中级奥数教程7最大公约数与最小公倍数Word下载.docx

1、20设A，B两个数都只含有质因数3和5，他们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？21已知两个自然数的差为3，他们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数22写出小于20的三个自然数，使他们的最大公约数是1，但其中任两数都不互质23所有形如 abcabc 的六位数中（其中a，b，c均为丛0到9的整数，a0）它们的最大公约数是_24两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是_25设a与b为两个不相等的自然数，如果他们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有_种不同的值26已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是

2、300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？（例如：a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）27甲、乙两数的最小公倍数是90；乙、丙两数的最小公倍数是105；甲、丙两数的最小公倍数是126，求甲数28有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请找出这个

3、数参考答案与试题解析考点：求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法菁优网版权所有专题：数的整除分析：根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解解答：解：（1）28=227，70=75，所以28和70的最大公因数是：7=14；（2）12=23，18=23所以12和18的最小公倍数是：3=36点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答公约数与公倍数问题菁优网版权所有整除性问题求最大公约数也

4、就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于三个数来说：三个数的公有质因数的连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可2520=233257=237110130；14850=2335211=27013；819=3213=235011所以：（2520，14850，819）=20130=9；2520，14850，819=23130=5405400答：2520、14 850、819的最大公约数是9，最小公倍数是5405400此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法，数字大的可以用短

5、除法解答三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可36=2108=2126=2所以36、108、126的最大公因数是：3=18；36、108、126的最小公倍数是：7=756此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答图形划分菁优网版权所有平面图形的认识与计算因为2002=8472+308；（也就是第1、2次剪下的正方形的边长为847毫米）； 847=3082+

6、231； 308=2311+77；231=773由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零最后一个除数就是两数的最大公约数这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数拿此题来讲，2002和847的公约数，也就是847和2002的公约数由于231是77的倍数，所以它们的最大公约数就是77，即2002与847的最大公约数2109=847847=308 308=2313所以最后剪得的正方形的边长是77毫米最后剪得正方形的边长是77毫米此题考查了求最大公约数的另一个办法辗转相除法求几个数的最大公因数的方法菁优网版权所有用

7、辗转相除法求出其中任意两个数的最大公约数，再求出这个公约数与另一个数的最大公约数；据此解答解 因为1170=2342574=23411，（1170，2574）=234，又因为：234=396，3003=3977，所以（234，3003）=39，因此（1170，2574，3003）=39本题考查的知识点是最大公因数，在求两个正整数的最大公因数时，辗转相除法和更相减损术是常用的方法，要熟练掌握约数个数与约数和定理菁优网版权所有由题中4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数，这样，讨论4个数的最大公约数的问题可以转化为讨论1111

8、的约数问题在此基础上来确定这4个数，使他们的和为1111且最大公约数为最大因为1111=10111，其约数有1，11，101，1111显然1111不符合要求，再考虑约数101，由于1111=10111=101（1+2+3+5）=101+1012+1013+1015如果取101，1012，1013，1015这4个数，就满足题目的要求其和为1111且他们的最大公约数为101（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=，所以满足条件的4个数并不唯一）此题主要考查约数定理的灵活应用，关键是明确要使这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数比较大小菁优网版权所有计算问题（巧算

9、速算）运用乘法分配律，将每个选项中的算式通过计算得出整数部分相同，只要比较分数部分，再根据分母相同看分子，分子小的分数反而大，分子大的分数反而小得解因为30和40的最小公倍数是120，则（30，=（）4120，（40，由于大于，所以（2）式得数较大解决关键是把两个算式通过计算得出整数部分相同，只要比较分数部分而得解约数倍数应用题由题中“等距离的安装路灯”可知，乡邻两盏路灯之间的距离必为1625（米）与1170（米）的公约数，又由“最少要安装多少盏路灯”可知，总的路灯数最少，则相邻两盏路灯之间的距离要最大，于是问题转化为求1625与1170的最大公约数由于1625=2565，1170=1865，

10、所以：（1625，1170）=65，且（25，18）=1从而，最少需要安装25+28+1=44（盏）最少需安装44盏路灯解答此题，运用了最大公约数的知识，使复杂的问题简单化传统应用题专题设其中较小的一个自然数为x，另一个则为x+2，那么这两个自然数的最大公约数只有两种可能，一个为1，一个为2若最大公约数为1，则他们的最小公倍数为142+1=143，又因为最大公约数乘以他们的最小公倍数恰为两个自然数的积，所以：1143=a（a+2）=11若最大公约数为2，则他们的最小公倍数为142+2=144，而：144=（a+2）a=1618；故本题有2个答案设其中一个自然数为x，另一个位x+2，（1）当（x

