不定积分习题及答案.docx

1、不定积分习题及答案不定积分习题及答案【篇一：定积分习题及答案】a层次) ? 20 3 1?sinxcosxdx； 2?x a 2 a?xdx； 3? 2 2 3 dxx 2 1 ?x 2 ； 4?7? 1?1 xdx5?4xdx ； 5? 4 dxx?1 1 ； 6?3 4 1 dx?x?1 ； e2 1 x?lnx ? 4 ；8? ?dx ；9?0?cos2xdx； ?2x2?2x?2 32 xsinx dx；10?xsinxdx；11?2?4cosxdx；12?4 ?5x?2x2?1? 2 ? 4 5 4lnx1x dx13?；14；15dxxarctgxdx； ?2?10sinxx4 ?

2、 3 ? 16?2e2xcosxdx； 17? ? ?xsinx?dx； 18?sin?lnx?dx； 2 1 e ? 3 ? ? 19?2?cosx?cosxdx； 20?4 4 ?sinxxsinx ； dx； 21?01?cos2x1?sinx 22? 1 20 2 ?1?x1?x xlndx； 23?dx；24?2lnsinxdx； 40?1?x1?x ? 25? (b层次) ? dx dx?0?。 1?x21?x? 1求由?edt?costdt?0所决定的隐函数y对x的导数 y t x dy。 dx 2当x为何值时，函数i?x?te?tdt有极值？ 2 x 3 dcosx2 cos?

3、tdt。 dx?sinx ? ?x?1,x?1 2? 4设f?x?12，求?f?x?dx。 0x,x?1?2 15lim 2 ?arctgtdt?0 x x? x?1 2 。 ?1 x?sinx,0?x? 6设f?x?2，求?x?f?t?dt。 ?其它?0,?1 ,当x?0时?1?x 7设f?x? ?1,当x?0时?1?ex ，求?f?x?1?dx。 2 8lim 1 n?n2 n? n 2n?n2。 kn2kn ? 9求lim? n? k?1 e 。 1 n?ne 10设f?x?是连续函数，且f?x?x?2?f?t?dt，求f?x?。 11若? 2ln2x dte?1 ?12 t ? ? 6

4、 1 ，求x。 12证明：2e ? ? 21e?xdx?2。 2 ?x?a?2?2x 13已知lim?4xedx，求常数a。 ?ax?x?a?2 ?1?x, 14设f?x?x ?e, x x?0x?0 ，求?f?x?2?dx。 1 3 15设f?x?有一个原函数为1?sinx，求?2xf?2x?dx。 2 ? 16设f?x?ax?b?lnx，在?1,3?上f?x?0，求出常数a，b使?f?x?dx最 1 3 小。 17已知f?x?e ?x2 ，求?f?x?f?x?dx。 2 1 1 18设f?x?x2?x?f?x?dx?2?f?x?dx，求f?x?。 19? ? ?f?cosx?cosx?f?

5、cosx?sinx?dx。 2 220设x?0时，f?x?x2?t2f?t?dt的导数与x2是等价无穷小，试求 x ? f?0?。 (c层次) 1设f?x?是任意的二次多项式，g?x?是某个二次多项式，已知 ? 1 f?x?dx? b?1?1? ，求?f0?4f?f1g?x?dx。 ?a6?2? 2设函数f?x?在闭区间?a,b?上具有连续的二阶导数，则在?a,b?内存在?， b?a?b?13 使得?f?x?dx?b?a?f?b?a?f?。 ?a ?2?24 3f?x?在?a,b?上二次可微，且f?x?0，f?x?0。试证 ?b?a?f?a?af?x?dx?b?a?f?b?f?a?。 b 2

6、4设函数f?x?在?a,b?上连续，f?x?在?a,b?上存在且可积，f?a?f?b?0，试证f?x? 1b f?x?dx(a?x?b)。 ?a2 1 1 5设f?x?在?0,1?上连续，?f?x?dx?0，?xf?x?dx?1，求证存在一点x， 0?x?1，使f?x?4。 6设f?x?可微，f?0?0，f?0?1，f?x?tfx2?t2dt，求lim x?0 x ? f?x?。 4 x 7设f?x?在 4 b ?a,b?上连续可微，若f?a?f?b?0，则 f?x?f?x?。 ?b?a2 a a?x?b 8设f?x?在?a,b?上连续，a?a?b?b，求证lim? k?0 ba f?x?k?

