深圳市高三第二次调研考试理科数学试卷.pdf

1、 理科数学试题答案及评分参考第1页（共13页）2019 年深圳市高三第二次调研考试 理科数学试题答案及评分参考 第卷 一选择题 1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C 11.B 12.B 二填空题：13.2 14.2213xy=15.72 16.1009 11.解析：()3sincos2sin()6f xxxx=+=+，xR，令6tx=+，()2sinf xt=.若函数()f x恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,4 3上，也即函数2sinyt=恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,46 36+上，3,24623,2362+，解得820,3314,，

2、即843，的取值范围为8,4)3，故应选 B 12.解析：（法一）补成长，宽，高分别为3,2,1的长方体(如下图)，由于EF，故截面为平行四边形MNKL，可得5KLKN+=，设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsinsinHFBLKN=，算得2 6sin5=，sinMNKLSNK KLNKL=四边形 22 66()522NKKL+=，当且仅当NKKL=时取等号，故应选 B 理科数学试题答案及评分参考第2页（共13页）（法二）()12FE ADFAFDAD=+uur uuu ruuruuu ruuu r()14BA CABDCDAD=+uuruuruuu ruuu ruuu r()()104

3、BA ADCD ADCA ADBD AD=+=uur uuu ruuu r uuu ruur uuu ruuu r uuu r EFAD，同理可得EFBC，设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsinsinHFBLKN=，()321BC ADBAACADBA ADAC AD=+=+=+=uuu r uuu ruuruuu ruuu ruur uuu ruuu r uuu rQ，1cos,5|BC ADBC ADBCAD=uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r，2 6sin,sin5BC AD=uuu r uuu r，即2 6sin5NKL=，同法一可得6sin2MN

4、KLSNK KLNKL=四边形，当且仅当NKKL=时取等号，故应选 B 16.解析：1122nnnnnSSS Sna+=，11122()nnnnnnSSS Sn SS+=，112(21)(21)nnnnS SnSnS=+，121212nnnnSS+=，令21nnnbS+=，则12nnbb=（2n），数列 nb是以111331bSa=为首项，公差2d=的等差数列，21nbn=，即2121nnnS+=，2121nnSn+=，12521321321mmS SSmm+=+，由212019m+，解得1009m，即正整数m的最小值为1009，故应填1009 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步

5、骤 理科数学试题答案及评分参考第3页（共13页）17（本小题满分 12 分）已知ABC中，2ABBC=，2 5AC=，点D在边AC上，且2=ADCD，2=ABDCBD（1）求ABC的大小；（2）求ABC的面积 解：（1）(法一)依题意设22=ABDCBD，2=ADCD，2 5AC=，4 53AD=，2 53CD=，2 分 在BAD中，由正弦定理，可得sinsinABADADBABD=，sin3sin2sin4 5ABABDABADBAD=，4 分 同理，在BCD中，由正弦定理，可得 sin3sinsin2 5BCCBDBCBDCCD=，6 分 BDCBDA+=，sinsin=BDCBDA，3s

6、in23sin4 52 5ABBC=，2ABBC=，2sin cossin=，0，sin0，2cos2=，4=，334ABC=.8 分（2）在ABC中，由余弦定理，得2222cos3ACABACAB BC=+，2223(2 5)(2)2 2cos4BCBCBC BC=+，解得2BC=，10 分 2113sin32sin2224ABCSAB BCBC=.12 分 (法二)2=ADCD，12=BDCBDASCDSAD，2 分 1sin2BDCSBC BD=，1sin22BDASAB BD=，且2ABBC=，理科数学试题答案及评分参考第4页（共13页）2cos2=，即4=，334=+=ABCABDC

7、BD，8 分(以下同法一)【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形面积计算公式等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养 18（本小题满分 12 分）在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，以CE，CF为折痕将DFC和BCE折起，使点B、D重合于点P，连结PA，得到如图所示的四棱锥PAECF（1）求证：EFPC；（2）求直线PA与平面PEC所成角的正弦值 解析：（1）(法一)证明：连结EF，记AC与EF的交点为O，在正方形ABCD中，ABBC，ADCD，翻折后PCPE，PCPF，3 分 又PEPFP=，PC平

