不定积分习题及答案.docx
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不定积分习题及答案
不定积分习题及答案
【篇一：
定积分习题及答案】
a层次）
?
20
3
1．?
sinxcosxdx；2．?
x
a
2
a?
xdx；3．?
2
2
3
dxx
2
1
?
x
2
；
4．?
7．?
1?
1
xdx5?
4xdx
；5．?
4
dxx?
1
1
；6．?
3
4
1
dx?
x?
1
；
e2
1
x?
lnx
?
4
；8．?
?
dx
；9．?
0?
cos2xdx；?
2x2?
2x?
2
32
xsinx
dx；10．?
xsinxdx；11．?
2?
4cosxdx；12．?
4
?
5x?
2x2?
1?
?
?
2
?
4
5
4lnx1x
dx13．?
?
；14．；15．dxxarctgxdx；?
2?
10sinxx4
?
3
?
16．?
2e2xcosxdx；17．?
?
?
xsinx?
dx；18．?
sin?
lnx?
dx；
2
1
e
?
3
?
?
19．?
2?
cosx?
cosxdx；20．?
4
4
?
sinxxsinx
；dx；21．?
01?
cos2x1?
sinx
22．?
1
20
2
?
?
1?
x1?
x
xlndx；23．?
dx；24．?
2lnsinxdx；40?
?
1?
x1?
x
?
25．?
（b层次）
?
?
dx
dx?
?
?
0?
。
1?
x21?
x?
1．求由?
edt?
?
costdt?
0所决定的隐函数y对x的导数
y
t
x
dy。
dx
2．当x为何值时，函数i?
x?
?
?
te?
tdt有极值？
2
x
3．
dcosx2
cos?
tdt。
dx?
sinx
?
?
?
x?
1,x?
1
2?
4．设f?
x?
?
?
12，求?
f?
x?
dx。
0x,x?
1?
?
2
1
5．lim
2
?
?
arctgtdt?
0
x
x?
?
?
x?
1
2
。
?
1
x?
sinx,0?
x?
?
6．设f?
x?
?
?
2，求?
?
x?
?
?
f?
t?
dt。
?
其它?
0,?
1
当x?
0时?
?
1?
x
7．设f?
x?
?
?
?
1,当x?
0时?
?
1?
ex
，求?
f?
x?
1?
dx。
2
8．lim
1
n?
?
n2
n?
n
2n?
?
?
n2。
kn2kn
?
9．求lim?
n?
?
k?
1
e
。
1
n?
ne
10．设f?
x?
是连续函数，且f?
x?
?
x?
2?
f?
t?
dt，求f?
x?
。
11．若?
2ln2x
dte?
1
?
12
t
?
?
6
1
，求x。
12．证明：
2e
?
?
?
21e?
xdx?
2。
2
?
?
?
x?
a?
2?
2x
13．已知lim?
?
4xedx，求常数a。
?
?
ax?
?
?
x?
a?
?
2
?
?
1?
x,
14．设f?
x?
?
?
?
x
?
?
e,
x
x?
0x?
0
，求?
f?
x?
2?
dx。
1
3
15．设f?
x?
有一个原函数为1?
sinx，求?
2xf?
?
2x?
dx。
2
?
16．设f?
x?
?
ax?
b?
lnx，在?
1,3?
上f?
x?
?
0，求出常数a，b使?
f?
x?
dx最
1
3
小。
17．已知f?
x?
?
e
?
x2
，求?
f?
?
x?
f?
?
?
x?
dx。
2
1
1
18．设f?
x?
?
x2?
x?
f?
x?
dx?
2?
f?
x?
dx，求f?
x?
。
19．?
?
?
f?
cosx?
cosx?
f?
?
cosx?
sinx?
dx。
2
2
20．设x?
0时，f?
x?
?
?
x2?
t2f?
?
?
t?
dt的导数与x2是等价无穷小，试求
x
?
?
f?
?
?
0?
。
（c层次）
1．设f?
x?
是任意的二次多项式，g?
x?
是某个二次多项式，已知
?
1
f?
x?
dx?
b?
1?
?
1?
，求?
?
?
?
f0?
4f?
f1g?
x?
dx。
?
?
?
?
?
a6?
?
2?
?
2．设函数f?
x?
在闭区间?
a,b?
上具有连续的二阶导数，则在?
a,b?
