概率论与数理统计答案.pdf

1、 第二章 习题参考答案与提示 第二章 随机变量及其分布习题参考答案与提示 第二章 随机变量及其分布习题参考答案与提示 1对某一目标进行射击，直到击中为止。如果每次射击命中率为，求射击次数的分布律。p答案与提示答案与提示：要求其分布律，只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可，若设X表示射击次数，X的分布律为 X 1 2 3 k kpp )1(pp2)1(pp1)1(kpp2一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品以前取出的废品数的分布律。答案与提示答案与提示：在取得合格品以前取出的废品数是一随机变量，要求其分布律，只

2、需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可。若设X表示在取得合格品以前取出的废品数，随机变量X的分布律为 X 0 1 2 3 3/4 9/44 9/220 1/220 kp 3设随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 1/5 2/5 3/10 1/10 kp求：（1）X的分布函数；（2）)(xF2XP；（3）31 XP 答案与提示答案与提示：（1）求分布函数可依据关系式 F xP Xxpkxxk()=，得X的分布函数 =xxxxxxXPxF3,132,10/9215/3105/100)(，（2）；23/P X=5（3）。137/10PX=4已知的分布函数为。设iX)2,1(=i)(xFi2

3、1)()(1+=xaFxFFx2()是某一随机变量的分布函数，求常数。a 1 第二章 习题参考答案与提示 答案与提示答案与提示：要使21)()(1+=xaFxFFx2()是某一随机变量的分布函数，由分布函数的性质知，解得。2/1=a 5将3个球随机地放入4个杯子中去，求某杯中有球个数的分布律。答案与提示答案与提示：某杯中有球个数只有4种可能：3个球都在该杯中；3个球中的两个球放在该杯中；3个球中的一个球放入该杯中；3个球都不在该杯中。因此某杯中有球个数是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3。运用第一章的有关知识可求出取相应值的概率。若将每个球随机地放入4个杯子中，它是否落入某杯中看

4、作一次试验，则它是一贝努利试验。随机地将3个球放入4个杯子中去，即是三重的贝努利试验，因此某杯中有球个数服从二项分布。故某杯中有球个数X的概率分布列为 X 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 pk6自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时立即调整。求在两次调整之间生产的合格品的分布律。答案与提示答案与提示：设X表示在两次调整之间生产的合格品的个数，得X的分布律为 X 0 1 2 k kpp )1(pp2)1(ppkpp)1(7一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的

5、时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布和分布函数。答案与提示答案与提示：由题意知 X 的一切可能取值为 0，1，2，3。若设：表示：“汽车在第个路口遇到红灯”，则相互独立，且由条件知A ii(,=12 3)3iAAA12，P AP Aii()()=12(,i=12 3)，得 X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 pkX 的分布函数为 =xxxxxxXPxF3,132,8/7214/3102/100)(，8 设随机变量X的分布函数为 2 第二章 习题参考答案与提示 =xxAxxxF1,110,0,0)(2求：（1）系数A；（2）随

6、机变量X落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）随机变量X的概率密度。答案与提示答案与提示：本题是已知随机变量的分布函数，由分布函数的性质可求出系数A；再由概率密度函数性质可求得（2）及（3）。（1）=xxxxxF1,110,0,0)(2 （2）0.30.70.4PX=（3）=其它,010,2)(xxxf99设随机变量X的概率密度为 +=，1111arcsin2110)(xxxxxF （2）31)21()21(2121=0001)(xxexFx，（1），；（2）2XP3XPX 的概率密度。答案与提示答案与提示：（1），。21)2(2=eFXP（2）=000)(xxexfx，3 第二章 习题参

7、考答案与提示 11 设随机变量 X 的分布密度，=其它，021210)(xxxxxf求分布函数F x()。答案与提示答案与提示：应用定义可得 X 的分布函数为 F xxxxxxxx()=001201212111222，2 12公共汽车站每隔 5 分钟有一辆客车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客侯车时间不超过 3 分钟的概率。答案与提示答案与提示：设 X 表示乘客侯车时间，则，乘客侯车时间不超过 3分钟的概率为)5,0(UX5351330=dxXP。13 设随机变量，求)2,10(2NX1310XP2|10|XP28XP答案与提示答案与提示：；10130.4332PX=|10|20

8、.6826PX=；280P X ；。14设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差 X 具有分布密度 3200/)20(22401)(=xexf（1）求测量误差的绝对值不超过 30 的概率；（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概率。答案与提示答案与提示：这是一常用分布的应用问题。（1）|30 30300.4931PXPX=（2）若设Y 表示 3 次独立重复测量中事件30+=22222222,0),(),(RyxRyxyxRAyxf 求（1）系数A；（2）落在圆内的概率。),(YX)(222Rrryx=0,00,1)(xxxfX1/2,0()0

9、,0Yyfyy=（3）X与Y相互独立。20设随机向量（X，Y）的分布函数 )3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF+=，（,x y +）求：（1）系数A、B、C；（2）（X，Y）的分布密度；（3）边缘分布密度。答案与提示答案与提示：（1）由分布函数性质得2=C，2=B，21=A。（2）由分布函数性质（4）知 )9)(4(61),(),(2222yxyxyxFyxf+=，（,x y +）（3）()Xfx=22(4)x+，（x +）()Yfy)9(32y+=，（y +）21设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 =其它，0010)2(8.4),(xyxxyyxf求随机变量X和Y的边

