,…αn）A）+（α1,α2,…αn）B=（α1,α2,…αn）（A+B）

（α1,α2,…αn）A+（β1β2…βn）A=（α1+β1,α2+β2,…αn+βn）A

Ⅲ.这就是所谓向量§

在两组基下的坐标变换公式

P269.9

（1）.10.P271.1.

（1）

（2）.2.3.

Ch6§

4线性子空间

让学习明嘹山由向量空间的子空间来了解向量空间的某个特性.

学习要求:

生成子空间;

在一个子空间上扩充向量,从而组成向量空间V的新的向量子空间.

I:

向量空间V的一个非空子集W组成V的一个子空间的条件:

（1）α∈W,K∈P,sokα∈W

（2）α,β∈W,soα+β∈W

（3）O∈W

（4）α∈W,－α∈W

Ⅱ:

任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.

Ⅲ:

α1,α2,…,αr∈V,那么

L（α1,α2,…,αγ）={κ1α1+κ2α2+…+κγαγΙκί∈Ρί=1.2,…,γ}

称为由α1,α2,…,αγ生成的子空间,即V的一个子空间包含了α1,α2,…,αγ,那么就一定包含它们所有的线性组合,也就是说一定包含L（α1,α2,…,αγ）作为子空间.

Ⅳ:

两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.

Ⅴ:

L（α1,α2,…,αr）的维数等于向量组α1,α2,…,αr的秩.

Ⅵ:

设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间,α1,α2,…,αn为W的一组基,那么这组向量必定可扩充为整个空间的一组基,也就是说,在V中必定可以找到n-m个向量αm+1,αm+2,``````,αn,使得α1,α2,…,αn是V的一组基.证明这个结论的时候采取对维数差n-m作数学归纳法

P269.12.13,14,15,16,17

Ch6.§

5子空间的交与和

让学生掌握子空间的两种运算:

交与和.

采用集合论中相等的两个集合互相包含的方法.

Ⅰ.如果V1,V2是线性空间v的两个子空间,那么它们的交V1∩V2也是

V的子空间,但是它们的并V1UV2未必是V的子空间,并举出反例说明之.

Ⅱ子空间的交运算适合下列运算规律:

V1∩V2=V2∩V1（交换律）

（V1∩V2）∩V3=V3∩（V1∩V2）（结合律）

由结合律,我们可以定义多个子空间的交:

V1∩V2∩…∩Vs＝

它也是V的一个子空间.

Ⅲ如果V1,V2是V的两个子空间,那么它们的和V1+V2也是V的子空间.

Ⅳ.子空间的和适合下列运算规律:

V1+V2=V2+V1（交换律）

（V1+V2）+V3=V1+（V2+V3）（结和律）

由结合律,我们可以定义多个子空间的和

V1+V2+…+VS=

它是由

｛α1+α2+…+αs︱αi∈Vi,i=1,2,…,s｝

组成的子空间.

Ⅴ.关于两个空间的交与和的维数,有下面的维数公式

维（V1）+维（V2）=维（V1+V2）+维（V1∩V2）

证明此结论,注意由V1∩V2的一组基α1,α2````αm出发,扩充成V1的一组基

α1,α2````αm,β1,β2,…,βn1-m

也可以扩充成V2的一组基

α1,α2````αm,γ1,γ2,…,γn2-m

然后证明

α1,α2````αm,β1,β2,…,βn1-m,γ1,γ2,…,γn2-m

组成V1+V2的一维基.

Ⅵ.如果n维线性空间V中两个子空间V1,V2的维数之和大于n,那么V1,V2必含有非零的公共向量.

P270.18

（1）（3）.23

（1）

（2）（3）.

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