11、，x+2）=1时，x，x+2=142+1=143，而（x，x+2）x，x+2=1143=1113=x（x+2）所以x=11，x+2=13；（2）当（x，x+2）=2时，x，x+2=142+2=144，x，x+2=2144=1618=x所以x=16，x+2=18这两个自然数为11和13或16和18根据题意进行分析，得出两数的最大公约数的两种可能，是完成本题的关键首先假设出这个两数，得出有关两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84的两个方程，再进行分析得出符合要求的取值设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1根据题意有由于（60，84）=12，所以d

12、=l，2，3，4，6，12而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解当d=12时，方程组变为解得或故所求的两数为x=24，y=36这两个自然数为24和36此题主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质，正确的出d的取值是解决问题的关键求最大公约数也就是求几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；对于三个数来说：（1）所以35、98和112的最大公因数是7（2）所以35、98和112的最小公倍数是：8=3920403=1331，527=17713=2331 403，527，713的最大公约数是：最小公倍数是：13172331=157573公因数和公倍数应用

13、题菁优网版权所有先求全班人数，即301、215和86的最大公因数，先把301、215和86进行分解质因数，这三个数的公有质因数的连乘积是最大公因数；然后用301、215、86分别除以全班人数，即可求出每个同学获得笔记本、铅笔、橡皮的数量301=743，215=586=2则301、215和86的最大公因数是43，即全班人数是43人，则每个同学得到笔记本：30143=7（个）；铅笔：21543=5（个）；橡皮：8643=2（个）；每个同学可以拿到7个笔记本，5支铅笔，2块橡皮明确全班人数即301、215和86的最大公因数，是解答本题的关键根据题意，首先把5766分解质因数，然后把它的质因数适当调整

14、计算即可求出符合条件的两个自然数把5766分解质因数：5766=23131；其中312=62，313=93，313=186；已知它们的最大公因数是31，所以这两个自然数可能是31和186，或者是62和93这两个自然数可能是31和186，或者是62和93此题主要根据把合数分解质因数的方法解决问题用最小公倍数504除以已知数字42，得到所求数字的独有质因数的积，然后乘以共有质因数的积（最大公约数6），即可得解50442=12，126=72，另一个数是72灵活应用“求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积”的逆运算来求另一个数求该校至少有多少名学生，

15、即求2、3、4、5、6、8、9的最小公倍数多1的人，即5、8、9的最小公倍数多1的数，先求出5、8、9的最小公倍数，然后加上1即可89+1，=360+1，=361（人）；该校至少有361名学生明确要求的问题是比5、8、9的最小公倍数多1的数，是解答此题的关键440=2117825=5440，126，825的最大公因数是：1，11=138600要使三个数中有两个数的最大公约数为1，必须其中的两个数是互质数，但其余的最大公约数大于1，所以另外的一个数与两个互质数中的任何数都不能是互质数，由此推出此三个数为2，6，9由题意，小于10的三个自然数，要使三个数中有两个数的最大公约数为1，必须其中的两个数

16、是互质数，但其余的最大公约数大于1，所以另外的一个数与两个互质数中的任何数都不能是互质数，所以三个数是：2，6，9解答此题有一定难度，要对最大公约数、互质数的意义熟练掌握19甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，则乙数为28先把24、168、4分解质因数，两个数的最小公倍数是两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积，最大公因数是两个数公有的质因数的积，根据质因数情况确定乙数168=24=22，24=2乙数：7=28，故答案为：28此题主要考查两个数的最小公倍数和最大公因数的求法因为A，B两数都只含有质因数3和5，A有12个约数，B有10个约数，而75=35，那75的约数的个数即可求出，又因为质因数每多1个3则约数多3个，质因数每多1个5则约数多2个，所以A和B的值即可求出，继而求出A、B两数的和因为，A，B两数都只含有质因数3和5，A有12个约数，B有10个约数，75=3有约数：1，3，5，15，25，75，共6个约数，又因为，质因数每多1个3则约数多3个，质因数每多1个5则约数多2个，所以，A=35=675，B=35=1875，所以A，B两数的和：675+1875=2550解答此题的关键是，知道质因数每多1个3则约数多3个，质因数每多1个5则约数多2个，由此即可解答求