内存在?
，
b?
a?
b?
13
使得?
f?
x?
dx?
?
b?
a?
f?
?
?
b?
a?
f?
?
?
?
?
。
?
a
?
2?
24
3．f?
x?
在?
a,b?
上二次可微，且f?
?
x?
?
0，f?
?
?
x?
?
0。
试证
?
b?
a?
f?
a?
?
?
af?
x?
dx?
?
b?
a?
f?
b?
?
f?
a?
。
b
2
4．设函数f?
x?
在?
a,b?
上连续，f?
?
x?
在?
a,b?
上存在且可积，f?
a?
?
f?
b?
?
0，试证f?
x?
?
1b
f?
?
x?
dx（a?
x?
b）。
?
a2
1
1
5．设f?
x?
在?
0,1?
上连续，?
f?
x?
dx?
0，?
xf?
x?
dx?
1，求证存在一点x，
0?
x?
1，使f?
x?
?
4。
6．设f?
x?
可微，f?
0?
?
0，f?
?
0?
?
1，f?
x?
?
?
tfx2?
t2dt，求lim
x?
0
x
?
?
f?
x?
。
4
x
7．设f?
x?
在
4
b
?
a,b?
上连续可微，若f?
a?
?
f?
b?
?
0，则
f?
x?
?
f?
?
x?
。
?
b?
a2
a
a?
x?
b
8．设f?
x?
在?
a,b?
上连续，a?
a?
b?
b，求证lim?
k?
0
ba
f?
x?
k?
?
f?
x?
dx
k
?
f?
b?
?
f?
a?
。
9．设f?
x?
为奇函数，在?
?
?
?
?
?
内连续且单调增加，f?
x?
?
?
?
x?
3t?
f?
t?
dt，
0x
证明：
（1）f?
x?
为奇函数；
（2）f?
x?
在?
0,?
?
?
上单调减少。
3
10．设f?
x?
可微且积分?
?
f?
x?
?
xf?
xt?
?
dt的结果与x无关，试求f?
x?
。
1
11．若f?
?
?
x?
在?
0,?
?
连续，f?
0?
?
2，f?
?
?
?
1，证明：
?
?
f?
x?
?
f?
?
?
x?
?
sinxdx?
3。
?
12．求曲线y?
?
?
t?
1?
?
t?
2?
dt在点（0,0）处的切线方程。
x
13．设f?
x?
为连续函数，对任意实数a有
?
?
?
?
a
?
a
sinxf?
x?
dx?
0，求证
f?
2?
?
x?
?
f?
x?
。
14．设方程2x?
tg?
x?
y?
?
?
x?
y
d2y
sectdt，求2。
dx
2
15．设f?
x?
在?
a,b?
上连续，求证：
h?
0
lim?
1x
?
f?
t?
h?
?
f?
t?
?
dt?
f?
x?
?
f?
a?
（a?
x?
b）h?
a
x2?
1?
x?
0
16．当x?
0时，f?
x?
连续，且满足?
f?
t?
dt?
x，求f?
2?
。
17．设f?
x?
在?
0,1?
连续且递减，证明
?
?
f?
x?
dx?
?
f?
x?
dx，其中?
?
?
0,1?
。
1?
18．设f?
?
x?
连续，f?
x?
?
?
f?
t?
f?
?
2a?
t?
dt，f?
0?
?
0，f?
a?
?
1，试证：
x
f?
2a?
?
2f?
a?
?
1。
19．设g?
x?
是?
a,b?
上的连续函数，f?
x?
?
?
g?
t?
dt，试证在?
a,b?
内方程
ax
g?
x?
?
f?
b?
?
0至少有一个根。
b?
a
x
x
a
b
20．设f?
x?
在?
a,b?
连续，且f?
x?
?
0，又f?
x?
?
?
f?
t?
dt?
?
（1）f?
?
x?
?
2
（2）f?
x?
?
0在?
a,b?
内有且仅有一个根。
21．设f?
x?
在?
0,2a?
上连续，则?
2a0
1
dt，证明：
ftf?
x?
dx?
?
?
f?
x?
?
f?
2a?
x?
?
dx。
a
22．设f?
x?
是以?
为周期的连续函数，证明：
?
0?
sinx?
x?
f?
x?
dx?
?
0?
2x?
?
?
f?
x?
dx。
4
2?
