高中数学必修四知识点总结.docx
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高中数学必修四知识点总结
必修四数学公式概念
第一章三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
1、一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
Sk360,kZ.
与角终边垂直的角的集合：
S90k180,kZ.
1.1.2弧度制
2、如图，圆O的半径为1，的长等于1，AOB就是1弧度的角。
l
l
3、角
的弧度数的绝对值是：
r
变形：
l
r
r
其中半径r
，圆心角
，弧长l.
4、特殊弧度数
度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
5
2
3
5
12
6
4
3
12
2
3
4
6
度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7
5
4
3
5
7
11
2
6
4
3
2
3
4
6
5、弧长公式：
l
r
“弧度”与“度”计算公式：
6、扇形面积公式：
S扇形
1
lr
1
r2
弧度
度
180
度
弧度180
2
2
1.2任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数
1、如图：
OPr
x2
y2
0
①正弦：
sin
y
x
r
②余弦：
cos
r
③正切：
tan
y（x
0）
x
2三角函数定义域
3、三角函数值的符号
三角函数
定义域
sin
R
必修四数学1
cos
R
_
+
tank,kZ
2
_
+
4、诱导公式一
sin（k2）sin,
cos（k2）cos,
tan（k2）tan,
其中kZ.
利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为0,2内的三角函数值。
5、三角函数线
如图，sin
y
MP,cos
x
OM,tan
AT
y
x
6、特殊角的三角函数
角度0°
30°
45°
60°
90°
120°135°
150°180°
270°360°
sin
0
1
2
3
1
3
2
1
0
1
0
正弦
2
2
2
2
2
2
cos
1
3
2
1
0
1
2
3
1
0
1
余弦
2
2
2
2
2
2
tan
0
3
1
3
不存
3
1
3
0
不存
0
正切
3
在
3
在
必修四数学2
x=y
补充1、如图，角平分线落在一、三象限线xy上方，则sinxcosx.
2
0,
时，
sin
tan
补充、如图，当
2
证明：
SOPA
S扇形OPA
SOAT
1OAOM
1
2
1OAAT
OA
2
2
2
MP
AT
sin
tan
1.2.2同角三角函数的基本关系
7、平方关系：
sin2
cos2
1
变形：
sin2
1
cos2
，cos2
1sin2
8、商数关系：
sin
tan
变形：
sin
tan
cos
，cos
sin
cos
tan
9、推导公式：
①cos2
1
1
②sin2
tan2
tan2
1tan2
③sin
cos
2
1
2sin
cos
④sin
cos
2
sin
cos
2
2
1.3三角函数的诱导公式
公式二：
公式三：
公式四：
sin
sin,
sin
sin,
sin
sin,
cos
cos,
cos
cos,
cos
cos,
tan
tan.
tan
tan.
tan
tan.
公式五：
公式六：
sin
cos,
sin
cos,
2
2
cos
sin,
cos
sin,
2
2
tan
1.
tan
1.
2
tan
2
tan
1.4三角函数图象与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
1、正弦、余弦函数图象
必修四数学3
2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：
y
sinx，x
0,2
：
0,0
1
0
3
1
2
0
2
2
y
cosx，x
0,2
：
0,1
0
1,
3
0
2
1
2
2
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
3
f
x
，如果存在一个非零常数
T，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
、对于函数
fxT
f
x，那么函数
fx
就叫做周期函数
、非零常数T就叫做这个函数的周期。
．．．．
．．
函数y
Asin
x及函数y
Acos
x
的周期T
2
.
4、重要推论
（1）若函数faxfax，则fx关于xa对称；
若函数faxfax，则fx关于点a,0对称.
（2）与周期相关的结论
①f
x
a
f
x，则函数f
x的一个周期T
2a；
②f
x
a
1
，则函数f
x
的一个周期T
2a；
f
x
③f
x
a
1
x的一个周期T
2a；
f
，则函数f
x
④f
x
a
f
x
b
，则函数f
x的一个周期T
a
b；
⑤f
x
a
1
f
x
，则函数f
x的一个周期T
4a；
1
f
x
⑥fx关于x
a和x
b对称，则f
x周期T
2a
b；
⑦fx关于a,
0
和b,0对称，则f
x周期T
2a
b；
⑧f
x
关于a,
0
和xb对称，则f
x周期T
4a
b.
5、正弦函数
y
sinx的定义域为R；值域为
1,1.
当x
2
2k
kZ时，y取最大值1；当x
2
2kkZ时，y取最小值1.
必修四数学4
6
y
cosx
的定义域为R；值域为
1,1.
、余弦函数
当
x2kkZ
时，y取最大值
1
x
2kkZ
时，
y取最小值
1.
；当
7、奇偶性
由诱导公式sin
x
sinx，cos
x
cosx可知：
正弦函数是奇函数
，余弦函数是偶函数
。
．．．
．．．
8、对称性
（1）正弦曲线对称中心坐标为
k,0
k
Z；对称轴方程是xk
kZ.
2
（2）余弦曲线对称中心坐标为
9、单调性
k,0kZ；对称轴方程是xkkZ.
2
（1）正弦函数y
sinx在
k
k
kZ
上都是增函数，其值从1增大
2
2
2
2
到1；在
k
3
k
k
Z
上都是减函数，其值从
1减小到
1.
2
2
2
2
（2）余弦函数y
cosx在
2k
2k
k
Z
上都是增函数，其值从
1增大到
1；
在2k,
2k
k
Z上都是减函数，其值从
1减小到
1.
1.4.3
正切函数的性质与图像
11、正切函数y
tanx的定义域是：
10、正切函数的图像
xxk
kZ.
