直角三角形斜边中线练习(尖).pdf

1、 第 1 页（共 30 页）直角三角形斜边中线练习直角三角形斜边中线练习【尖尖】一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1如图，将ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到DEF，若ABC 的周长为 16cm，则四边形 ABFD 的周长为（）A16cm B18cm C20cm D22cm 2如图，在 44 的正方形网格中，MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1则其旋转中心一定是（）A点 E B点 F C点 G D点 H 3如图，ABC 中，D 为 AB 的中点，BEAC，垂足为 E若 DE=4，AE=6，则BE 的长度是（）A10 B25 C8 D27 第 2 页（共 30 页）4如图

2、，在ABC 中，ACB=90，D 在 BC 上，E 是 AB 的中点，AD、CE 相交于 F，且 AD=DB若B=20，则DFE 等于（）A30 B40 C50 D60 5如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF的中点，那么 CH 的长是（）A2.5 B5 C322 D2 6如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得AM 的长为 1.2km，则 M，C 两点间的距离为（）A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km 7直角三角形中，两直角边分别是 12 和 5，则斜边上的中线长是（）

3、A34 B26 C8.5 D6.5 第 3 页（共 30 页）8如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，F 为 BC 的中点，DE=5，BC=8，则DEF 的周长是（）A21 B18 C13 D15 二填空题（共二填空题（共 2 小题）小题）9如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，将BCD 沿 CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点 E 处，则A 等于 度 10如图，点 P 在第一象限，ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是 ；若将ABP 的 PA 边长

4、改为22，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为 第 4 页（共 30 页）三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题）11 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）（1）在平面直角坐标系中画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1；（2）把ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度，得图中的AB2C2，点 C2在 AB 上 旋转角为多少度？写出点 B2的坐标 12如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到PAB（1）求点 P 与点 P之间的距离；（2）求APB

5、的度数 第 5 页（共 30 页）13如图，在ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=CB，点 E 为 BD 的中点，点 F 为AC 的中点，连结 EF 交 CD 于点 M，连接 AM（1）求证：EF=12AC（2）若BAC=45，求线段 AM、DM、BC 之间的数量关系 14如图，ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 上一点，DEAB 于 E，FDBC 于 D，G 是 FC 的中点，连接 GD求证：GDDE 第 6 页（共 30 页）15如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点 G 是 CE 的中点，DGCE，点 G为垂足 （1）求证：DC=BE；（2）若AEC=66，求BCE

6、 的度数 16如图，ABC 中，BD、CE 是ABC 的两条高，点 F、M 分别是 DE、BC 的中点求证：FMDE 第 7 页（共 30 页）17如图，ABC=ADC=90，M、N 分别是 AC、BD 的中点求证：MNBD 18如图，ABC 中，CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，且ME=MF（1）求证：BEAC；（2）若A=50，求FME 的度数 19如图，直线 a、b 相交于点 A，C、E 分别是直线 b、a 上两点且 BCa，DEb，点 M、N 是 EC、DB 的中点求证：MNBD 第 8 页（共 30 页）20如图，ABC 中，CD、BE 分别是 AB、

7、AC 边上的高，M、N 分别是线段 BC、DE 的中点（1）求证：MNDE；（2）连结 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角ABC 变为钝角ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由 第 9 页（共 30 页）21已知：在ABC 中，ABC=90，点 E 在直线 AB 上，ED 与直线 AC 垂直，垂足为 D，且点 M 为 EC 中点，连接 BM，DM （1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及BMD 与BCD 所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图 2

8、，若点 E 在 BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点 E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM 与 DM 及BMD 与BCD 所满足的数量关系 第 10 页（共 30 页）直角三角形斜边中线练习直角三角形斜边中线练习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题）1如图，将ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到DEF，若ABC 的周长为 16cm，则四边形 ABFD 的周长为（）A16cm B18cm C20cm D22cm【分 析】根 据 平 移 的 基 本 性 质，得 出 四