?
23．设f?
x?
在?
a,b?
上正值，连续，则在?
a,b?
内至少存在一点?
，使
?
?
a
f?
x?
dx?
?
f?
x?
dx?
?
1
b
1b
f?
x?
dx。
?
a2
x
1f?
u?
1?
24．证明?
lnf?
x?
t?
dt?
?
lndu?
?
lnf?
u?
du。
000fu25．设f?
x?
在?
a,b?
上连续且严格单调增加，则?
a?
b?
?
f?
x?
dx?
2?
xf?
x?
dx。
a
a
bb
26．设f?
x?
在?
a,b?
上可导，且f?
?
x?
?
m，f?
a?
?
0，则?
f?
x?
dx?
a
b
m
?
b?
a?
2。
2
27．设f?
x?
处处二阶可导，且f?
?
?
x?
?
0，又u?
t?
为任一连续函数，则
1a
f?
u?
t?
?
dt?
?
0a
?
1a?
f?
?
u?
t?
dt?
，?
a?
0?
。
?
a0?
b?
a?
b?
28．设f?
x?
在?
a,b?
上二阶可导，且f?
?
?
x?
?
0，则?
f?
x?
dx?
?
b?
a?
f?
?
。
a
?
2?
29．设f?
x?
在?
a,b?
上连续，且f?
x?
?
0，?
f?
x?
dx?
0，证明在?
a,b?
上必有
a
b
f?
x?
?
0。
30．f?
x?
在?
a,b?
上连续，且对任何区间?
?
?
?
?
?
a,b?
有不等式
?
?
?
f?
x?
dx?
m?
?
?
1?
?
（m，?
为正常数），试证在?
a,b?
上f?
x?
?
0。
第五章定积分
（a）
?
1．?
2sinxcos3xdx
?
解：
原式?
?
?
a0
20
2114
cosxdx?
?
cosx?
440
3
?
2．?
x2a2?
x2dx
解：
令x?
asint，则dx?
acostdt当x?
0时t?
0，当x?
a时t?
?
?
2
原式?
?
2a2sin2t?
acost?
acostdt
5
【篇二：
不定积分练习题】
函数去求原函数2.利用不定积分的直接积分法、换元法、分步积分法求出其原函数
内容
一．不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本的积分公式二．基本积分的方法1.直接积分法
2.第一换元积分法（凑微分法）3.第二换元积分法4.分步积分法
例题
题型i不定积分的概念与性质
题型ii利用基本积分法求不定积分题型iii有理函数的积分题型iv简单无理函数的积分
题型vi含有三角函数的不定积分
题型vii抽象函数的不定积分题型viii分段函数的不定积分
自测题四
1求不定积分
2求抽象函数的不定积分
3根据含有三角的被积函数，求原函数4函数的性质
5复合性的被积函数，求原函数
4月16日不定积分练习题
基础题一．填空题
1.不定积分：
?
x?
dx
2
x
?
_____
2.不定积分：
（x?
2）dx=______3.不定积分：
2
?
（1?
1x
2
）xxdx=_______
4.不定积分：
（x?
2）dx=__________
?
?
2
5.不定积分：
（2e
x
?
3x
）dx=_______
6.一曲线通过点（e,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________
7.已知一个函数f（x）的导函数为
2
11?
x
2
，且当x?
1时函数值为
32
?
，则此函数为_______________
8.
?
（x?
1x
1x
）dx?
________
9.设f（x）?
10.如果e
?
x
，则
?
f?
（x）dx?
是函数f（x）的一个原函数，则
?
f（x）dx?
11.设
?
f（x）dx?
16
ln（3x?
1）?
c,则f（x）?
2
12.经过点（1,2）,且其切线的斜率为2x的曲线方程为.13.已知f?
（x）?
2x?
1,且x?
1时y?
2,则f（x）?
14.15.
?
（10
x
?
3sinx?
dx?
?
（a
2
22
?
x）dx?
.
16.
?
（1?
x?
x?
1x
4
3
dx?
.
二．选择题1、设i?
?
dx，则i=（）?
c （b） ?
1
（a） ?
4x
2、设f（x）?
?
5
13x
3
?
c（c） ?
（）
1?
33
x?
c （d）x?
c33
1
1?
x
2
，则f（x）的一个原函数为
11?
x11?
x
（d）ln （a） arcsinx （ b） arctanx（c）ln
21?
x21?
x
3、函数cos
（a）
?
