中级奥数教程7最大公约数与最小公倍数Word下载.docx
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20．设A，B两个数都只含有质因数3和5，他们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A，B两数的和等于多少？
21．已知两个自然数的差为3，他们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数．
22．写出小于20的三个自然数，使他们的最大公约数是1，但其中任两数都不互质．
23．所有形如abcabc的六位数中（其中a，b，c均为丛0到9的整数，a≠0）它们的最大公约数是 _________ ．
24．两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是 _________ ．
25．设a与b为两个不相等的自然数，如果他们的最小公倍数是72，那么a与b之和可以有 _________ 种不同的值．
26．已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组？
（例如：
a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组）
27．甲、乙两数的最小公倍数是90；
乙、丙两数的最小公倍数是105；
甲、丙两数的最小公倍数是126，求甲数．
28．有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号说：
“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：
只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请找出这个数．
参考答案与试题解析
考点：
求几个数的最大公因数的方法；
求几个数的最小公倍数的方法．菁优网版权所有
专题：
数的整除．
分析：
根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．
解答：
解：
（1）28=2×
2×
7，
70=7×
5，
所以28和70的最大公因数是：
7=14；
（2）12=2×
3，
18=2×
3×
所以12和18的最小公倍数是：
3=36．
点评：
考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：
两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；
两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；
数字大的可以用短除法解答．
公约数与公倍数问题．菁优网版权所有
整除性问题．
求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于三个数来说：
三个数的公有质因数的连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
2520=23×
32×
5×
7=23×
7×
110×
130；
14850=2×
33×
52×
11=2×
70×
13；
819=32×
13=23×
50×
11×
所以：
（2520，14850，819）=20×
130=9；
[2520，14850，819]=23×
130=5405400．
答：
2520、14850、819的最大公约数是9，最小公倍数是5405400．
此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法，数字大的可以用短除法解答．
三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
36=2×
108=2×
126=2×
所以36、108、126的最大公因数是：
3=18；
36、108、126的最小公倍数是：
7=756．
此题主要考查求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：
三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；
数字大的可以用短除解答．
图形划分．菁优网版权所有
平面图形的认识与计算．
因为2002=847×
2+308；
（也就是第1、2次剪下的正方形的边长为847毫米）；
847=308×
2+231；
308=231×
1+77；
231=77×
3．由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零．最后一个除数就是两数的最大公约数．这是因为：
两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数．拿此题来讲，2002和847的公约数，也就是847和2002的公约数．由于231是77的倍数，所以它们的最大公约数就是77，即2002与847的最大公约数．
2109=847×
847=308×
308=231×
3．
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米．
最后剪得正方形的边长是77毫米．
此题考查了求最大公约数的另一个办法﹣﹣辗转相除法．
求几个数的最大公因数的方法．菁优网版权所有
用辗转相除法求出其中任意两个数的最大公约数，再求出这个公约数与另一个数的最大公约数；
据此解答．
解因为1170=234×
2574=234×
11，
（1170，2574）=234，
又因为：
234=39×
6，
3003=39×
77，
所以（234，3003）=39，
因此（1170，2574，3003）=39．
本题考查的知识点是最大公因数，在求两个正整数的最大公因数时，辗转相除法和更相减损术是常用的方法，要熟练掌握．
约数个数与约数和定理．菁优网版权所有
由题中4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数，这样，讨论4个数的最大公约数的问题可以转化为讨论1111的约数问题．在此基础上来确定这4个数，使他们的和为1111且最大公约数为最大．
因为1111=101×
11，其约数有1，11，101，1111．显然1111不符合要求，
再考虑约数101，由于1111=101×
11=101×
（1+2+3+5）=101+101×
2+101×
3+101×
5．
如果取101，101×
2，101×
3，101×
5这4个数，就满足题目的要求其和为1111且他们的最大公约数为101．
（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=…，所以满足条件的4个数并不唯一）．
此题主要考查约数定理的灵活应用，关键是明确要使这4个数的公约数尽可能大，那么4个自然数的公约数也一定是1111的约数．
比较大小．菁优网版权所有
计算问题（巧算速算）．
