定积分在生活中的应用.docx
《定积分在生活中的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分在生活中的应用.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
定积分在生活中的应用
彳戾4农茨
PINGDINGSHANUNIVERSITY
院系：
经济与管理学院
题目：
定积分在生活屮的应用年级专业：
11级市场营销班
学生姓名：
天鹏
定积分在生活中的应用
定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。
微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述
1、定积分的定义：
设函数/（兀）在区间［“,可上有界.
1在［a,b］中任意插入若干个分点a=xQ«个小区间［如，齐］，［齐宀］，…，卜円，%”］'且各个小区间的长度依次为3=旺-兀。
心2=兀2一西，…，山”=禺一兀_1。
2在每个小区间［心,兀］上任取一点备，作函数几纣与小区间长度X的乘积
（f=1,2,•••,“），
3作出和S=o记円=max{3,◎，•••，&”}作极限胞£/（磊禺
/-IlpH°/-I
如果不论对［“问怎样分法，也不论在小区间［兀“兀］上点席怎样取法，只要当『1—0时，和s总趋于确定的极限/,这时我们称这个极限/为函数/（对在区间［（/］上的定积分（简称积分），记作P（A）Jx,即
打（J/""聽禺’
其中/（兀）叫做被积函数，叫做被积表达式，兀叫做积分变量，d叫做积分下限，〃叫做积分上限，［“列叫做积分区间。
2.定积分的性质
设函数才⑴和g（x）在［a.b］_h都可积，斤是常数，则幼（x）和/*（"）+g（x）都可积，并且
性质1£a/-（x>7x=^£/（a>/-v;
性质2［f（x）+g（x）］dx=£/（x）dx+（x）dx
］［/（x）-g（x）J妇"（必一仏⑺处
性质3定积分对于积分区间的可加性
设/*（X）在区间上可积，且a,/?
和c都是区间内的点，则不论a,b和c的相对位置如何,都有［/（x）Jx=£f（x）dx+f（x）dxo
性质4如果在区间［M］上于（x）=l,则^\dx=^dx=b-ao
性质5如果在区间［（"］上/（j）>0,则£/（护20（“<®。
b
性质6如果在［a.b］上，m（b-°）5jf（x）dx5M（b-a）
a
性质7（定积分中值定理）如果/（x）在［a,b］±连续，则在0上］上至少
b
存一点纟使得打（羽厶=/（§）（"-°）
a
3.定理
定理1微积分基本定理
如果函数门X）在区间［M］上连续，则积分上限函数0（x）珂：
/（讪在［M］上
可导，并且它的导数是0（兀）二",丫"二f⑴（d°）.
定理2原函数存在定理
如果函数/（X）在区间［亿可上连续,则函数0（x）二［/（八〃就是/（X）在［d,b］上的一个原函数.
定理3如果函数F（x）是连续函数门x）在区间［讪］上的一个原函数,则£/（xXv=F（/7）-F（6/）
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
二、定积分的应用
1、定积分在几何中的应用
（1）设连续函数/（X）和g（x）满足条件g（x）第一步：
在区间上任取一小区间［x,x+厶］,并考虑它上面的图形的
面积，这块面积可用以lf（x）-g（x）］为髙，以力为底的矩形面积近似，于是dS=［f（x）-g（x）］clx・
第二步：
在区间s,b］上将dS无限求和，得到S=J：
［/（x）-g（x）Mv.
（2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。
由连续曲线A=^（y）.x=0（y）其中e（y）>0（y）与直线y=c、y=d所围成的平面图形（图2）的面积为：
s=［'l0（y）-肖（y）k々
例1求由曲线y=siiix,y=cosx及
直线x=0,x=7t所围成图形的面积儿
的交点为（?
丰）;
解
（1）作出图形，如图所示.
（2）取x为积分变量，积分区间为[0,龙]・从图中可以看出，所围成的
图形可以分成两部分；
（3）区间[0,Q上这一部分的面积儿和区间匸,刃上这一部分的面积A,44
分别为
州=F（cosx-sinx）dx,A2=（sinx-CQSx）dx,
所以，所求图形的面积为
打f
A=A}+A?
二『（cosx-sinx）〃x+j\（sinx-cosx）〃x
4
=[siiix+cosx]J+[-cosx-sillx]2迈•
4
例2求椭圆的面积.
crlr
解椭圆关于兀轴，y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的
4倍，即
应用定积分的换元法,/一加认,且当*0时,心討。
时,20,于是
S=4j*bsin/（-acos/）〃/
7
=4abf2sin2tdt
Jo
2.求旋转体体积
用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T:
a=x（｝V=|睾石A（兀）*=|A（x）dxo
例2求由曲线与=4,直线x=l,x=4,y=O绕x轴旋转一周而形成的立体体积.
解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为［1,4］,相应于［1,4］上任取一子区间［x,x+cLr］的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为血，底面积为町2的小圆柱体体积近似
代替,
即体积微元为
94、
dV=dv=7i（_）-dx,
x
于是，体积
V=7i[4（-）2dA-
二16叮:
+dx
=_16兀丄；二12兀.