2
12、周期性
由诱导公式tanx
tanx,x
R,
x
2
k
k
Z可知，正切函数是周
期函数，周期是T.
13、奇偶性
由诱导公式tan
x
tanx,x
R，
x
2
k
k
Z可知，正切函数是奇
函数。
必修四数学5
14、单调性：
正切函数在开区间
k,
k
kZ内都是增函数。
2
2
15、值域：
正切函数的值域为
R.
1.5函数y
Asin
x
的图像
、对y
sinx
，
x
R
图像的影响
1
函数y
sinx
（
0）的图像，可以看做是把
y
sinx的图像上各点向左（
0）
或向右（
0）平移
个单位得到的。
（可简记为左“
”右“
”）
2、
0对y
sin
x
图像的影响
函数y
sin（x
）的图像上点的横坐标缩短
1或伸长
0
1到原来的
1
倍
（纵坐标不变）而得到的。
3、A
A
0对y
Asin
x
图像的影响
函数
y
Asin
x
的图像，可以看做是把y
sin
x
上所有点的纵坐标伸长
（A1）
或缩短（0
A1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到。
4、y
Asinx
，x
0,
，A
0,
0
的性质
k
（1）对称轴：
令sin
x
1，即
x
k
，x
2（kZ）
2
（2）对称中心：
令sin
x
0，
x
k，
k
，
x
k
0kZ
（3）最值：
ymax
1,
x
2k,
ymin
1,x
2k
2
2
（4）单调区间：
A,
均大于0以后，将
x
整体代入
、当函数yAsin
x
x0A
0,
0表示一个振动量
时，
A
为振幅，
2
．．T
5
．．．
是周期，f
．．
1
是频率，x为相位，为初相。
．．．．．．
T2
必修四数学6
第二章平面向量
2.1平面向量的基本概念
2.1.1平面向量的概念
1、向量：
既有大小又有方向的量叫做向量。
2、数量：
只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。
2.1.2向量的几何表示
3、有向线段：
如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：
起点、方向、长度。
4、向量的模：
向量可以用有向线段表示。
向量AB的大小，也
就是向量AB的长度（或称模），记作AB或者a.
5、零向量：
长度为零的向量叫做零向量，记作0。
零向量的方向不确定，是任意的。
6、单位向量：
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
7、向量的字母表示：
向量在印刷体时，用黑体小写字母a、b、c、⋯表示向量；手写时，
写成带箭头的小写字母a、b、、c⋯表示。
8、平行向量：
方向相同或相反的的非零向量叫做平行向量。
通常记
作a//b。
零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0//a.
平行向量也叫做共线向量。
2.1.3相等向量与共线向量
9、相等向量：
长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。
10、共线向量：
任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量。
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
1、三角形法则：
如图，已知非零向量a、b，在平面内任
取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b
的和，记作ab，即abABBCAC.
对于零向量与任一向量a，仍然有0+a=a+0=a
2、平行四边形法则：
如图，以同一点O为起点的两个已知向
量a、b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OC就
是a与b的和。
记作ab=AC.
3、向量a、b、ab的关系
（1）a、b都为非零向量（Ⅰ）当a、b不共线时，
必修四数学7
a
b
ab
a
b
（Ⅱ）当a、b共线时，①同向，则
a
b
a
b；②反向，则
a
b
a
b
（2）当a、b至少有一个为零向量时，
a
b
a
b
a
b
综上所述：
当a、b不共线时，一般地，我们有
a
b
a
b
a
b.
4、向量加法
（1）交换律：
a
b
b
a
（2）结合律：
a
b
c
a
b
c
2.2.2
向量减法运算及其几何意义
5、相反向量：
与a长度相等、方向相反的向量，叫做
a的相反向量，记作
a.
若a、b是互为相反的向量，则
a
b，b
a，a
b
0
.
6、向量的减法：
如图，已知向量
a于b，在平面
内任取一点O，作OA
a，OB
b，则
BAa
b，即a
b表示的向量从向量
b的终点
指向向量a的终点的向量。
7、向量a、b、a
b的关系
（1）a、b都为非零向量，
（Ⅰ）当a、b不共线时：
a
b
a
b
a
b
（Ⅱ）当a、b共线时，①同向，则
a
b
a
b；②方向，则
a
b
a
b
（2）当a、b少有一个为零向量时，
a
b
a
b
a
b
综上所述：
当a、b不共线时，一般地，我们有
a
b
a
b
a
b.
2.2.3
向量乘法运算及其几何意义
8、向量的数乘：
实数
于向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
a，
它的长度与方向规定如下：
a
a
a
a结果也是向量
a
当
0时，
a的方向与a的方向相同；当
0时，
a的方向与a的方向相反；当
0时，
a0
.
9、向量满足的运算律
设、
为实数，则有
结合律：
a
a；
第一分配律：
a
a
a；第二分配律：
a
b
a
b.
特别的，我们有
a
a
a；
a
b
a
b.
必修四数学8
10、数乘向量与原向量之间的位置关系
（1）当a
0时，
a与a共线；
（2
）当a
0时，
a与a同向，则
0；反向，则
0.
11、对于向量aa
0、b，如果有一个实数
，使b
a，那么由向量数乘的定义知，
a与b共线。
12、共线向量定理
（1
）判定定理：
如果
b
a
R，那么a//b
（2
）性质定理：
如果
a
//b，a
0
，那么存在唯一一个实数
，使得ba
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任意向量，那么对于这一平面内的任意向量
a，有且只有一对实数
1、2，使
a1e1
2e2.我们把不共线的向量
e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2、两向量的夹角
如图，非零向量
a、b中，作OA
a，OB
b，则
AOB
0o
108o叫做向量a与b的夹角。
如果a与b的夹
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