深圳市高三第二次调研考试理科数学试卷.pdf

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理科数学试题答案及评分参考第1页（共13页）2019年深圳市高三第二次调研考试理科数学试题答案及评分参考第卷一选择题1.A2.C3.D4.A5.B6.D7.A8.C9.A10.C11.B12.B二填空题：

13.214.2213xy=15.7216.100911.解析：

（）3sincos2sin（）6fxxxx=+=+，xR，令6tx=+，（）2sinfxt=.若函数（）fx恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,43上，也即函数2sinyt=恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,4636+上，3,24623,2362+，解得820,3314,，即843，的取值范围为8,4）3，故应选B12.解析：

（法一）补成长，宽，高分别为3,2,1的长方体（如下图），由于EF，故截面为平行四边形MNKL，可得5KLKN+=，设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsinsinHFBLKN=，算得26sin5=，sinMNKLSNKKLNKL=四边形2266（）522NKKL+=，当且仅当NKKL=时取等号，故应选B理科数学试题答案及评分参考第2页（共13页）（法二）（）12FEADFAFDAD=+uuruuuruuruuuruuur（）14BACABDCDAD=+uuruuruuuruuuruuur（）（）104BAADCDADCAADBDAD=+=uuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuurEFAD，同理可得EFBC，设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsinsinHFBLKN=，（）321BCADBAACADBAADACAD=+=+=+=uuuruuuruuruuuruuuruuruuuruuuruuurQ，1cos,5|BCADBCADBCAD=uuuruuuruuuruuuruuuruuur，26sin,sin5BCAD=uuuruuur，即26sin5NKL=，同法一可得6sin2MNKLSNKKLNKL=四边形，当且仅当NKKL=时取等号，故应选B16.解析：

1122nnnnnSSSSna+=，11122（）nnnnnnSSSSnSS+=，112（21）（21）nnnnSSnSnS=+，121212nnnnSS+=，令21nnnbS+=，则12nnbb=（2n），数列nb是以111331bSa=为首项，公差2d=的等差数列，21nbn=，即2121nnnS+=，2121nnSn+=，12521321321mmSSSmm+=+，由212019m+，解得1009m，即正整数m的最小值为1009，故应填1009三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤理科数学试题答案及评分参考第3页（共13页）17（本小题满分12分）已知ABC中，2ABBC=，25AC=，点D在边AC上，且2=ADCD，2=ABDCBD

（1）求ABC的大小；

（2）求ABC的面积解：

（1）（法一）依题意设22=ABDCBD，2=ADCD，25AC=，453AD=，253CD=，2分在BAD中，由正弦定理，可得sinsinABADADBABD=，sin3sin2sin45ABABDABADBAD=，4分同理，在BCD中，由正弦定理，可得sin3sinsin25BCCBDBCBDCCD=，6分BDCBDA+=，sinsin=BDCBDA，3sin23sin4525ABBC=，2ABBC=，2sincossin=，0，sin0，2cos2=，4=，334ABC=.8分

（2）在ABC中，由余弦定理，得2222cos3ACABACABBC=+，2223（25）

（2）22cos4BCBCBCBC=+，解得2BC=，10分2113sin32sin2224ABCSABBCBC=.12分（法二）2=ADCD，12=BDCBDASCDSAD，2分1sin2BDCSBCBD=，1sin22BDASABBD=，且2ABBC=，理科数学试题答案及评分参考第4页（共13页）2cos2=，即4=，334=+=ABCABDCBD，8分（以下同法一）【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，二倍角公式及三角形面积计算公式等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养18（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，以CE，CF为折痕将DFC和BCE折起，使点B、D重合于点P，连结PA，得到如图所示的四棱锥PAECF

（1）求证：

EFPC；

（2）求直线PA与平面PEC所成角的正弦值解析：

（1）（法一）证明：

连结EF，记AC与EF的交点为O，在正方形ABCD中，ABBC，ADCD，翻折后PCPE，PCPF，3分又PEPFP=，PC平面PEF，4分EF平面PEF，EFPC；5分（法二）证明：

连结EF，记AC与EF的交点为O，在正方形ABCD中，ACEF，BEDF=，O为EF的中点，翻折后，PEPF=，2分O是EF的中点，EFPO，而ACEF，PO与AC相交于O点，EF平面PAC，4分又PC平面PAC，EFPC；5分