9、 边 形ABFD的 周 长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC 即可得出答案【解答】解：根据题意，将周长为 16cm 的ABC 沿 BC 向右平移 2cm 得到DEF，AD=CF=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；又AB+BC+AC=16cm，四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm 故选：C【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等得到CF=AD，DF=AC 是解题的关键 2如图，在 44 的正方形网格中，MNP 绕某点旋转一定的角

10、度，得到M1N1P1则其旋转中心一定是（）A点 E B点 F C点 G D点 H【分析】根据“对应点到旋转中心的距离相等”，知旋转中心，即为对应点所连线 第 11 页（共 30 页）段的垂直平分线的交点【解答】解：根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上 则其旋转中心是 NN1和 PP1的垂直平分线的交点，即点 G 故选：C【点评】本题考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答 3如图，ABC 中，D 为 AB 的中点，BEAC，垂足为 E若 DE=4，AE=6，则BE 的长度是（）A10 B25 C8 D27【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

11、AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：BEAC，D 为 AB 中点，AB=2DE=24=8，在 RtABE 中，BE=22=8262=27，故选：D【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键 4如图，在ABC 中，ACB=90，D 在 BC 上，E 是 AB 的中点，AD、CE 相交于 F，且 AD=DB若B=20，则DFE 等于（）第 12 页（共 30 页）A30 B40 C50 D60【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出 BE=CE，根据等腰三角形性质得出ECB=B=20，DAB=B=20，根据三角形外角性质求

12、出ADC=B+DAB=40，根据三角形外角性质得出 DFE=ADC+ECB，代入求出即可【解答】解：在ABC 中，ACB=90，E 是 AB 的中点，BE=CE，B=20 ECB=B=20，AD=BD，B=20，DAB=B=20，ADC=B+DAB=20+20=40，DFE=ADC+ECB=40+20=60，故选：D【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出ADC 和ECB 的度数是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC=1，CE=3，H 是 AF的中

13、点，那么 CH 的长是（）A2.5 B5 C322 D2 第 13 页（共 30 页）【分析】连接 AC、CF，根据正方形性质求出 AC、CF，ACD=GCF=45，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出 AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【解答】解：如图，连接 AC、CF，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC=1，CE=3，AC=2，CF=32，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2+2=22+(32)2=25，H 是 AF 的中点，CH=12AF=1225=5 故选：B 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，

14、正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键 6如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得AM 的长为 1.2km，则 M，C 两点间的距离为（）A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 MC=AM=1.2km 第 14 页（共 30 页）【解答】解：在 RtABC 中，ACB=90，M 为 AB 的中点，MC=12AB=AM=1.2km 故选：D【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半理解题意，将实际问题转化

15、为数学问题是解题的关键 7直角三角形中，两直角边分别是 12 和 5，则斜边上的中线长是（）A34 B26 C8.5 D6.5【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：由勾股定理得，斜边=122+52=13，所以，斜边上的中线长=1213=6.5 故选：D【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键 8如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，F 为 BC 的中点，DE=5，BC=8，则DEF 的周长是（）A21 B18 C13 D15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

16、一半求出 DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答【解答】解：CDAB，F 为 BC 的中点，DF=12BC=128=4，BEAC，F 为 BC 的中点，第 15 页（共 30 页）EF=12BC=128=4，DEF 的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13 故选：C【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 2 小题）小题）9如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，将BCD 沿 CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点 E 处，则A 等于 30 度 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可

17、得到 EC=AE，从而得到A=ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到B=2A，从而不难求得A 的度数【解答】解：在 RtABC 中，CE 是斜边 AB 的中线，AE=CE，A=ACE，CED 是由CBD 折叠而成，B=CED，CEB=A+ACE=2A，B=2A，A+B=90，A=30 故答案为：30【点评】此题主要考查：（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 10如图，点 P 在第一象限，ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的 第 16 页（共 30 页）正半轴上运动时，点 B 随之在 y