8、面PEF，4 分 EF 平面PEF，EFPC；5 分(法二)证明：连结EF，记AC与EF的交点为O，在正方形ABCD中，ACEF，BEDF=，O为EF的中点，翻折后，PEPF=，2 分 O是EF的中点，EFPO，而ACEF，PO与AC相交于O点，EF平面PAC，4 分 又PC 平面PAC，EFPC；5 分（2）(法一)由（1）可知OPC为直角三角形，2OP=，4PC=，3 2OC=，设P到AC的距离为h，2 43 2 h=，43h=，7 分 1114162 433239P ABCABCVSh=，142PCESPC PE=，设点A到平面PCE的距离为h，1433A PCEACEVShh=，416

9、39h=，解得4=3h，9 分 ABCDEFPO（第 18 题图）ABCDEFP 理科数学试题答案及评分参考第5页（共13页）在RtPOC中，1cos3POPOCOC=，1cos3POA=，在POA中，222482cos9PAOAOPOP OAPOA=+=，4 33PA=，设PA与平面PEC所成角为，10 分 3sin3hPA=，11 分 直线PA与平面PEC所成角的正弦值为3312 分(法二)连结AC，AC与EF交于O点，以OA，OE所在的直线分别为x，y轴，过O作垂直于面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有(2,0,0)A，(3 2,0,0)C，(0,2,0)E，6

10、 分 过P作PGAC，在Rt POC中，2OP=，4PC=，3 2OC=，OP PCOC PG=，43PG=，2223OGOPPG=，24(0)33P，8 分 4 24(,0,)33PA=，24(,2,)33PE=，(3 2,2,0)CE=，思路 1：2PFPE=，2 2EF=，PFPE，9 分 显然PFPC，又PEPCP=，PF 平面PEC，易知(0,2,0)F，平面PEC的一个法向量24(,2,)33PF=，10 分 设PA与平面PEC所成角为，则|3sin3|PA PFPAPF=，11 分 直线PA与平面PEC所成角的正弦值为3312 分 思路 2：设平面PEC的法向量为(,)x y z

11、=n，ABCDEFPxyzO 理科数学试题答案及评分参考第6页（共13页）00CEPE=nn，3 220242033xyxyz+=+=，取1x=，则3y=，2 2z=，则(1,3,2 2)=n，10 分 设PA与平面PEC所成角为，则|3sin3|PAPA=nn，11 分 直线PA与平面PEC所成角的正弦值为3312 分【说明】本题以翻折问题为载体考察空间中点，线，面的位置关系，异面直线垂直的判定，直线与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力 19（本小题满分 12 分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与月售价x（单位：元/件）之间的

12、关系，对近几年的月销售量iy和月销售价ix(1,2,3,10)i=数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：（1）根据散点图判断，lnycdx=+与ybxa=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？解：（1）lnycdx=+更适宜销量y关于月销售价x的回归方程类型1 分 令lnux=，先建立y关于u的线性回归方程，由于 1011021()()27.5410.202.70()iiii

13、iyy uuduu=，月销售量/千件月售价/元10816201804122146024681210ABCDEFPxyzOG 理科数学试题答案及评分参考第7页（共13页）6.6 10.20 1.7524.45cydu=+=，4 分 所以y关于u的线性回归方程为24.45 10.20yu=，因此y关于x的回归方程为24.45 10.20lnyx=.6 分（2）依题意得：(24.45 10.20ln)zxyxx=，7 分 (24.45 10.20ln)14.25 10.20lnzxyxxx=，8 分 令0z=，即14.25 10.20ln0 x=，解得ln1.40 x，所以4.06x，10 分 当时

14、(0,4.06)x，z递增，当(4.06,)x+时，z递减，故当4.06x=，即月销售量10.17=y（千件）时，月销售额预报值最大.12 分【命题意图】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题 综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力 20（本小题满分 12 分）已知抛物线2:4C xy=，过点(2,3)的直线l交C于A、B两点，抛物线C在点A、B处的切线交于点P（1）当点A的横坐标为4时，求点P的坐标；（2）设Q是抛物线C上的动点，当|PQ取最小值时，求点Q的坐标及

