高中数学必修四知识点总结.docx

1、高中数学必修四知识点总结必修四数学公式概念第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1、一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S k 360 , k Z .与角 终边垂直的角的集合： S 90 k 180 ,k Z .1.1.2 弧度制2、如图，圆 O 的半径为 1， 的长等于 1， AOB 就是 1 弧度的角。ll3、角的弧度数的绝对值是：r变形： lrr其中 半径 r，圆心角，弧长 l .4、特殊弧度数度0153045607590120135150弧度0523512643122346度180210225240270300315330360弧度754357

2、11264323465、弧长公式： lr“弧度”与“度”计算公式：6、扇形面积公式：S扇形1lr1r 2弧度度180度弧度 180221.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1、如图： OP rx2y 20正弦： sinyxr余弦： cosr正切： tany (x0)x2 三角函数定义域3、三角函数值的符号三角函数定义域sinR必修四 数学 1cosR_+tan k , k Z2_+4、诱导公式一s i n ( k 2 ) s i n ,c o s ( k 2 ) c o s ,t a n ( k 2 ) t a n ,其中 k Z.利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为 0

3、,2 内的三角函数值。5、三角函数线如图， sinyMP,cosxOM , tanATyx6、特殊角的三角函数角度030456090120 135150 180270 360sin01231321010正弦222222cos13210123101余弦222222tan0313不存3130不存0正切3在3在必修四 数学 2x=y补充 1、如图，角平分线落在一、 三象限线 x y 上方，则 sin x cos x .20,时，sintan补充 、如图，当2证明：S OPAS扇形 OPAS OAT1OAOM121OAATOA222MPATsintan1.2.2 同角三角函数的基本关系7、平方关系：

4、sin 2cos21变形： sin 21cos2， cos21 sin 28、商数关系：sintan变形： sintancos， cossincostan9、推导公式： cos211 sin2tan2tan 21 tan2 sincos212 sincos sincos2sincos221.3 三角函数的诱导公式公式二： 公式三： 公式四：s i ns i n ,s i ns i n ,s i ns i n ,c o sc o s ,c o sc o s ,c o sc o s ,t a nt a n .t a nt a n .t a nt a n .公式五：公式六：si nc o s ,s

5、i nc o s ,22c o ss i n ,c o ss i n ,22t an1 .t an1 .2t a n2t a n1.4 三角函数图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1、正弦、余弦函数图象必修四 数学 32、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：ysin x ， x0,2：0,0, 1, 0,31,2, 0,22ycosx ， x0,2： 0,1, 0,1 ,3, 0,2, 1221.4.2 正弦函数、余弦函数的性质3fx，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有、对于函数f x Tfx ，那么函数f x就叫做周期函数、非零常数 T 就叫

6、做这个函数的周期 。函数 yAsinx及函数 yA cosx的周期 T2.4、重要推论（1）若函数 f a x f a x ，则 f x 关于 x a 对称；若函数 f a x f a x ，则 f x 关于点 a, 0 对称 .（2）与周期相关的结论 fxafx ，则函数 fx 的一个周期 T2a ； fxa1，则函数 fx的一个周期 T2a ；fx fxa1x 的一个周期 T2a ；f，则函数 fx fxafxb，则函数 fx 的一个周期 Tab ； fxa1fx，则函数 fx 的一个周期 T4a ；1fx f x 关于 xa 和 xb 对称，则 fx 周期 T2 ab ； f x 关于

7、a,0和 b, 0 对称，则 fx 周期 T2 ab ； fx关于 a,0和 x b 对称，则 fx 周期 T4 ab .5、正弦函数ysin x 的定义域为 R ；值域为1,1.当 x22kk Z 时， y 取最大值 1；当 x22k k Z 时， y 取最小值 1.必修四 数学 46ycosx的定义域为 R ；值域为1,1 .、余弦函数当x 2k k Z时， y 取最大值1x2k k Z时，y 取最小值1.；当7、奇偶性由诱导公式 sinxsin x ， cosxcos x 可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。8、对称性（1）正弦曲线对称中心坐标为k , 0kZ ；对称轴方程是 x

8、kk Z .2（2）余弦曲线对称中心坐标为9、单调性k , 0 k Z ；对称轴方程是 x k k Z .2（1）正弦函数 ysin x 在kkk Z上都是增函数， 其值从 1增大2,222到 1；在k3kkZ上都是减函数，其值从1 减小到1.2,222（2）余弦函数 ycosx 在2k, 2kkZ上都是增函数，其值从1增大到1；在 2k ,2kkZ 上都是减函数，其值从1 减小到1.1.4.3正切函数的性质与图像11、正切函数 ytan x 的定义域是：10、正切函数的图像x x k,k Z .212、周期性由诱导公式 tan xtanx, xR ,x2k, kZ 可知， 正切函数是周期函数

