定积分在生活中的应用.docx

1、定积分在生活中的应用彳戾4农茨PINGDINGSHAN UNIVERSITY院 系： 经济与管理学院题 目：定积分在生活屮的应用 年级专业： 11级市场营销班学生姓名： 天鹏定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是 与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星 三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天 文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类 知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数/ （兀）在区间“,可上有界.1在a,b中任意插入若干个

2、分点a = xQx 7x = /(a/-v ;性质 2 f (x) +g(x)dx = /(x)dx+(x)dx/(x) - g(x)J妇(必一仏处性质3定积分对于积分区间的可加性设/*(X)在区间上可积，且a , /?和c都是区间内的点，则不论a , b和c的 相对位置如何,都有/(x)Jx= f (x)dx+f (x)dx o性质4 如果在区间M上于(x) = l,则dx = dx=b-ao性质5如果在区间(上/(j)0,则/(护20(“。b性质 6 如果在a.b上，m f(x)M ,则?(b - ) 5 j f(x)dx 5 M (b - a)a性质7 (定积分中值定理)如果/(x)在a

3、,b 连续，则在0上上至少b存一点纟使得 打(羽厶=/()( - )a3.定理定理1微积分基本定理如果函数门X)在区间M上连续，则积分上限函数0(x)珂：/(讪在M上可导，并且它的导数是 0(兀)二,丫二f(d ).定理2原函数存在定理如果函数/(X)在区间亿可上连续,则函数0(x)二/ (八就是/(X)在 d,b上的一个原函数.定理3如果函数F(x)是连续函数门x)在区间讪上的一个原函数, 则 /(xXv=F(/7)-F(6/)称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二、定积分的应用1、定积分在几何中的应用(1)设连续函数/(X)和g(x)满足条件g(x) 0(y)与直线 y = c、 y = d

4、所围成的平面图形(图2)的面积 为：s = l0(y)-肖(y)k例1求由曲线y = siiix, y = cosx及直线x = 0, x = 7t所围成图形的面积儿的交点为(?丰);解(1)作出图形，如图所示.(2)取x为积分变量，积分区间为0,龙从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；(3)区间0,Q上这一部分的面积儿和区间匸,刃上这一部分的面积A, 4 4分别为州=F (cosx - sin x)dx , A2 = (sin x - CQSx)dx ,所以，所求图形的面积为打 fA = A + A?二(cosx-sin x)x + j(sinx-cosx)x4=siiix + cos

5、xJ + - cosx - sill x2迈4例2求椭圆的面积.cr lr解椭圆关于兀轴，y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的4倍，即应用定积分的换元法,/一加认,且当*0时,心討。时,20,于 是S = 4j *bsin/(-acos/)/7=4abf2 sin2 tdtJo2.求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例 如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T:a = x（xx x 划分 成许多基本的小块，每一块的厚度为心应= 1,2,川），假设每一个基本的小 块横切面积为ACG（心1,2,丿），A（x）为d,b上连续函数，则此小块的体积大 约是A（

6、A-,）Arr.，将所有的小块加起来，令|仰TO,我们可以得到其体积：V = |睾石 A（兀）* = | A（x）dx o例2求由曲线与=4,直线x = l, x = 4, y = O绕x轴旋转一周而形成的 立体体积.解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化 区间为1,4,相应于1, 4上任取一子区间x,x + cLr的小窄条，绕x轴旋 转而形成的小旋转体体积，可用高为血，底面积为町2的小圆柱体体积近似代替,即体积微元为9 4 、dV = dv = 7i (_)- dx ,x于是，体积V=7i 4(-)2dA-二16 叮:+ dx=_16兀丄；二12兀.X3.求曲线的弧长

7、(1)设曲线y=/(x)在肚闰上有一阶连续导数(如下图)，利用微元法,取x为积分变量，在上任取小区间Ls+闵，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即宀ds.得弧长微元为：ds = MT=J(dx)2+(dy)2 = Jl + (yW，再对其积分， 则曲线的弧长为：S = ds = /1 + (/)2Ja- = +fx)2dx(2)参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线上疋口 0段的弧长这时弧长微元为:ds = J(dx+(dy=J(dxY (汀+h)力即dsdydx a x xrdx b x则曲线的弧长为S =亦=必0(。2+心)也例3 (1)求曲线上从0到3段弧的长度解

8、由公式5=j/l + y2cLv ( ab)知,弧长为(2)求摆线x = a(/-sin/),在o ms上的一段弧的长度(小). y = a(l-cosf)解取为积分变量，积分区间为0,2刃由摆线的参数方程，得xf = d(l -cosf)、 y = asint ,yjx 2 + y1 = J/Q-cos/) +/ sin / = aj2(l - cost) = 2d I sin I 2于是，由公式(16-13),在0/2所以开始2年的平均利息率为r= = 0.08 + 0.01/2 0.0942-0例3某公司运行/ （年）所获利润为L（t）（元）利润的年变化率为LW = 3xio5/77T

9、（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔3,8内年平均变化率解 由于 =3x105a/T+Tj? = 2xlO5-（r + l）5|=38xlO5所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为LE - = 7.6x10,（元/年）8-3即在这5年内公司平均每年平均获利7.6X元。（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在7 （年）时的收入为/（万元），年利率为r,即贴现 率是,则应用定积分计算，该项目在时间区间,上总贴现值的增量 为o设某工程总投资在竣工时的贴现值为A （万元），竣工后的年收入预计 为（万元）年利率为，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把 竣工后收入

10、的总贴现值达到A,即使关系式Jo aerdt = A成立的时间T （年）称为该项工程的投资回收期。例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预 计为200万元，年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。解 这里4 = 1000, d = 200, r = 0.08,则该工程竣工后T年内收入的总 贴现值为 200严叫=竺八倔：=2500（1- 87 ）山） -0.08令 2500（1-严販） = 1000,即得该工程回收期为1 1000 1T = ln（l ） = In0.6 =6.39 （年）0.08 2500 0.083、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知

11、道，作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数 v=v （t） （ v（t） N0）在时间区间a,b上的定积分,即$ = 啲力如图例1、一辆汽车的速度一时间曲线 所示.求汽车在这1 min行驶的路程.解：由速度一时间曲线可知： 3r,0r 10,v（O = ho,lOr4O1.5/+ 90,40 60.因此汽车在这1 min行驶的路程是:r10 r6()5= I 3tdt + 30Jr +1 (-1.5/+ 90)J/Jo J10 J 403 3=-r I： +30说 +(F + 90r)咪=1350伽)2答：汽车在这1 min行驶的路程是1350in .总结：从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定 积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向 学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的, 若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅 能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃 思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.