15、直线l的方程 解：（1）点A的横坐标为4，(4,4)A，易知此时直线l的方程为122yx=+，1 分 联立24,12,2xyyx=+，解得2,1,xy=，或4,4,xy=，(2,1)B，2 分 由24xy=得2xy=，所以2PAk=，直线PA方程为24yx=，3 分 同理可得直线PB方程为1yx=，4 分 联立241=yxyx，可得12=xy，故点P的坐标为(1,2).5 分（2）（法一）设11(,)4xA x，22(,)4xB x，由24xy=，2xy=，所以12PAxk=，所以直线PA的方程为2111()42xxyxx=，即21124xxyx=，6 分 理科数学试题答案及评分参考第8页（共

16、13页）同理PB的方程为22224xxyx=，联立解得1212(,)24xxx xP+，7 分 依题意直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为3(2)yk x=，由24,3(2),xyyk x=得248120 xkxk+=，易知0，因此124xxk+=，12812x xk=，(2,23)Pkk，8 分 点P在直线1:30lxy=上，当|PQ取最小值时，即抛物线2:4C xy=上的动点Q到直线1l的距离最小，9 分 设200(,)4xQ x，则Q到1l的距离2220000|3|(1)2|(1)4222222xxxxd+=+，10 分 当02x=时，d取最小值2，此时(2,1)Q，11 分 易知过点

17、Q且垂直于1l的直线方程为3yx=+，由3,30,yxxy=+=解得(3,0)P，32k=，直线l的方程为32yx=，综上，点Q的坐标为(2,1)，直线l的方程为32yx=12 分（法二）设11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)P xy，由24xy=，2xy=，12PAxk=，直线PA的方程为111()2xyyxx=，即112xyxy=，同理PB的方程为222xyxy=，7 分 因为点P在切线PA，PB上，10012002,2,2xyxyxyxy=，11(,)A x y，22(,)B xy在直线002xyxy=上，直线l的方程为002xyxy=，8 分 又直线l的过点(2,3)，

18、003yx=，即点P在直线1:30lxy=上9 分 理科数学试题答案及评分参考第9页（共13页）以下同法一（法三）设00(,)P xy，显然两条切线的斜率均存在，可设过点P与C相切的直线方程为00()yyk xx=，且切线PA，PB的斜率分别为1k，2k，把00()yyk xx=与24xy=联立，并化简得，2004440 xkxkxy+=，200(4)4(44)0kkxy=，即2000kx ky+=，1k，2k是方程2000kx ky+=的两根，120kkx+=，1 20k ky=，7 分 此时2004440 xkxkxy+=的两根为12xk=或22xk=，即为切点A，B的横坐标，211(2,

19、)Ak k，222(2,)Bk k，22211221222lkkkkkkk+=，直线l的方程为21211(2)2kkykxk+=，即121 22kkyxk k+=，8 分 又直线l过点(2,3)M，则1212=3kkk k+，即00=3xy，点P在直线1:30lxy=上9 分 以下同法一【说明】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考察抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.21（本小题满分 12 分）已知函数()ee(1)=+xxf xaax(aR).（其中常数e=2.718 28，是自然对数的

20、底数）（1）求函数()f x的极值点；（2）若对于任意01a，关于x的不等式21()(e)af xa在区间(1,)+a上存在实数解，求实数的取值范围.解：（1）易知(e1)(e)()ee(1)e=+=xxxxxafxaa，1 分 当0a时，x(,0)0(0,)+()fx 0+()f x 极小值 函数()f x的极小值点为0=x，无极大值点；2 分 当01a时，理科数学试题答案及评分参考第10页（共13页）x(,ln)a lna(ln,0)a 0(0,)+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 函数()f x的极大值点为ln=xa，极小值点为0=x；3 分 当1=a时，2(e1)()0e=

21、xxfx，函数()f x单调递增，即()f x无极值点；4 分 当1a时，x(,0)0(0,ln)a lna(ln,)+a()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 函数()f x的极大值点为0=x，极小值点为ln=xa；5 分 综上所述，当0a时，函数()f x的极小值点为0=x，无极大值点；当01a时，函数()f x的极大值点为ln=xa，极小值点为0=x；当1=a时，函数()f x无极值点；当1a时，函数()f x的极大值点为0=x，极小值点为ln=xa.（2）以下需多次引用到如下不等式：e1xx+，当且仅当0=x时取等号，证明略.注意到当01a时，有ln10 aa.(法一)当01a时