（2）（法一）由

（1）可知OPC为直角三角形，2OP=，4PC=，32OC=，设P到AC的距离为h，2432h=，43h=，7分1114162433239PABCABCVSh=，142PCESPCPE=，设点A到平面PCE的距离为h，1433APCEACEVShh=，41639h=，解得4=3h，9分ABCDEFPO（第18题图）ABCDEFP理科数学试题答案及评分参考第5页（共13页）在RtPOC中，1cos3POPOCOC=，1cos3POA=，在POA中，222482cos9PAOAOPOPOAPOA=+=，433PA=，设PA与平面PEC所成角为，10分3sin3hPA=，11分直线PA与平面PEC所成角的正弦值为3312分（法二）连结AC，AC与EF交于O点，以OA，OE所在的直线分别为x，y轴，过O作垂直于面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有（2,0,0）A，（32,0,0）C，（0,2,0）E，6分过P作PGAC，在RtPOC中，2OP=，4PC=，32OC=，OPPCOCPG=，43PG=，2223OGOPPG=，24（0）33P，8分424（,0,）33PA=，24（,2,）33PE=，（32,2,0）CE=，思路1：

2PFPE=，22EF=，PFPE，9分显然PFPC，又PEPCP=，PF平面PEC，易知（0,2,0）F，平面PEC的一个法向量24（,2,）33PF=，10分设PA与平面PEC所成角为，则|3sin3|PAPFPAPF=，11分直线PA与平面PEC所成角的正弦值为3312分思路2：

设平面PEC的法向量为（,）xyz=n，ABCDEFPxyzO理科数学试题答案及评分参考第6页（共13页）00CEPE=nn，3220242033xyxyz+=+=，取1x=，则3y=，22z=，则（1,3,22）=n，10分设PA与平面PEC所成角为，则|3sin3|PAPA=nn，11分直线PA与平面PEC所成角的正弦值为3312分【说明】本题以翻折问题为载体考察空间中点，线，面的位置关系，异面直线垂直的判定，直线与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力19（本小题满分12分）某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y（单位：

千件）与月售价x（单位：

元/件）之间的关系，对近几年的月销售量iy和月销售价ix（1,2,3,10）i=数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：

（1）根据散点图判断，lnycdx=+与ybxa=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？

（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（2）利用

（1）中的结果回答问题：

已知该商品的月销售额为z（单位：

千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？

解：

（1）lnycdx=+更适宜销量y关于月销售价x的回归方程类型1分令lnux=，先建立y关于u的线性回归方程，由于1011021（）（）27.5410.202.70（）iiiiiyyuuduu=，月销售量/千件月售价/元10816201804122146024681210ABCDEFPxyzOG理科数学试题答案及评分参考第7页（共13页）6.610.201.7524.45cydu=+=，4分所以y关于u的线性回归方程为24.4510.20yu=，因此y关于x的回归方程为24.4510.20lnyx=.6分

（2）依题意得：

（24.4510.20ln）zxyxx=，7分（24.4510.20ln）14.2510.20lnzxyxxx=，8分令0z=，即14.2510.20ln0x=，解得ln1.40x，所以4.06x，10分当时（0,4.06）x，z递增，当（4.06,）x+时，z递减，故当4.06x=，即月销售量10.17=y（千件）时，月销售额预报值最大.12分【命题意图】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力20（本小题满分12分）已知抛物线2:

4Cxy=，过点（2,3）的直线l交C于A、B两点，抛物线C在点A、B处的切线交于点P

（1）当点A的横坐标为4时，求点P的坐标；

（2）设Q是抛物线C上的动点，当|PQ取最小值时，求点Q的坐标及直线l的方程解：

（1）点A的横坐标为4，（4,4）A，易知此时直线l的方程为122yx=+，1分联立24,12,2xyyx=+，解得2,1,xy=，或4,4,xy=，（2,1）B，2分由24xy=得2xy=，所以2PAk=，直线PA方程为24yx=，3分同理可得直线PB方程为1yx=，4分联立241=yxyx，可得12=xy，故点P的坐标为（1,2）.5分

（2）（法一）设11（,）4xAx，22（,）4xBx，由24xy=，2xy=，所以12PAxk=，所以直线PA的方程为2111（）42xxyxx=，即21124xxyx=，6分理科数学试题答案及评分参考第8页（共13页）同理PB的方程为22224xxyx=，联立解得1212（,）24xxxxP+，7分依题意直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为3

（2）ykx=，由24,3

（2）,xyykx=得248120xkxk+=，易知0，因此124xxk+=，12812xxk=，（2,23）Pkk，8分点P在直线1:

30lxy=上，当|PQ取最小值时，即抛物线2:

4Cxy=上的动点Q到直线1l的距离最小，9分设200（,）4xQx，则Q到1l的距离2220000|3|

（1）2|

（1）4222222xxxxd+=+，10分当02x=时，d取最小值2，此时（2,1）Q，11分易知过点Q且垂直于1l的直线方程为3yx=+，由3,30,yxxy=+=解得（3,0）P，32k=，直线l的方程为32yx=，综上，点Q的坐标为（2,1），直线l的方程为32yx=12分（法二）设11（,）Axy，22（,）Bxy，00（,）Pxy，由24xy=，2xy=，12PAxk=，直线PA的方程为111（）2xyyxx=，即112xyxy=，同理PB的方程为222xyxy=，7分因为点P在切线PA，PB上，10012002,2,2xyxyxyxy=，11（,）Axy，22（,）Bxy在直线002xyxy=上，直线l的方程为002xyxy=，8分又直线l的过点（2,3），003yx=，即点P在直线1:

