非线性方程的解法.docx

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非线性方程的解法

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组

（1）的新方法。

一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。

这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。

另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程

（1）的近似解。

这种方法优点是，不要求f（□）的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大

编辑摘要

目录

∙1正文

∙2牛顿法及其变形

∙3割线法

∙4布朗方法

∙5拟牛顿法

∙

∙1正文

∙2牛顿法及其变形

∙3割线法

∙4布朗方法

∙5拟牛顿法

∙6最优化方法

∙7连续法

∙8参考书目

∙

非线性方程组数值解法-正文

n个变量n个方程（n>1）的方程组表示为

（1）

式中ƒi（x1,x2,…,xn）是定义在n维欧氏空间Rn的开域D上的实函数。

若ƒi中至少有一个非线性函数，则称

（1）为非线性方程组。

在Rn中记

ƒ＝

则

（1）简写为ƒ（尣）=0。

若存在尣*∈D，使ƒ（尣*）＝0，则称尣*为非线性方程组的解。

方程组

（1）可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。

对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。

除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。

根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}（k=0，1，…），即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法-牛顿法及其变形

牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：

（2）

式中

是ƒ（尣k）的雅可比矩阵,尣0是方程

（1）的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。

由尣k算到尣k+的步骤为:

①由尣k算出ƒ（尣k）及

;②用直接法求线性方程组

的解Δ尣k；③求

。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣，通常用效率

作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值ƒi及偏导数值

的总个数（每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W内）。

效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义，牛顿法

（2）的效率为

。

牛顿法有很多变形,如当

奇异或严重病态时，可引进阻尼因子λk，得到阻尼牛顿法，即