22、，1e11+=aaa，ln10 aa，6 分(法二)令()ln1=+g aaa，则1()1=g aa，当01a时，()0g a，()(1)0=g ag，即1ln aa，显然10 a，ln10 aa，6 分 由（1）可知当01a时，()f x在区间(1,0)a上递减，在区间(0,)+上递增，()f x在区间(1,)+a上的最小值为(0)1=fa，关于x的不等式21()(e)af xa在区间(1,)+a上存在实数解，只需当01a时，关于a的不等式21(1)(e)aaa恒成立，8 分 由上易知当01a时，1e0aa，理科数学试题答案及评分参考第11页（共13页）只需当01a时，不等式21(1)eaa

23、a恒成立即可，9 分 令函数21(1)()e=xxF xx，01x，则1112(1)(3ee1)()(e)=xxxxxxF xx，(法一)令函数11()3ee1=xxG xxx，01x，则1()(2)e1=xG xx，当01x时，1e2xx，1(2)e1xx，()0G x，()(1)0=G xG，即()0G x，11 分(法二)令函数1()(3)e=xu xx，01x，则1()(2)e0=xu xx，(1)1=u，又(1)2=u，函数1()(3)e=xu xx在点(1,2)T处的切线方程为21=yx，即1yx=+，如图所示，易知1(3)e1+xxx，当且仅当1=x时取等号，当01x时，()0G

24、 x，11 分 当01x时，()0F x，()(0)e=F xF，即()eF x，当01a时，不等式2(1)eeaaa恒成立，只需e，综上，实数的取值范围为e,)+.12 分 【命题意图】本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性.22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos,sin,=xy（为参数），圆2C的方程为22(2)4xy+=，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为0=(0)（1）求曲线1C和圆

25、2C的极坐标方程；理科数学试题答案及评分参考第12页（共13页）（2）当002时，射线l与曲线1C和圆2C分别交于异于点O的M、N两点，若|2|ONOM=，求2MC N的面积 解：（1）由2cos,sin=xy，得1C的普通方程为2214xy+=，1 分 把cosx=，siny=代入，得22(cos)(sin)14+=，即222244cos4sin1 3sin=+，所以1C的极坐标方程为2241 3sin=+；3 分 由22(2)4xy+=，把cosx=，siny=代入，得4cos=，所以2C的极坐标方程为4cos=；5 分（2）把0=代入2241 3sin=+，得22041 3sin=+M，

26、把0=代入4cos=，得04cos=N，6 分 由|2|ONOM=，得2NM=，即224NM=，即202016(4cos)1 3sin=+，解得，7 分 202sin3=，201cos3=，又002，所以2042 3=13sin3=+M，04 34cos3=N，8 分 所以2MC N的面积222=MC NC NC MOOSSS 20112 362 2|()sin2=22333=NMOC 10 分【说明】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极坐标的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养考察考生的化归与转化能力 23.（本小

27、题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数1()|(1)f xxmxmm=+（1）当2m=时，求不等式()3f x 的解集；理科数学试题答案及评分参考第13页（共13页）（2）证明：1()3(1)f xm m+解：（1）当2m=时，1()|2|2f xxx=+，1 分 当12x 时，原不等式等价于1(2)()32xx+，解得34x ，2 分 当122x时，原不等式等价于532，不等式无解，3 分 当2x 时，原不等式等价于()12+32xx+，解得94x，4 分 综上，不等式()3f x 的解集为39(,)(,)44+；5 分（2）由题11()|f xxmxmmm=+，6 分 0m，11|mmmm+=+，1()f xmm+，当且仅当1,xmm 时等号成立 7 分 11111()(1)1(1)(1)11f xmmmm mmm mmm+=+=+，1m，10m，11(1)12(1)()1311mmmm+=，9 分 1()3(1)f xm m+，当2m=，且1,22x 时等号成立10 分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养