非线性方程的解法.docx

1、非线性方程的解法20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是，不要求f()的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大编辑摘要 目录 1 正文 2 牛顿法及其变形 3 割线法 4 布朗方法 5 拟牛顿法 1 正文 2

2、牛顿法及其变形 3 割线法 4 布朗方法 5 拟牛顿法 6 最优化方法 7 连续法 8 参考书目 非线性方程组数值解法 - 正文n个变量n个方程(n 1)的方程组表示为 (1)式中i(x1,x2,xn)是定义在n维欧氏空间Rn 的开域D上的实函数。若i中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。在Rn 中记 则(1)简写为(尣)=0。若存在尣*D，使(尣*)0，则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前

3、主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列尣k(k=0，1，)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。 非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形 牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序： (2)式中 是(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。 这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:由尣k算出(尣k)及;用直接法求线性方程组的解尣k；求。 由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和 n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。 为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值i及偏导数值的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内）。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，牛顿法(2)的效率为。 牛顿法有很多变形,如当奇异或严重病态时，可引进阻尼因子k，得到阻尼牛顿法，即