7、f?x?dx k ?f?b?f?a?。 9设f?x?为奇函数，在?,?内连续且单调增加，f?x?x?3t?f?t?dt， 0x 证明：(1)f?x?为奇函数；(2)f?x?在?0,?上单调减少。 310设f?x?可微且积分?f?x?xf?xt?dt的结果与x无关，试求f?x?。 1 11若f?x?在?0,?连续，f?0?2，f?1，证明： ?f?x?f?x?sinxdx?3。 ? 12求曲线y?t?1?t?2?dt在点(0,0)处的切线方程。 x 13设f?x?为连续函数，对任意实数a有 ? ?a ?a sinxf?x?dx?0，求证 f?2?x?f?x?。 14设方程2x?tg?x?y? x

8、?y d2y sectdt，求2。 dx 2 15设f?x?在?a,b?上连续，求证： h?0 lim? 1x ?f?t?h?f?t?dt?f?x?f?a?(a?x?b) h?a x2?1?x?0 16当x?0时，f?x?连续，且满足? f?t?dt?x，求f?2?。 17设f?x?在?0,1?连续且递减，证明 ?f?x?dx?f?x?dx，其中?0,1?。 1? 18设f?x?连续，f?x?f?t?f?2a?t?dt，f?0?0，f?a?1，试证： x f?2a?2f?a?1。 19设g?x?是?a,b?上的连续函数，f?x?g?t?dt，试证在?a,b?内方程 ax g?x? f?b?0至

9、少有一个根。 b?a x x a b 20设f?x?在?a,b?连续，且f?x?0，又f?x?f?t?dt?(1)f?x?2 (2)f?x?0在?a,b?内有且仅有一个根。 21设f?x?在?0,2a?上连续，则? 2a0 1 dt，证明： ftf?x?dx?f?x?f?2a?x?dx。 a 22设f?x?是以?为周期的连续函数，证明： ?0?sinx?x?f?x?dx?0?2x?f?x?dx。 4 2?23设f?x?在?a,b?上正值，连续，则在?a,b?内至少存在一点?，使 ? ?a f?x?dx?f?x?dx? ?1 b 1b f?x?dx。 ?a2 x 1f?u?1?24证明?lnf?

10、x?t?dt?lndu?lnf?u?du。 000fu25设f?x?在?a,b?上连续且严格单调增加，则?a?b?f?x?dx?2?xf?x?dx。 a a bb 26设f?x?在?a,b?上可导，且f?x?m，f?a?0，则?f?x?dx? a b m ?b?a?2。 2 27设f?x?处处二阶可导，且f?x?0，又u?t?为任一连续函数，则 1a f?u?t?dt?0a ?1a? f?u?t?dt?，?a?0?。 ?a0? b?a?b? 28设f?x?在?a,b?上二阶可导，且f?x?0，则?f?x?dx?b?a?f? ?。a ?2? 29设f?x?在?a,b?上连续，且f?x?0，?f?

11、x?dx?0，证明在?a,b?上必有 a b f?x?0。 30f?x?在?a,b?上连续，且对任何区间?,?a,b?有不等式 ? ? f?x?dx?m? 1? (m，?为正常数)，试证在?a,b?上f?x?0。 第五章 定积分 (a) ? 1?2sinxcos3xdx ? 解：原式? a0 20 2114 cosxdx?cosx? 440 3 ? 2?x2a2?x2dx 解：令x?asint，则dx?acostdt 当x?0时t?0，当x?a时t? ? ? 2 原式?2a2sin2t?acost?acostdt 5【篇二：不定积分练习题】函数去求原函数 2.利用不定积分的直接积分法、换元法、

12、分步积分法求出其原函数 内容 一 不定积分的概念与性质 1.原函数与不定积分的概念 2.不定积分的性质 3.基本的积分公式 二 基本积分的方法 1.直接积分法 2.第一换元积分法（凑微分法） 3.第二换元积分法 4.分步积分法 例题 题型i不定积分的概念与性质 题型ii利用基本积分法求不定积分 题型iii有理函数的积分 题型iv简单无理函数的积分 题型vi含有三角函数的不定积分题型vii抽象函数的不定积分 题型viii分段函数的不定积分 自测题四 1求不定积分 2求抽象函数的不定积分 3根据含有三角的被积函数，求原函数 4函数的性质 5复合性的被积函数，求原函数 4月16日不定积分练习题 基础

13、题 一填空题 1.不定积分： ?x? dx 2 x ?_ 2.不定积分：(x?2)dx=_ 3.不定积分： 2 ?(1? 1x 2 )xxdx=_ 4.不定积分：(x?2)dx=_ ? 2 5.不定积分：(2e x ? 3x )dx=_ 6.一曲线通过点(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为_ 7.已知一个函数f(x)的导函数为 2 11?x 2 ，且当x?1时函数值为 32 ?，则此函数为_ 8. ? ( x ? 1x 1 x ) dx?_ 9. 设f(x)?10.如果e ?x ，则 ? f?(x)dx? 是函数f(x)的一个原函数，则 ? f(x)dx?