X
3.求曲线的弧长
（1）设曲线y=/（x）在肚闰上有一阶连续导数（如下图），利用微元法,
取x为积分变量，在上任取小区间Ls+闵，切线上相应小区间的小段
MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即宀ds.得弧长微元为：
ds=MT=J（dx）2+（dy）2=Jl+（yW，再对其积分，则曲线的弧长为：
S=£ds=£\/1+（/）2Ja-=^\+[f\x）]2dx
（2）参数方程表示的函数的弧长计
算，设曲线
上疋口0］—段的弧
长•这时弧长微元为:
ds=J（dx『+（dy『=J
（dxY（〃汀
+h）
力即
ds
dy
——dx—
axx^rdxbx
则曲线的弧长为
S=［亦=必0（。
］2+［心）］也
例3
（1）求曲线上从0到3—段弧的长度
解由公式5=j'\/l+y2cLv（a
（2）求摆线
x=a（/-sin/）,在oms上的一段弧的长度（小）.y=a（l-cosf）
解取『为积分变量，积分区间为［0,2刃・由摆线的参数方程，得
xf=d（l-cosf）、y=asint,
yjx2+y'1=J/Q-cos/）'+/sin~/=aj2（l-cost）=2dIsin—I•2
于是，由公式（16-13）,在0
r2穴tt
S=Jo加IsinR妇2如尹
=4a-cos—
2
2.定积分在经济中的应用
（1）.由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量
根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量X的变动区间［么甸上的改
变量（增量）就等于它们各自边际在区间⑷勿上的定积分:
（1）
C（b）-C（a）=JC\x）dx
L（b）-L（a）=|L'（x）dx
（2）
（3）
例1已知某商品边际收入为-O.O8.V4-25（万元/t）,边际成本为5（万元
/t）,求产量x从250t增加到300t时销售收入R（x）,总成本C（x）,利润心）
的改变量（增量）。
解首先求边际利润
r（x）=Rf（x）一C\x）=-0.08x+25-5=-0.08x+20
所以根据式
（1）、式
（2）、式（3）,依次求出：
/?
（300）-/?
（250）=r，M，R\x）dx=「）（-O.O8x+25）dx二150万元
J2,（）J二5（）
C（300）-C（250）=J；：
C\x）dx=J：
dx=250万元
厶（300）-厶（250）=J；：
L\x）dx=J；：
（-0.08x+20）Jx=-100万元
（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率
f2一人
为该经济函数在时间间隔
设某经济函数的变化率为/（f）,则称
”2，门内的平均变化率。
例2某银行的利息连续计算，利息率是时间『（单位：
年）的函数:
r（r）=0.08+0.01577
求它在开始2年，即时间间隔［0,2］内的平均利息率。
解由于
『（0.08+0.015皿/=0.16+0.01/仰=0.16+0.02>/2
所以开始2年的平均利息率为
r==0.08+0.01>/2^0.094
2-0
例3某公司运行/（年）所获利润为L（t）（元）利润的年变化率为
LW=3xio5>/77T（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔［3,
8］内年平均变化率
解由于
£=£3x105a/T+Tj?
=2xlO5-（r+l）5|^=38xlO5
所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为
『L'E-
=7.6x10,（元/年）
8-3
即在这5年内公司平均每年平均获利7.6X"元。
（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量
设某个项目在7（年）时的收入为/⑴（万元），年利率为r,即贴现率是,则应用定积分计算，该项目在时间区间［,"］上总贴现值的增量为o
设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为"（万元）年利率为「，银行利息连续计算。
在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A,即使关系式
Joae~r'dt=A
成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。
例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。
解这里4=1000,d=200,r=0.08,则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为「200严叫〃=竺八倔：
=2500（1-^°87）
山）-0.08
令2500（1-严販）=1000,即得该工程回收期为
110001
T=ln（l）=In0.6=6.39（年）
0.0825000.08
3、定积分在物理中的应用
1、求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v（t）（v（t）N0）在时间区间［a,b］上的定积分,即$=£啲力
如图
例1、一辆汽车的速度一时间曲线所示.求汽车在这1min行驶的路程.
解：
由速度一时间曲线可知：
3r,0v（O=ho,lO—1.5/+90,40"<60.
因此汽车在这1min行驶的路程是:
r10r6（）
5=I3tdt+[\30Jr+1（-1.5/+90）J/
JoJ10J40
33
=-rI：
+30说+（——F+90r）咪=1350伽）
2
答：
汽车在这1min行驶的路程是1350in.
总结：
从上面的论述中可以看出，定积分的应用十分的广泛，利用定积分来解决其他学科中的一些问题，是十分的简洁、方便，由此可对见向学习、思维的妙处.因此我们要学会横向学习，各个学科之间都是有联系的,若我们能够在学习中把这些联系找出来并加以分析、总结并应用，则不仅能加深对知识的理解，贯通了新旧知识，还能拓宽知识的应用范围、活跃思维，无论从深度上还是广度上都是质的飞跃.
升级会员 