18、 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是 1+3；若将ABP 的 PA 边长改为22，另两边长度不变，则点 P 到原点的最大距离变为 1+5 【分析】根据当 O 到 AB 的距离最大时，OP 的值最大，得到 O 到 AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点 M 上，由勾股定理求出 PM，即可求出答案；将ABP的 PA 边长改为22，另两边长度不变，根据 22+22=(22)2，得到PBA=90，由勾股定理求出 PM 即可【解答】解：取 AB 的中点 M，连 OM，PM，在 RtABO 中，OM=2=1，在等边三角形 ABP 中，PM=3，无论ABP 如何运动，OM 和

19、PM 的大小不变，当 OM，PM 在一直线上时，P 距O 最远，O 到 AB 的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点 M 上，由勾股定理得：PM=2212=3，OP=1+3，将AOP 的 PA 边长改为22，另两边长度不变，22+22=(22)2，PBA=90，由勾股定理得：PM=12+22=5，此时 OP=OM+PM=1+5 故答案为：1+3，1+5 第 17 页（共 30 页）【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出 PO 的值是解此题的关键 三解答题（共三解答题（共 11

20、 小题）小题）11 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）（1）在平面直角坐标系中画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1；（2）把ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度，得图中的AB2C2，点 C2在 AB 上 旋转角为多少度？写出点 B2的坐标 【分析】（1）分别得到点 A、B、C 关于 x 轴的对称点，连接点 A1，B1，C1，即可解答；（2）根据点 A，B，C 的坐标分别求出 AC，BC，AC 的长度，根据勾股定理逆定理得到CAB=90，即可得到旋转角；根据旋转的性质可知 AB=AB2=3，所以 CB2=AC+AB2=5，所以

21、 B2的坐标为（6，2）【解答】解：（1）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）关于 x 轴的对称点分别为 A1（3，2），B1（3，5），C1（1，2），第 18 页（共 30 页）如图所示，（2）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2），AB=3，AC=2，BC=(31)2+(52)2=13，2+2=13，2=(13)2=13，AB2+AC2=BC2，CAB=90，AC 与 AC2的夹角为CAC2，旋转角为 90；AB=AB2=3，CB2=AC+AB2=5，B2的坐标为（6，2）【点评】本题考查轴对称及旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应

22、点 12如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=6，PB=8，PC=10若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到PAB（1）求点 P 与点 P之间的距离；（2）求APB 的度数 第 19 页（共 30 页）【分析】（1）由已知PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到PAB，可得PACPAB，PA=PA，旋转角PAP=BAC=60，所以APP为等边三角形，即可求得 PP；（2）由APP为等边三角形，得APP=60，在PPB 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出PPB=90，可求APB 的度数【解答】解：（1）连接 PP，由题意可知 BP=PC=10，AP=AP，PAC=PAB

23、，而PAC+BAP=60，所以PAP=60 度故APP为等边三角形，所以 PP=AP=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP2+BP2=BP2，所以BPP为直角三角形，且BPP=90 可求APB=90+60=150 【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变 13如图，在ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=CB，点 E 为 BD 的中点，点 F 为AC 的中点，连结 EF 交 CD 于点 M，连接 AM（1）求证：EF=12AC（2）若BAC=45，求线段 AM、DM、BC 之间的数量关系 第 20 页（共 30 页）【分析】（

24、1）根据等腰三角形三线合一的性质可得 CEBD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=12AC；（2）判断出AEC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 EF 垂直平分 AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 AM=CM，然后求出 CD=AM+DM，再等量代换即可得解【解答】（1）证明：CD=CB，点 E 为 BD 的中点，CEBD，点 F 为 AC 的中点，EF=12AC；（2）解：BAC=45，CEBD，AEC 是等腰直角三角形，点 F 为 AC 的中点，EF 垂直平分 AC，AM=CM，CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，BC=AM+DM【

25、点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出 EF 垂直平分 AC 14如图，ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 上一点，DEAB 于 E，FDBC 于 D，G 是 FC 的中点，连接 GD求证：GDDE 第 21 页（共 30 页）【分析】由1+EDF=90可知，只要证明1=3，2=3，推出1=2 即可解决问题【解答】证明：AB=AC，B=C，DEAB，FDBC，BED=FDC=90，1+B=90，3+C=90，1=3，G 是直角三角形 FDC 的斜边中点，GD=GF，2=3，1=2，FDC=2+4=90，