9、，周期是 T.13、奇偶性由诱导公式 tanxtan x, xR ，x2k, kZ 可知， 正切函数是奇函数。必修四 数学 514、单调性：正切函数在开区间k ,kk Z 内都是增函数。2215、值域：正切函数的值域为R.1.5 函数 yA sinx的图像、 对 ysin x，xR图像的影响1函数 ysin x（0 ）的图像，可以看做是把ysin x 的图像上各点向左 （0 ）或向右（0 ）平移个单位得到的。 （可简记为左“”右“”）2、0 对 ysinx图像的影响函数 ysin( x) 的图像上点的横坐标缩短1 或伸长01 到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的。3、 AA0 对 yA sinx

10、图像的影响函数yAsinx的图像，可以看做是把 ysinx上所有点的纵坐标伸长(A 1)或缩短 (0A 1) 到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到。4、 yAsin x， x0,， A0,0的性质k（1）对称轴：令 sinx1 ，即xk， x2(k Z )2（2）对称中心：令 sinx0 ，xk ，k，xk, 0 k Z（3）最值： ymax1,x2k ,ymin1, x2k22（4）单调区间：A,均大于 0 以后，将x整体代入、当函数 y Asinxx 0 A0,0 表示一个振动量时，A为振幅 ，2 T5是周期 ， f1是频率 ， x 为相位 ， 为初相 。 T 2必修四 数学 6第二章 平

11、面向量2.1 平面向量的基本概念2.1.1 平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。2.1.2 向量的几何表示3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。4、向量的模：向量可以用有向线段表示。向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称模） ，记作 AB 或者 a .5、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0。零向量的方向不确定，是任意的。6、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量。7、向量的字母表示：向量在印刷体时，用黑体小写字

12、母 a、b、c 、表示向量；手写时，写成带箭头的小写字母 a、b、c 表示。8、平行向量：方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。通常记作 a / b 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a ，都有 0 / a .平行向量也叫做共线向量。2.1.3 相等向量与共线向量9、相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。10、共线向量： 任一组平行向量都可以移动到同一直线上， 所以，平行向量也叫做共线向量。2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义1、三角形法则：如图，已知非零向量 a 、 b，在平面内任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做 a

13、与 b的和，记作 a b ，即 a b AB BC AC .对于零向量与任一向量 a ，仍然有 0 + a = a + 0 = a2、平行四边形法则： 如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边作 OACB ，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和。记作 a b = AC .3、向量 a 、 b 、 a b 的关系（ 1） a 、 b 都为非零向量（）当 a 、 b 不共线时，必修四 数学 7aba bab（）当 a 、 b 共线时，同向，则abab ；反向，则abab（2）当 a 、 b 至少有一个为零向量时，ababab综上所述：当 a 、 b 不共线时，

14、一般地，我们有ababab .4、向量加法（ 1）交换律： abba（ 2）结合律：abcabc2.2.2向量减法运算及其几何意义5、相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a .若 a 、 b 是互为相反的向量，则ab ， ba ， ab0.6、向量的减法：如图，已知向量a 于 b ，在平面内任取一点 O，作 OAa ， OBb ，则BA ab ，即 ab 表示的向量从向量b 的终点指向向量 a 的终点的向量。7、向量 a 、 b 、 ab 的关系（ 1） a 、 b 都为非零向量，（）当 a 、 b 不共线时：ababab（）当 a 、 b 共线时，同向，则ab

15、ab ；方向，则abab（2）当 a 、 b 少有一个为零向量时，ababab综上所述：当 a 、 b 不共线时，一般地，我们有ababab .2.2.3向量乘法运算及其几何意义8、向量的数乘：实数于向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下：aaaa 结果也是向量a当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a 0.9、向量满足的运算律设 、为实数，则有结合律：aa ；第一分配律：aaa ；第二分配律：abab .特别的，我们有aaa ；abab .必修四 数学 810、数乘向量与原向量之间的位置关系（1）

16、当 a0 时，a 与 a 共线；（2）当 a0 时，a 与 a 同向，则0 ；反向，则0 .11、对于向量 a a0 、 b ，如果有一个实数，使 ba ，那么由向量数乘的定义知，a 与 b 共线。12、共线向量定理（1）判定定理：如果baR ，那么 a / b（2）性质定理：如果a/ b ， a0，那么存在唯一一个实数，使得 b a2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1、 2，使a 1e12e2 .我们把不共线的向量e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2、两向量的夹角如图，非零向量a 、 b 中，作 OAa ， OBb ，则AOB0o108o 叫做向量 a 与 b 的夹角。如果 a 与 b 的夹