概率论与数理统计答案.pdf

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第二章习题参考答案与提示第二章随机变量及其分布习题参考答案与提示第二章随机变量及其分布习题参考答案与提示1对某一目标进行射击，直到击中为止。

如果每次射击命中率为，求射击次数的分布律。

p答案与提示答案与提示：

要求其分布律，只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可，若设X表示射击次数，X的分布律为X123kkpp）1（pp2）1（pp1）1（kpp2一批零件中有9个合格品与3个废品，安装时从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品以前取出的废品数的分布律。

答案与提示答案与提示：

在取得合格品以前取出的废品数是一随机变量，要求其分布律，只需确定随机变量的一切可能取值及相应的概率即可。

若设X表示在取得合格品以前取出的废品数，随机变量X的分布律为X01233/49/449/2201/220kp3设随机变量X的分布列为X01231/52/53/101/10kp求：

（1）X的分布函数；

（2））（xF2XP；（3）31XP答案与提示答案与提示：

（1）求分布函数可依据关系式FxPXxpkxxk（）=，得X的分布函数=xxxxxxXPxF3,132,10/9215/3105/100）（，

（2）；23/PX=5（3）。

137/10PX=4已知的分布函数为。

设iX）2,1（=i）（xFi21）（）（1+=xaFxFFx2（）是某一随机变量的分布函数，求常数。

a1第二章习题参考答案与提示答案与提示答案与提示：

要使21）（）（1+=xaFxFFx2（）是某一随机变量的分布函数，由分布函数的性质知，解得。

2/1=a5将3个球随机地放入4个杯子中去，求某杯中有球个数的分布律。

答案与提示答案与提示：

某杯中有球个数只有4种可能：

3个球都在该杯中；3个球中的两个球放在该杯中；3个球中的一个球放入该杯中；3个球都不在该杯中。

因此某杯中有球个数是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3。

运用第一章的有关知识可求出取相应值的概率。

若将每个球随机地放入4个杯子中，它是否落入某杯中看作一次试验，则它是一贝努利试验。

随机地将3个球放入4个杯子中去，即是三重的贝努利试验，因此某杯中有球个数服从二项分布。

故某杯中有球个数X的概率分布列为X012327/6427/649/641/64pk6自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时立即调整。

求在两次调整之间生产的合格品的分布律。

答案与提示答案与提示：

设X表示在两次调整之间生产的合格品的个数，得X的分布律为X012kkpp）1（pp2）1（ppkpp）1（7一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等。

以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的概率分布和分布函数。

答案与提示答案与提示：

由题意知X的一切可能取值为0，1，2，3。

若设：

表示：

“汽车在第个路口遇到红灯”，则相互独立，且由条件知Aii（,=123）3iAAA12，PAPAii（）（）=12（,i=123），得X的概率分布列为X01231/21/41/81/8pkX的分布函数为=xxxxxxXPxF3,132,8/7214/3102/100）（，8设随机变量X的分布函数为2第二章习题参考答案与提示=xxAxxxF1,110,0,0）（2求：

（1）系数A；

（2）随机变量X落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）随机变量X的概率密度。

答案与提示答案与提示：

本题是已知随机变量的分布函数，由分布函数的性质可求出系数A；再由概率密度函数性质可求得

（2）及（3）。

（1）=xxxxxF1,110,0,0）（2

（2）0.30.70.4PX=（3）=其它,010,2）（xxxf99设随机变量X的概率密度为+=，1111arcsin2110）（xxxxxF

（2）31）21（）21（2121=0001）（xxexFx，

（1），；

（2）2XP3XPX的概率密度。

答案与提示答案与提示：

（1），。

21）2（2=eFXP

（2）=000）（xxexfx，3第二章习题参考答案与提示11设随机变量X的分布密度，=其它，021210）（xxxxxf求分布函数Fx（）。

答案与提示答案与提示：

应用定义可得X的分布函数为Fxxxxxxxx（）=001201212111222，212公共汽车站每隔5分钟有一辆客车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。

求乘客侯车时间不超过3分钟的概率。

答案与提示答案与提示：

设X表示乘客侯车时间，则，乘客侯车时间不超过3分钟的概率为）5,0（UX5351330=dxXP。

13设随机变量，求）2,10（2NX1310XP2|10|XP28XP答案与提示答案与提示：

；10130.4332PX=|10|20.6826PX=；280PX；。

14设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差X具有分布密度3200/）20（22401）（=xexf

（1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；

（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。

答案与提示答案与提示：

这是一常用分布的应用问题。

（1）|3030300.4931PXPX=

（2）若设Y表示3次独立重复测量中事件30+=22222222,0）,（）,（RyxRyxyxRAyxf求

（1）系数A；

（2）落在圆内的概率。

）,（YX）（222Rrryx=0,00,1）（xxxfX1/2,0（）0,0Yyfyy=（3）X与Y相互独立。

20设随机向量（X，Y）的分布函数）3arctan）（2arctan（）,（yCxBAyxF+=，（,xy+）求：

（1）系数A、B、C；

（2）（X，Y）的分布密度；（3）边缘分布密度。

答案与提示答案与提示：

（1）由分布函数性质得2=C，2=B，21=A。

（2）由分布函数性质（4）知）9）（4（61）,（）,（2222yxyxyxFyxf+=，（,xy+）（3）（）Xfx=22（4）x+，（x+）（）Yfy）9（32y+=，（y+）21设二维随机变量（X，Y）的概率分布为=其它，0010）2（8.4）,（xyxxyyxf求随机变量X和Y的边缘分布密度、。