10、缘分布密度、。)(xfX)(yfY 答案与提示答案与提示：二维随机变量（X，Y）关于随机变量X和Y的边缘概率密度，可应用（2-10）式和（2-11）式求得。=)(xfX其它，010)2(4.22xxx +=其它，010)43(4.2)(2yyyyyfY 22设的分布密度为），（YX =其它，0101),(xxyyxf（1）求条件分布密度及；（2）判断是否独立。)|(|yxfYX)|(|xyfXYYX，6 第二章 习题参考答案与提示 答案与提示答案与提示：条件分布密度及，可由（2-17）及（2-19）式求得，这就需先求关于)|(|yxfYX)|(|xyfXYX、Y的边缘概率分布。当时，Y的条件分

11、布密度为10 xx =其它，021)|(|xyxxyfXY 时，10 y=其它，0111)|(|xyyyxfYX 01y时，+=其它，0111)|(|xyyyxfYX （2）不独立，因为YX，)()(),(yfxfyxfYX。23随机向量（）在矩形区域YX，bxa，dyc内服从均匀分布。求（）的分布密度及边缘分布密度，并判断是否独立。YX，YX，答案与提示答案与提示：=其它,0,)(1),(dycbxacdabyxf =其它,0,1)(bxaabxfX =其它,0,1)(dyccdyfY 又由于)()(),(yfxfyxfYX=，所以独立。YX，24设，求),(2NX=XY的分布密度。答案与提

12、示答案与提示：()Yfy22121ye=（+=00021)(2/)(ln2yyeyyfyY，（2）不满足定理条件，可先求分布函数，再求密度函数。()Yfy=00022/2yyey，27.设随机变量X的概率密度为;,8,1,0,3/1)(32其他若=xxxf)(xF是X的分布函数。求随机变量)(XFY=的分布函数。答案与提示答案与提示：先求出分布函数的具体形式，从而可确定,然后按定义求Y的分布函数即可。注意应先确定)(xF)(XFY=)(XFY=的值域范围，再对分段讨论.)1)(0(XFy)(XFY=的分布函数为 .1,10,0,1,0)(=yyyyyG若若若注注：事实上，本题X为任意连续型随机

13、变量均可。28已知随机变量且XNYN()()1131，X与Y相互独立，设随机变量ZXY=+27，求Z的概率分布。答案与提示答案与提示：本题考查有关正态分布的性质，由正态分布的性质“若X与Y相互独立，且，则XN(,)112YN(,)222bYaXZ+=仍服从正态分布，再由正态随机变量的线性函数也服从正态分布，得 10exp101)(2zzf=()=0,00,)(xxxexxX=0,00,)(yyyeyyY求YXZ+=的概率密度。答案与提示答案与提示：310()600zZe zzfzz=，或：=+其他，,000,),()2(yxAeyxfyx求：（1）关于的边缘分布密度，并判断是否独立；YX，YX

14、，（2）YXZ2+=的概率分布。答案与提示答案与提示：由于的分布密度中包含待定常数，故应首先将其确定。由），（YX 9 第二章 习题参考答案与提示 归一性，解得2=A。（1）；=0,00,)(xxexfxX=0,00,2)(2yyeyfyY由于)()(),(yfxfyxfYX=,故相互独立。YX，（2）=000)(zzzezfzZ，33已知的概率分布 21XX 和1X 1 0 1 0 1 2X 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2 kpkp而且1021=XXP。求：（1）随机变量和的联合分布；1X2X（2）问和是否独立？为什么？1X2X 答案与提示答案与提示：随机变量与的联合分布即为随机向量

15、（，）的概率分布。由于1XX21X2X1X和2X均为离散型随机变量，所以（，）为离散型随机向量，求其概率分布就是求（，）的所有可能取值及其相应的概率。1X2X1X2X 和的联合概率分布表如下：1X2X P 2X 0 1 1X -1 1/4 0 0 0 1/2 （2）和不独立。1X2X34假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布，当三个电子元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布。分析：电路正常工作的时间T即三个电子元件无故障工作时间的最小值。答案与提示答案与提示：设表示“第 个元件无故障时间”，

16、且的分布为 Tii()=123，iTi ftettTti(),=000FtettTti(),=1000而电路正常工作的时间即得其概率分布为 TTT=min123，T，f tettt(),=30003。10 第二章 习题参考答案与提示 35设X和Y的联合分布是正方形31,31:),(=yxyxG上的均匀分布，试求随机变量YXU=的概率密度。)(up答案与提示答案与提示：由条件知X和Y的联合概率密度为=其他,031,31,4/1),(yxyxf 以表)()(+u1)(=uF。当时，则 20 u=uyxdxdyyxfuF),()(=Guyxdxdy)(41 22)2(411)2(441uu=于是，随

17、机变量YXU=的概率密度为=其他,020),2(21)(uuup。36设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X 0 1 kp 0.3 0.7 y uxy=3 2 uyx 1 uxy=1 2 3 ox 而Y的概率密度为，求随机变量)(yfYXU+=的概率密度。)(ug答案与提示答案与提示：求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率。注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算。设是Y的分布函数，则由全概率公式，知)(yFYXU+=的分布函数为 )(uYXPuG+=27.013.0=+=+XuYXPXuYXP =227.0113.0=+=XuYPXuYP。由于X和Y独立，可见 27.013.0)(+=uYPuYPuG=).2(7.0)1(3.0+uFuF 由此,得U的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(+=uFuFuGug =).2(7.0)1(3.0+ufuf 注注：本题属不多见题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，具有一定的难度和综合性。11