2sin
x的一个原函数为（）?
2
x（b）?
?
2sin
?
2
x（c）
2?
sin
?
2
x（d）?
2?
sin
?
2x
?
2
4、设f（x）的一个原函数为f（x），则
（a）f（2x）+c（b）f（5.设
?
f（2x）dx?
（）
x2
）+c（c）
12
f（2x）?
c（d）2f（
x2
）+c
?
f（x）dx?
34
lnsin4x?
c，则f（x）?
（）。
b.?
cot4xd.3cot4x
a.cot4xc.3cos4x
6.若f（x）为可导、可积函数，则（）。
a.?
c.
?
?
?
f（x）dx?
?
f（x）
?
b.d?
d.
?
?
f（x）dx?
?
f（x）
?
f（x）
?
f?
（x）dx?
f（x）
?
df（x）?
7.设f（x）dx?
f（x）?
c，则
?
?
sinxf（cosx）dx?
（）
（a）f（sinx）?
c（b）?
f（sinx）?
c（c）?
f（cosx）?
c（d）sinxf（cosx）?
c
8.设f?
x?
是f
?
x?
在?
?
?
?
?
?
上的一个原函数,且f?
x?
为奇函数,则f?
x?
是（）
a．偶函数b．奇函数
c．非奇非偶函数d．不能确定9.已知f（）
a．xb．cosxc．cosxd．cosx
2
2
2
?
x?
的一个原函数为cosx,g?
x?
的一个原函数为x,则f?
g?
x?
?
的一个原函数为
?
?
2
10.设e
?
2x
是f
?
x?
的一个原函数,则lim
?
2x
f?
x?
2?
x?
?
f（x）
?
x
?
2x
?
x?
0
?
（）
a．2e
?
2x
b．-8ec．?
2ed．4e
?
2x
11.设f（x）?
11?
x
2
则f（x）的一个原函数为
（a） arcsinx （b） arctanx1?
1?
x?
1?
1?
x?
（c）ln?
（d）ln?
?
?
2?
1?
x?
2?
1?
x?
4月17日不定积分练习题
基础题一．填空题
1.?
tanxdx?
__________．2.?
3.?
4.5.?
2
3x?
3x?
1
x?
1
dx
2
42
2
dx＝．
x（1?
x）
=______________________________．
?
1?
e
1x
2
1
?
x
dx
cos
2x
?
sinxx
为，则
6.设f（x）的一个原函数
?
f（x）dx
?
______________．
7.设f（x）的一个原函数为lnx，则9.若f（x）的一个原函数为
?
f（1?
2x）dx
8.设f（x）的一个原函数为lnx,则f?
（x）?
_______________．
则f（x）?
_______．xlnx，
二．选择题1.设i?
?
xx
e?
1e?
1
x
x
dx，则i?
（）
x
（a） ln（e?
1）?
c （b） ln（e?
1）?
c（c） 2ln（e?
1）?
x?
c（d） x?
3xln（e?
1）?
c
2.设f（x）的一个原函数是f（x），则
x
?
f（ax?
b）dx
＝（）
（a）f（ax＋b）＋c（b）af（ax+b）+c（c）
f（ax?
b）ax?
b
+c（d）
1a
f（ax+b）+c
3.若?
f（x）dx?
sinx?
c，则?
xf（1?
x2）dx?
（）
（a）2sin（1?
x）?
c（b）?
2sin（1?
x）?
c（c）
2
2
12
sin（1?
x）?
c（d）?
1sinx
2
2
12
sin（1?
x）?
c
2
4.不定积分：
?
（1?
（a）x?
）cosxdx?
（）
1
sinxsinx
11
（c）sinx?
?
c（d）sinx?
?
c
sinxsinx
?
c（b）x?
1
?
c
5.不定积分：
?
sinexde
x
x
?
（）
x
x
x
（a）cose?
c（b）?
cose?
c（c）arccose?
c（d）?
arccose?
c
6.不定积分：
?
x
dx1?
e
x
＝（）
?
x
（a）ln（1?
e）?
c（b）ln（1?
e）?
c（c）ln
e
xx
1?
e
?
c（d）ln
11?
e
x
?
c
7.设f（x）?
ktan2x的一个原函数是
（a）?
