直角三角形斜边中线练习(尖).pdf

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第1页（共30页）直角三角形斜边中线练习直角三角形斜边中线练习【尖尖】一选择题（共一选择题（共8小题）小题）1如图，将ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，若ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A16cmB18cmC20cmD22cm2如图，在44的正方形网格中，MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1则其旋转中心一定是（）A点EB点FC点GD点H3如图，ABC中，D为AB的中点，BEAC，垂足为E若DE=4，AE=6，则BE的长度是（）A10B25C8D27第2页（共30页）4如图，在ABC中，ACB=90，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB若B=20，则DFE等于（）A30B40C50D605如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A2.5B5C322D26如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A0.5kmB0.6kmC0.9kmD1.2km7直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A34B26C8.5D6.5第3页（共30页）8如图，在ABC中，CDAB于点D，BEAC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则DEF的周长是（）A21B18C13D15二填空题（共二填空题（共2小题）小题）9如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于度10如图，点P在第一象限，ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将ABP的PA边长改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为第4页（共30页）三解答题（共三解答题（共11小题）小题）11如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）

（1）在平面直角坐标系中画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；

（2）把ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的AB2C2，点C2在AB上旋转角为多少度？

写出点B2的坐标12如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB

（1）求点P与点P之间的距离；

（2）求APB的度数第5页（共30页）13如图，在ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM

（1）求证：

EF=12AC

（2）若BAC=45，求线段AM、DM、BC之间的数量关系14如图，ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DEAB于E，FDBC于D，G是FC的中点，连接GD求证：

GDDE第6页（共30页）15如图，ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G为垂足

（1）求证：

DC=BE；

（2）若AEC=66，求BCE的度数16如图，ABC中，BD、CE是ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点求证：

FMDE第7页（共30页）17如图，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、BD的中点求证：

MNBD18如图，ABC中，CFAB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF

（1）求证：

BEAC；

（2）若A=50，求FME的度数19如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BCa，DEb，点M、N是EC、DB的中点求证：

MNBD第8页（共30页）20如图，ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点

（1）求证：

MNDE；

（2）连结DM，ME，猜想A与DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角ABC变为钝角ABC，如图，上述

（1）

（2）中的结论是否都成立？

若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由第9页（共30页）21已知：

在ABC中，ABC=90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；

（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系第10页（共30页）直角三角形斜边中线练习直角三角形斜边中线练习参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共8小题）小题）1如图，将ABC沿BC方向平移2cm得到DEF，若ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A16cmB18cmC20cmD22cm【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC即可得出答案【解答】解：

根据题意，将周长为16cm的ABC沿BC向右平移2cm得到DEF，AD=CF=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；又AB+BC+AC=16cm，四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=20cm故选：

C【点评】本题考查平移的基本性质：

平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等得到CF=AD，DF=AC是解题的关键2如图，在44的正方形网格中，MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1则其旋转中心一定是（）A点EB点FC点GD点H【分析】根据“对应点到旋转中心的距离相等”，知旋转中心，即为对应点所连线第11页（共30页）段的垂直平分线的交点【解答】解：

根据旋转的性质，知：

旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G故选：

C【点评】本题考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答3如图，ABC中，D为AB的中点，BEAC，垂足为E若DE=4，AE=6，则BE的长度是（）A10B25C8D27【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：

BEAC，D为AB中点，AB=2DE=24=8，在RtABE中，BE=22=8262=27，故选：

D【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键4如图，在ABC中，ACB=90，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB若B=20，则DFE等于（）第12页（共30页）A30B40C50D60【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出BE=CE，根据等腰三角形性质得出ECB=B=20，DAB=B=20，根据三角形外角性质求出ADC=B+DAB=40，根据三角形外角性质得出DFE=ADC+ECB，代入求出即可【解答】解：

在ABC中，ACB=90，E是AB的中点，BE=CE，B=20ECB=B=20，AD=BD，B=20，DAB=B=20，ADC=B+DAB=20+20=40，DFE=ADC+ECB=40+20=60，故选：

D【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出ADC和ECB的度数是解此题的关键，注意：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A2.5B5C322D2第13页（共30页）【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACD=GCF=45，再求出ACF=90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【解答】解：