运用乘法分配律，将每个选项中的算式通过计算得出整数部分相同，只要比较分数部分，再根据分母相同看分子，分子小的分数反而大，分子大的分数反而小得解
因为30和40的最小公倍数是120，则（
30，
=（
）÷
4×
120，
（
40，
由于
大于
，
，所以
（2）式得数较大．
解决关键是把两个算式通过计算得出整数部分相同，只要比较分数部分而得解
约数倍数应用题．
由题中“等距离的安装路灯”可知，乡邻两盏路灯之间的距离必为1625（米）与1170（米）的公约数，又由“最少要安装多少盏路灯”可知，总的路灯数最少，则相邻两盏路灯之间的距离要最大，于是问题转化为求1625与1170的最大公约数．
由于1625=25×
65，1170=18×
65，所以：
（1625，1170）=65，且（25，18）=1．
从而，最少需要安装25+28+1=44（盏）．
最少需安装44盏路灯．
解答此题，运用了最大公约数的知识，使复杂的问题简单化．
传统应用题专题．
设其中较小的一个自然数为x，另一个则为x+2，那么这两个自然数的最大公约数只有两种可能，一个为1，一个为2．若最大公约数为1，则他们的最小公倍数为142+1=143，又因为最大公约数乘以他们的最小公倍数恰为两个自然数的积，所以：
1×
143=a×
（a+2）=11×
若最大公约数为2，则他们的最小公倍数为142+2=144，而：
144=（a+2）×
a=16×
18；
故本题有2个答案．
设其中一个自然数为x，另一个位x+2，
（1）当（x，x+2）=1时，[x，x+2]=142+1=143，
而（x，x+2）×
[x，x+2]=1×
143=11×
13=x×
（x+2）
所以x=11，x+2=13；
（2）当（x，x+2）=2时，[x，x+2]=142+2=144，
[x，x+2]=2×
144=16×
18=x×
所以x=16，x+2=18
这两个自然数为11和13或16和18．
根据题意进行分析，得出两数的最大公约数的两种可能，是完成本题的关键．
首先假设出这个两数，得出有关两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84的两个方程，再进行分析得出符合要求的取值．
设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1．
根据题意有
由于（60，84）=12，
所以d=l，2，3，4，6，12．
而当d：
1，2，3，4，6时，方程组无解．
当d=12时，方程组变为
解得
或
．
故所求的两数为x=24，y=36．
这两个自然数为24和36．
此题主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质，正确的出d的取值是解决问题的关键．
求最大公约数也就是求几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；
对于三个数来说：
（1）
所以35、98和112的最大公因数是7．
（2）
所以35、98和112的最小公倍数是：
8=3920．
403=13×
31，
527=17×
713=23×
31
403，527，713的最大公约数是：
最小公倍数是：
13×
17×
23×
31=157573．
公因数和公倍数应用题．菁优网版权所有
先求全班人数，即301、215和86的最大公因数，先把301、215和86进行分解质因数，这三个数的公有质因数的连乘积是最大公因数；
然后用301、215、86分别除以全班人数，即可求出每个同学获得笔记本、铅笔、橡皮的数量．
301=7×
43，
215=5×
86=2×
则301、215和86的最大公因数是43，即全班人数是43人，
则每个同学得到笔记本：
301÷
43=7（个）；
铅笔：
215÷
43=5（个）；
橡皮：
86÷
43=2（个）；
每个同学可以拿到7个笔记本，5支铅笔，2块橡皮．
明确全班人数即301、215和86的最大公因数，是解答本题的关键．
根据题意，首先把5766分解质因数，然后把它的质因数适当调整计算即可求出符合条件的两个自然数．
把5766分解质因数：
5766=2×
31×
31；
其中31×
2=62，31×
3=93，31×
3=186；
已知它们的最大公因数是31，所以这两个自然数可能是31和186，或者是62和93．
这两个自然数可能是31和186，或者是62和93．
此题主要根据把合数分解质因数的方法解决问题．
用最小公倍数504除以已知数字42，得到所求数字的独有质因数的积，然后乘以共有质因数的积（最大公约数6），即可得解．
504÷
42=12，
12×
6=72，
另一个数是72．
灵活应用“求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积”的逆运算来求另一个数．
求该校至少有多少名学生，即求2、3、4、5、6、8、9的最小公倍数多1的人，即5、8、9的最小公倍数多1的数，先求出5、8、9的最小公倍数，然后加上1即可．
8×
9+1，
=360+1，
=361（人）；
该校至少有361名学生．
明确要求的问题是比5、8、9的最小公倍数多1的数，是解答此题的关键．
440=2×
11
7
825=5×
440，126，825的最大公因数是：
1，
11=138600．
要使三个数中有两个数的最大公约数为1，必须其中的两个数是互质数，但其余的最大公约数大于1，所以另外的一个数与两个互质数中的任何数都不能是互质数，由此推出此三个数为2，6，9．
由题意，小于10的三个自然数，
要使三个数中有两个数的最大公约数为1，必须其中的两个数是互质数，但其余的最大公约数大于1，
所以另外的一个数与两个互质数中的任何数都不能是互质数，
所以三个数是：
2，6，9．
解答此题有一定难度，要对最大公约数、互质数的意义熟练掌握．
19．甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，则乙数为 28 ．
先把24、168、4分解质因数，两个数的最小公倍数是两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积，最大公因数是两个数公有的质因数的积，根据质因数情况确定乙数．
168=2×
4=2×
2，
24=2×
乙数：
7=28，
故答案为：
28．
此题主要考查两个数的最小公倍数和最大公因数的求法．
因为A，B两数都只含有质因数3和5，A有12个约数，B有10个约数，而75=3×
5，那75的约数的个数即可求出，又因为质因数每多1个3则约数多3个，质因数每多1个5则约数多2个，所以A和B的值即可求出，继而求出A、B两数的和．
因为，A，B两数都只含有质因数3和5，
A有12个约数，B有10个约数，
75=3×
有约数：
1，3，5，15，25，75，
共6个约数，
又因为，质因数每多1个3则约数多3个，
质因数每多1个5则约数多2个，
所以，A=3×
5=675，
B=3×
5=1875，
所以A，B两数的和：
675+1875=2550．
解答此题的关键是，知道质因数每多1个3则约数多3个，质因数每多1个5则约数多2个，由此即可解答．
求
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