23
ln（cos2x），则常数k?
（）
43
（d）
2
3
综合题
（b）
23
（c）?
43
1.求?
cos（2x?
1）sin（2x?
1）dx．
2.求不定积分
2
?
（x?
1）
x
4
dx．
【篇三：
不定积分练习题】
函数去求原函数2.利用不定积分的直接积分法、换元法、分步积分法求出其原函数
内容
一．不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本的积分公式二．基本积分的方法1.直接积分法
2.第一换元积分法（凑微分法）3.第二换元积分法4.分步积分法
例题
题型i不定积分的概念与性质
题型ii利用基本积分法求不定积分题型iii有理函数的积分题型iv简单无理函数的积分
题型vi含有三角函数的不定积分
题型vii抽象函数的不定积分题型viii分段函数的不定积分
自测题四
1求不定积分
2求抽象函数的不定积分
3根据含有三角的被积函数，求原函数4函数的性质
5复合性的被积函数，求原函数
4月16日不定积分练习题
基础题一．填空题
1.不定积分：
?
x?
dx
2
x
?
_____
2.不定积分：
（x?
2）dx=______3.不定积分：
2
?
（1?
1x
2
）xxdx=_______
4.不定积分：
（x?
2）dx=__________
?
?
2
5.不定积分：
（2e
x
?
3x
）dx=_______
6.一曲线通过点（e,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________
7.已知一个函数f（x）的导函数为
2
11?
x
2
，且当x?
1时函数值为
32
?
，则此函数为_______________
8.
?
（x?
1x
1x
）dx?
________
9.设f（x）?
10.如果e
?
x
，则
?
f?
（x）dx?
是函数f（x）的一个原函数，则
?
f（x）dx?
11.设
?
f（x）dx?
16
ln（3x?
1）?
c,则f（x）?
2
12.经过点（1,2）,且其切线的斜率为2x的曲线方程为.13.已知f?
（x）?
2x?
1,且x?
1时y?
2,则f（x）?
14.15.
?
（10
x
?
3sinx?
dx?
?
（a
2
22
?
x）dx?
.
16.
?
（1?
x?
x?
1x
4
3
dx?
.
二．选择题1、设i?
?
dx，则i=（）?
c （b） ?
1
（a） ?
4x
2、设f（x）?
?
5
13x
3
?
c（c） ?
（）
1?
33
x?
c （d）x?
c33
1
1?
x
2
，则f（x）的一个原函数为
11?
x11?
x
（d）ln （a） arcsinx （ b） arctanx（c）ln
21?
x21?
x
3、函数cos
（a）
?
2sin
x的一个原函数为（）?
2
x（b）?
?
2sin
?
2
x（c）
2?
sin
?
2
x（d）?
2?
sin
?
2x
?
2
4、设f（x）的一个原函数为f（x），则
（a）f（2x）+c（b）f（5.设
?
f（2x）dx?
（）
x2
）+c（c）
12
f（2x）?
c（d）2f（
x2
）+c
?
f（x）dx?
3
4
a.cot4x
lnsin4x?
c，则f（x）?
（）。
b.?
cot4xd.3cot4x
c.3cos4x
6.若f（x）为可导、可积函数，则（）。
a.?
c.
?
?
?
f（x）dx?
?
f（x）
?
b.d?
d.
?
?
f（x）dx?
?
f（x）
?
f（x）
?
f?
（x）dx?
f（x）
?
df（x）?
7.设f（x）dx?
f（x）?
c，则
?
?
sinxf（cosx）dx?
（）
（a）f（sinx）?
c（b）?
f（sinx）?
c（c）?
f（cosx）?
c（d）sinxf（cosx）?
c
8.设f?
x?
是f
?
x?
在?
?
?
?
?
?
上的一个原函数,且f?
x?
为奇函数,则f?
x?
是（）
a．偶函数b．奇函数
c．非奇非偶函数d．不能确定9.已知f（）
a．xb．cosxc．cosxd．cosx
2
2
2
?
x?
的一个原函数为cosx,g?
x?
的一个原函数为x,则f?
g?
x?
?
的一个原函数为
?
?
2
10.设e
?
2x
是f
?
x?
的一个原函数,则lim
?
2x
f?
x?
2?
x?
?
f（x）
?
x
?
2x
?
x?
0
?
（）
a．2e
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