如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=2，CF=32，ACD=GCF=45，ACF=90，由勾股定理得，AF=2+2=22+（32）2=25，H是AF的中点，CH=12AF=1225=5故选：

B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键6如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A0.5kmB0.6kmC0.9kmD1.2km【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km第14页（共30页）【解答】解：

在RtABC中，ACB=90，M为AB的中点，MC=12AB=AM=1.2km故选：

D【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键7直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A34B26C8.5D6.5【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【解答】解：

由勾股定理得，斜边=122+52=13，所以，斜边上的中线长=1213=6.5故选：

D【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键8如图，在ABC中，CDAB于点D，BEAC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则DEF的周长是（）A21B18C13D15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答【解答】解：

CDAB，F为BC的中点，DF=12BC=128=4，BEAC，F为BC的中点，第15页（共30页）EF=12BC=128=4，DEF的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13故选：

C【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键二填空题（共二填空题（共2小题）小题）9如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于30度【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE，从而得到A=ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到B=2A，从而不难求得A的度数【解答】解：

在RtABC中，CE是斜边AB的中线，AE=CE，A=ACE，CED是由CBD折叠而成，B=CED，CEB=A+ACE=2A，B=2A，A+B=90，A=30故答案为：

30【点评】此题主要考查：

（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）三角形的外角性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和10如图，点P在第一象限，ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的第16页（共30页）正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+3；若将ABP的PA边长改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+5【分析】根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将ABP的PA边长改为22，另两边长度不变，根据22+22=（22）2，得到PBA=90，由勾股定理求出PM即可【解答】解：

取AB的中点M，连OM，PM，在RtABO中，OM=2=1，在等边三角形ABP中，PM=3，无论ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，O到AB的最大值是12AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：

PM=2212=3，OP=1+3，将AOP的PA边长改为22，另两边长度不变，22+22=（22）2，PBA=90，由勾股定理得：

PM=12+22=5，此时OP=OM+PM=1+5故答案为：

1+3，1+5第17页（共30页）【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PO的值是解此题的关键三解答题（共三解答题（共11小题）小题）11如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）

（1）在平面直角坐标系中画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；

（2）把ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的AB2C2，点C2在AB上旋转角为多少度？

写出点B2的坐标【分析】

（1）分别得到点A、B、C关于x轴的对称点，连接点A1，B1，C1，即可解答；

（2）根据点A，B，C的坐标分别求出AC，BC，AC的长度，根据勾股定理逆定理得到CAB=90，即可得到旋转角；根据旋转的性质可知AB=AB2=3，所以CB2=AC+AB2=5，所以B2的坐标为（6，2）【解答】解：

（1）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）关于x轴的对称点分别为A1（3，2），B1（3，5），C1（1，2），第18页（共30页）如图所示，

（2）A（3，2）、B（3，5）、C（1，2），AB=3，AC=2，BC=（31）2+（52）2=13，2+2=13，2=（13）2=13，AB2+AC2=BC2，CAB=90，AC与AC2的夹角为CAC2，旋转角为90；AB=AB2=3，CB2=AC+AB2=5，B2的坐标为（6，2）【点评】本题考查轴对称及旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点12如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB

（1）求点P与点P之间的距离；

（2）求APB的度数第19页（共30页）【分析】

（1）由已知PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，可得PACPAB，PA=PA，旋转角PAP=BAC=60，所以APP为等边三角形，即可求得PP；

（2）由APP为等边三角形，得APP=60，在PPB中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出PPB=90，可求APB的度数【解答】解：

（1）连接PP，由题意可知BP=PC=10，AP=AP，PAC=PAB，而PAC+BAP=60，所以PAP=60度故APP为等边三角形，所以PP=AP=AP=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP2+BP2=BP2，所以BPP为直角三角形，且BPP=90可求APB=90+60=150【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变13如图，在ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM

（1）求证：

EF=12AC

（2）若BAC=45，求线段AM、DM、BC之间的数量关系第20页（共30页）【分析】

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CEBD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12AC；