14、11. 设 ? f(x)dx? 16 ln(3x?1)?c,则f(x)?2 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x的曲线方程为. 13. 已知f?(x)?2x?1,且x?1时y?2,则f(x)?14. 15. ?(10 x ?3sinx?dx?(a 2 22 ?x)dx?.16. ?(1?x?x? 1 x 4 3 dx?. 二选择题 1、设 i? ? dx，则 i =（ ） ?c(b)? 1 (a)?4x 2、设 f(x)? ?5 1 3x 3 ?c(c)? ( ) 1?33 x?c (d)x?c 3 3 1 1?x 2 ，则 f(x) 的一个原函数为 1 1?x 1 1?x (d)l

15、n(a)arcsinx(b)arctanx(c)ln 2 1?x 2 1?x 3、函数 cos (a) ? 2 sin x的一个原函数为 （ ） ? 2 x(b) ? ? 2 sin ? 2 x （c） 2 ? sin ? 2 x (d) ? 2 ? sin ? 2 x ? 2 4、设f(x) 的一个原函数为f(x)， 则 (a) f(2x)+ c (b) f(5.设 ? f(2x) dx?（ ） x 2 )+ c(c) 1 2 f(2x)?c(d) 2f( x 2 )+ c ? f(x)dx? 34 lnsin4x?c，则f(x)?（ ）。 b. ?cot4x d. 3cot4x a. co

16、t4x c. 3cos4x 6. 若f(x)为可导、可积函数，则（ ）。 a. ?c. ? ? f(x)dx?f(x) ? b. d?d. ? f(x)dx?f(x) ? f(x) ? f?(x)dx?f(x) ?df(x)? 7. 设 f(x) dx?f(x)?c ，则 ? sinxf ( cosx )dx ? （ ） (a)f ( sinx ) ? c (b) ?f ( sinx ) ? c (c) ? f ( cosx) ? c(d) sinx f ( cosx) ? c 8.设f?x?是f ?x?在?,?上的一个原函数,且f?x?为奇函数,则f?x?是 () a 偶函数 b 奇函数c

17、非奇非偶函数 d不能确定 9.已知f() a xb cosxc cosx d cosx 2 2 2 ?x?的一个原函数为cosx,g?x? 的一个原函数为x,则f?g?x?的一个原函数为 ? 2 10.设e ?2x 是f ?x?的一个原函数,则lim ?2x f?x?2?x?f(x) ?x ?2x ?x?0 ? () a2e ?2x b-8ec?2e d4e ?2x 11. 设f(x)? 11?x 2 ,则f(x)的一个原函数为 (a)arcsinx (b)arctanx1?1?x?1?1?x? (c)ln?(d)ln? 2?1?x?2?1?x? 4月17日不定积分练习题 基础题 一填空题 1

18、.?tanxdx?_ 2.? 3.?4. 5.? 2 3x?3x?1 x?1 dx 2 42 2 dx x ( 1?x) = _ ? 1?e 1x 2 1 ?x dx cos 2x ? sinx x 为，则 6.设 f(x) 的一个原函数 ? f(x) dx ? _ 7.设 f(x) 的一个原函数为 ln x ， 则9.若 f(x) 的一个原函数为 ? f(1?2x) dx 8.设f(x)的一个原函数为 lnx , 则f?(x)?_ 则 f(x)?_ xlnx， 二选择题 1. 设 i? ? xx e?1 e?1 x x dx ，则 i?（ ） x (a)ln (e?1)?c(b)ln (e?

19、1)?c (c)2ln (e?1)?x?c (d)x?3xln (e?1)?c 2. 设f(x)的一个原函数是f(x) ，则 x ? f(ax?b) dx （ ）(a) f(axb)c (b) af(ax+b)+c (c) f(ax?b)ax?b +c (d) 1 a f(ax+b)+c 3. 若 ? f(x) dx?sinx?c ，则 ? x f ( 1?x2) dx?（ ） (a)2sin ( 1?x)?c (b)?2sin ( 1?x)?c (c) 2 2 1 2 sin ( 1?x)?c (d) ? 1 sinx 2 2 1 2 sin ( 1?x)?c 2 4.不定积分：? ( 1?