）（xfX）（yfY答案与提示答案与提示：

二维随机变量（X，Y）关于随机变量X和Y的边缘概率密度，可应用（2-10）式和（2-11）式求得。

=）（xfX其它，010）2（4.22xxx+=其它，010）43（4.2）（2yyyyyfY22设的分布密度为），（YX=其它，0101）,（xxyyxf

（1）求条件分布密度及；

（2）判断是否独立。

）|（|yxfYX）|（|xyfXYYX，6第二章习题参考答案与提示答案与提示答案与提示：

条件分布密度及，可由（2-17）及（2-19）式求得，这就需先求关于）|（|yxfYX）|（|xyfXYX、Y的边缘概率分布。

当时，Y的条件分布密度为10xx=其它，021）|（|xyxxyfXY时，10y=其它，0111）|（|xyyyxfYX01y时，+=其它，0111）|（|xyyyxfYX

（2）不独立，因为YX，）（）（）,（yfxfyxfYX。

23随机向量（）在矩形区域YX，bxa，dyc内服从均匀分布。

求（）的分布密度及边缘分布密度，并判断是否独立。

YX，YX，答案与提示答案与提示：

=其它,0,）

（1）,（dycbxacdabyxf=其它,0,1）（bxaabxfX=其它,0,1）（dyccdyfY又由于）（）（）,（yfxfyxfYX=，所以独立。

YX，24设，求）,（2NX=XY的分布密度。

答案与提示答案与提示：

（）Yfy22121ye=（+=00021）（2/）（ln2yyeyyfyY，

（2）不满足定理条件，可先求分布函数，再求密度函数。

（）Yfy=00022/2yyey，27.设随机变量X的概率密度为;,8,1,0,3/1）（32其他若=xxxf）（xF是X的分布函数。

求随机变量）（XFY=的分布函数。

答案与提示答案与提示：

先求出分布函数的具体形式，从而可确定,然后按定义求Y的分布函数即可。

注意应先确定）（xF）（XFY=）（XFY=的值域范围，再对分段讨论.）1）（0（XFy）（XFY=的分布函数为.1,10,0,1,0）（=yyyyyG若若若注注：

事实上，本题X为任意连续型随机变量均可。

28已知随机变量且XNYN（）（）1131，X与Y相互独立，设随机变量ZXY=+27，求Z的概率分布。

答案与提示答案与提示：

本题考查有关正态分布的性质，由正态分布的性质“若X与Y相互独立，且，则XN（,）112YN（,）222bYaXZ+=仍服从正态分布，再由正态随机变量的线性函数也服从正态分布，得10exp101）（2zzf=（）=0,00,）（xxxexxX=0,00,）（yyyeyyY求YXZ+=的概率密度。

答案与提示答案与提示：

310（）600zZezzfzz=，或：

=+其他，,000,）,（）2（yxAeyxfyx求：

（1）关于的边缘分布密度，并判断是否独立；YX，YX，

（2）YXZ2+=的概率分布。

答案与提示答案与提示：

由于的分布密度中包含待定常数，故应首先将其确定。

由），（YX9第二章习题参考答案与提示归一性，解得2=A。

（1）；=0,00,）（xxexfxX=0,00,2）（2yyeyfyY由于）（）（）,（yfxfyxfYX=,故相互独立。

YX，

（2）=000）（zzzezfzZ，33已知的概率分布21XX和1X101012X1/41/21/41/21/2kpkp而且1021=XXP。

求：

（1）随机变量和的联合分布；1X2X

（2）问和是否独立？

为什么？

1X2X答案与提示答案与提示：

随机变量与的联合分布即为随机向量（，）的概率分布。

由于1XX21X2X1X和2X均为离散型随机变量，所以（，）为离散型随机向量，求其概率分布就是求（，）的所有可能取值及其相应的概率。

1X2X1X2X和的联合概率分布表如下：

1X2XP2X011X-11/40001/2

（2）和不独立。

1X2X34假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布，当三个电子元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布。

分析：

电路正常工作的时间T即三个电子元件无故障工作时间的最小值。

答案与提示答案与提示：

设表示“第个元件无故障时间”，且的分布为Tii（）=123，iTiftettTti（）,=000FtettTti（）,=1000而电路正常工作的时间即得其概率分布为TTT=min123，T，ftettt（）,=30003。

10第二章习题参考答案与提示35设X和Y的联合分布是正方形31,31:

）,（=yxyxG上的均匀分布，试求随机变量YXU=的概率密度。

）（up答案与提示答案与提示：

由条件知X和Y的联合概率密度为=其他,031,31,4/1）,（yxyxf以表）（）（+u1）（=uF。

当时，则20u=uyxdxdyyxfuF）,（）（=Guyxdxdy）（4122）2（411）2（441uu=于是，随机变量YXU=的概率密度为=其他,020）,2（21）（uuup。

36设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X01kp0.30.7yuxy=32uyx1uxy=123ox而Y的概率密度为，求随机变量）（yfYXU+=的概率密度。

）（ug答案与提示答案与提示：

求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率。

注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算。

设是Y的分布函数，则由全概率公式，知）（yFYXU+=的分布函数为）（uYXPuG+=27.013.0=+=+XuYXPXuYXP=227.0113.0=+=XuYPXuYP。

由于X和Y独立，可见27.013.0）（+=uYPuYPuG=）.2（7.0）1（3.0+uFuF由此,得U的概率密度）2（7.0）1（3.0）（）（+=uFuFuGug=）.2（7.0）1（3.0+ufuf注注：

本题属不多见题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，具有一定的难度和综合性。

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