（2）判断出AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解【解答】

（1）证明：

CD=CB，点E为BD的中点，CEBD，点F为AC的中点，EF=12AC；

（2）解：

BAC=45，CEBD，AEC是等腰直角三角形，点F为AC的中点，EF垂直平分AC，AM=CM，CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，BC=AM+DM【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于

（2）判断出EF垂直平分AC14如图，ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DEAB于E，FDBC于D，G是FC的中点，连接GD求证：

GDDE第21页（共30页）【分析】由1+EDF=90可知，只要证明1=3，2=3，推出1=2即可解决问题【解答】证明：

AB=AC，B=C，DEAB，FDBC，BED=FDC=90，1+B=90，3+C=90，1=3，G是直角三角形FDC的斜边中点，GD=GF，2=3，1=2，FDC=2+4=90，1+4=90，2+FDE=90，GDDE【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型15如图，ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DGCE，点G第22页（共30页）为垂足

（1）求证：

DC=BE；

（2）若AEC=66，求BCE的度数【分析】

（1）由G是CE的中点，DGCE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是RtADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=12AB，即可得到DC=BE；

（2）由DE=DC得到DEC=BCE，由DE=BE得到B=EDB，根据三角形外角性质得到EDB=DEC+BCE=2BCE，则B=2BCE，由此根据外角的性质来求BCE的度数【解答】解：

（1）如图，G是CE的中点，DGCE，DG是CE的垂直平分线，DE=DC，AD是高，CE是中线，DE是RtADB的斜边AB上的中线，DE=BE=12AB，DC=BE；

（2）DE=DC，DEC=BCE，EDB=DEC+BCE=2BCE，DE=BE，B=EDB，B=2BCE，AEC=3BCE=66，则BCE=22第23页（共30页）【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等也考查了直角三角形斜边上的中线性质16如图，ABC中，BD、CE是ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点求证：

FMDE【分析】连接MD、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=12BC=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论【解答】证明：

连接MD、MEBD是ABC的高，M为BC的中点，在RtCBD中，MD=12BC，（直角三角形斜边上那的中线等于斜边的一半）同理可得ME=12BC，MD=ME，F是DE的中点，（等腰三角形三线合一）FMDE第24页（共30页）【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用17如图，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、BD的中点求证：

MNBD【分析】连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=12AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可【解答】证明：

如图，连接BM、DM，ABC=ADC=90，M是AC的中点，BM=DM=12AC，点N是BD的中点，MNBD【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键18如图，ABC中，CFAB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF

（1）求证：

BEAC；

（2）若A=50，求FME的度数第25页（共30页）【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=12BC，再求出ME=BM=CM=12BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；

（2）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出BMF+CME，然后根据平角等于180列式计算即可得解【解答】

（1）证明：

CFAB，垂足为F，M为BC的中点，MF=BM=CM=12BC，ME=MF，ME=BM=CM=12BC，BEAC；

（2）解：

A=50，ABC+ACB=18050=130，ME=MF=BM=CM，BMF+CME=（1802ABC）+（1802ACB）=3602（ABC+ACB）=3602130=100，在MEF中，FME=180100=80【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于

（2）中整体思想的利用19如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BCa，DEb，点M、N是EC、DB的中点求证：

MNBD第26页（共30页）【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=12EC，BM=12EC，从而得到DM=BM，再根据等腰三角形三线合一的性质证明【解答】证明：

BCa，DEb，点M是EC的中点，DM=12EC，BM=12EC，DM=BM，点N是BD的中点，MNBD【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键20如图，ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点

（1）求证：

MNDE；

（2）连结DM，ME，猜想A与DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角ABC变为钝角ABC，如图，上述

（1）

（2）中的结论是否都成立？

若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由【分析】

（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=12BC，ME=12BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；第27页（共30页）

（2）根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A，再根据等腰三角形两底角相等表示出BMD+CME，然后根据平角等于180表示出DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出BME+CME，然后根据平角等于180表示出DME，整理即可得解【解答】解：

（1）如图，连接DM，ME，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，DM=12BC，ME=12BC，D