20、(a) x? ) cosxdx? （ ） 1 sinx sinx 11 (c) sinx?c (d) sinx?c sinx sinx ?c (b) x? 1 ?c 5. 不定积分：? sinex de x x ?（ ） x x x (a) cos e?c (b) ?cos e?c(c) arccos e?c (d) ?arccos e?c 6. 不定积分：? x dx 1?e x （ ） ?x (a)ln（ 1?e ）?c (b) ln（ 1?e ）?c (c) ln e xx 1?e ?c (d) ln 1 1?e x ?c 7. 设 f(x)?k tan 2 x 的一个原函数是 (a)?

21、 2 3 ln ( cos2 x )，则常数 k?（） 4 3 (d) 2 3 综合题 (b) 2 3 (c) ? 4 3 1.求 ? cos(2x?1) sin(2x?1) dx 2.求不定积分 2 ? (x?1) x 4 dx【篇三：不定积分练习题】函数去求原函数 2.利用不定积分的直接积分法、换元法、分步积分法求出其原函数 内容 一 不定积分的概念与性质 1.原函数与不定积分的概念 2.不定积分的性质 3.基本的积分公式 二 基本积分的方法 1.直接积分法 2.第一换元积分法（凑微分法） 3.第二换元积分法 4.分步积分法 例题 题型i不定积分的概念与性质 题型ii利用基本积分法求不定积

22、分 题型iii有理函数的积分 题型iv简单无理函数的积分 题型vi含有三角函数的不定积分题型vii抽象函数的不定积分 题型viii分段函数的不定积分 自测题四 1求不定积分 2求抽象函数的不定积分 3根据含有三角的被积函数，求原函数 4函数的性质 5复合性的被积函数，求原函数 4月16日不定积分练习题 基础题 一填空题 1.不定积分： ?x? dx 2 x ?_ 2.不定积分：(x?2)dx=_ 3.不定积分： 2 ?(1? 1x 2 )xxdx=_ 4.不定积分：(x?2)dx=_ ? 2 5.不定积分：(2e x ? 3x )dx=_ 6.一曲线通过点(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于

23、该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为_ 7.已知一个函数f(x)的导函数为 2 11?x 2 ，且当x?1时函数值为 32 ?，则此函数为_ 8. ? ( x ? 1x 1 x ) dx?_ 9. 设f(x)?10.如果e ?x ，则 ? f?(x)dx? 是函数f(x)的一个原函数，则 ? f(x)dx?11. 设 ? f(x)dx? 16 ln(3x?1)?c,则f(x)?2 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x的曲线方程为. 13. 已知f?(x)?2x?1,且x?1时y?2,则f(x)?14. 15. ?(10 x ?3sinx?dx?(a 2 22 ?x)dx?.16. ?

24、(1?x?x? 1 x 4 3 dx?. 二选择题 1、设 i? ? dx，则 i =（ ） ?c(b)? 1 (a)?4x 2、设 f(x)? ?5 1 3x 3 ?c(c)? ( ) 1?33 x?c (d)x?c 3 3 1 1?x 2 ，则 f(x) 的一个原函数为 1 1?x 1 1?x (d)ln(a)arcsinx(b)arctanx(c)ln 2 1?x 2 1?x 3、函数 cos (a) ? 2 sin x的一个原函数为 （ ） ? 2 x(b) ? ? 2 sin ? 2 x （c） 2 ? sin ? 2 x (d) ? 2 ? sin ? 2 x ? 2 4、设f(x

25、) 的一个原函数为f(x)， 则 (a) f(2x)+ c (b) f(5.设 ? f(2x) dx?（ ） x 2 )+ c(c) 1 2 f(2x)?c(d) 2f( x 2 )+ c ? f(x)dx? 3 4 a. cot4x lnsin4x?c，则f(x)?（ ）。 b. ?cot4x d. 3cot4x c. 3cos4x 6. 若f(x)为可导、可积函数，则（ ）。 a. ?c. ? ? f(x)dx?f(x) ? b. d?d. ? f(x)dx?f(x) ? f(x) ? f?(x)dx?f(x) ?df(x)? 7. 设 f(x) dx?f(x)?c ，则 ? sinxf

26、( cosx )dx ? （ ） (a)f ( sinx ) ? c (b) ?f ( sinx ) ? c (c) ? f ( cosx) ? c(d) sinx f ( cosx) ? c 8.设f?x?是f ?x?在?,?上的一个原函数,且f?x?为奇函数,则f?x?是 () a 偶函数 b 奇函数c 非奇非偶函数 d不能确定 9.已知f() a xb cosxc cosx d cosx 2 2 2 ?x?的一个原函数为cosx,g?x? 的一个原函数为x,则f?g?x?的一个原函数为 ? 2 10.设e ?2x 是f ?x?的一个原函数,则lim ?2x f?x?2?x?f(x) ?x ?2x ?x?0 ? () a2e