26、1+4=90，2+FDE=90，GDDE 【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型 15如图，ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点 G 是 CE 的中点，DGCE，点 G 第 22 页（共 30 页）为垂足 （1）求证：DC=BE；（2）若AEC=66，求BCE 的度数 【分析】（1）由 G 是 CE 的中点，DGCE 得到 DG 是 CE 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到 DE=DC，由 DE 是 RtADB 的斜边 AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到

27、 DE=BE=12AB，即可得到 DC=BE；（2）由 DE=DC 得到DEC=BCE，由 DE=BE 得到B=EDB，根据三角形外角性质得到EDB=DEC+BCE=2BCE，则B=2BCE，由此根据外角的性质来求BCE 的度数【解答】解：（1）如图，G 是 CE 的中点，DGCE，DG 是 CE 的垂直平分线，DE=DC，AD 是高，CE 是中线，DE 是 RtADB 的斜边 AB 上的中线，DE=BE=12AB，DC=BE；（2）DE=DC，DEC=BCE，EDB=DEC+BCE=2BCE，DE=BE，B=EDB，B=2BCE，AEC=3BCE=66，则BCE=22 第 23 页（共 30

28、 页）【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等也考查了直角三角形斜边上的中线性质 16如图，ABC 中，BD、CE 是ABC 的两条高，点 F、M 分别是 DE、BC 的中点求证：FMDE 【分析】连接 MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=12BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论【解答】证明：连接 MD、ME BD 是ABC 的高，M 为 BC 的中点，在 RtCBD 中，MD=12BC，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半）同理可得 ME=12BC，MD=ME，F 是 DE 的中点，（等腰三角形三线合一

29、）FMDE 第 24 页（共 30 页）【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用 17如图，ABC=ADC=90，M、N 分别是 AC、BD 的中点求证：MNBD 【分析】连接 BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=12AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可【解答】证明：如图，连接 BM、DM，ABC=ADC=90，M 是 AC 的中点，BM=DM=12AC，点 N 是 BD 的中点，MNBD 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题

30、的关键 18如图，ABC 中，CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，且ME=MF（1）求证：BEAC；（2）若A=50，求FME 的度数 第 25 页（共 30 页）【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 MF=BM=CM=12BC，再求出 ME=BM=CM=12BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；（2）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出BMF+CME，然后根据平角等于 180列式计算即可得解【解答】（1）证明：CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，MF=BM=CM=12BC，ME=M

31、F，ME=BM=CM=12BC，BEAC；（2）解：A=50，ABC+ACB=18050=130，ME=MF=BM=CM，BMF+CME=（1802ABC）+（1802ACB）=3602（ABC+ACB）=3602130=100，在MEF 中，FME=180100=80【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用 19如图，直线 a、b 相交于点 A，C、E 分别是直线 b、a 上两点且 BCa，DEb，点 M、N 是 EC、DB 的中点求证：MNBD 第 26 页（共 30 页）【分析】根据直角三角

32、形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DM=12EC，BM=12EC，从而得到 DM=BM，再根据等腰三角形三线合一的性质证明【解答】证明：BCa，DEb，点 M 是 EC 的中点，DM=12EC，BM=12EC，DM=BM，点 N 是 BD 的中点，MNBD【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 20如图，ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M、N 分别是线段 BC、DE 的中点（1）求证：MNDE；（2）连结 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角ABC 变为钝角

33、ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由 【分析】（1）连接 DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=12BC，ME=12BC，从而得到 DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；第 27 页（共 30 页）（2）根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A，再根据等腰三角形两底角相等表示出BMD+CME，然后根据平角等于 180表示出DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出BME+CME，然后根据平角等于 180表示出DME，整理即可得解【解答】解：（1）如图，连接 DM，ME，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M 是 BC 的中点，DM=12BC，ME=12BC，D