30lxy=上9分理科数学试题答案及评分参考第9页（共13页）以下同法一（法三）设00（,）Pxy，显然两条切线的斜率均存在，可设过点P与C相切的直线方程为00（）yykxx=，且切线PA，PB的斜率分别为1k，2k，把00（）yykxx=与24xy=联立，并化简得，2004440xkxkxy+=，200（4）4（44）0kkxy=，即2000kxky+=，1k，2k是方程2000kxky+=的两根，120kkx+=，120kky=，7分此时2004440xkxkxy+=的两根为12xk=或22xk=，即为切点A，B的横坐标，211（2,）Akk，222（2,）Bkk，22211221222lkkkkkkk+=，直线l的方程为21211

（2）2kkykxk+=，即12122kkyxkk+=，8分又直线l过点（2,3）M，则1212=3kkkk+，即00=3xy，点P在直线1:

30lxy=上9分以下同法一【说明】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考察抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.21（本小题满分12分）已知函数（）ee

（1）=+xxfxaax（aR）.（其中常数e=2.71828，是自然对数的底数）

（1）求函数（）fx的极值点；

（2）若对于任意01a，关于x的不等式21（）（e）afxa在区间（1,）+a上存在实数解，求实数的取值范围.解：

（1）易知（e1）（e）（）ee

（1）e=+=xxxxxafxaa，1分当0a时，x（,0）0（0,）+（）fx0+（）fx极小值函数（）fx的极小值点为0=x，无极大值点；2分当01a时，理科数学试题答案及评分参考第10页（共13页）x（,ln）alna（ln,0）a0（0,）+（）fx+00+（）fx极大值极小值函数（）fx的极大值点为ln=xa，极小值点为0=x；3分当1=a时，2（e1）（）0e=xxfx，函数（）fx单调递增，即（）fx无极值点；4分当1a时，x（,0）0（0,ln）alna（ln,）+a（）fx+00+（）fx极大值极小值函数（）fx的极大值点为0=x，极小值点为ln=xa；5分综上所述，当0a时，函数（）fx的极小值点为0=x，无极大值点；当01a时，函数（）fx的极大值点为ln=xa，极小值点为0=x；当1=a时，函数（）fx无极值点；当1a时，函数（）fx的极大值点为0=x，极小值点为ln=xa.

（2）以下需多次引用到如下不等式：

e1xx+，当且仅当0=x时取等号，证明略.注意到当01a时，有ln10aa.（法一）当01a时，1e11+=aaa，ln10aa，6分（法二）令（）ln1=+gaaa，则1（）1=gaa，当01a时，（）0ga，（）

（1）0=gag，即1lnaa，显然10a，ln10aa，6分由

（1）可知当01a时，（）fx在区间（1,0）a上递减，在区间（0,）+上递增，（）fx在区间（1,）+a上的最小值为（0）1=fa，关于x的不等式21（）（e）afxa在区间（1,）+a上存在实数解，只需当01a时，关于a的不等式21

（1）（e）aaa恒成立，8分由上易知当01a时，1e0aa，理科数学试题答案及评分参考第11页（共13页）只需当01a时，不等式21

（1）eaaa恒成立即可，9分令函数21

（1）（）e=xxFxx，01x，则1112

（1）（3ee1）（）（e）=xxxxxxFxx，（法一）令函数11（）3ee1=xxGxxx，01x，则1（）

（2）e1=xGxx，当01x时，1e2xx，1

（2）e1xx，（）0Gx，（）

（1）0=GxG，即（）0Gx，11分（法二）令函数1（）（3）e=xuxx，01x，则1（）

（2）e0=xuxx，

（1）1=u，又

（1）2=u，函数1（）（3）e=xuxx在点（1,2）T处的切线方程为21=yx，即1yx=+，如图所示，易知1（3）e1+xxx，当且仅当1=x时取等号，当01x时，（）0Gx，11分当01x时，（）0Fx，（）（0）e=FxF，即（）eFx，当01a时，不等式2

（1）eeaaa恒成立，只需e，综上，实数的取值范围为e,）+.12分【命题意图】本题以基本初等函数、不等式问题为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有一定综合性.22（本小题满分10分）选修44：

坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos,sin,=xy（为参数），圆2C的方程为22

（2）4xy+=，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为0=（0）

（1）求曲线1C和圆2C的极坐标方程；理科数学试题答案及评分参考第12页（共13页）

（2）当002时，射线l与曲线1C和圆2C分别交于异于点O的M、N两点，若|2|ONOM=，求2MCN的面积解：

（1）由2cos,sin=xy，得1C的普通方程为2214xy+=，1分把cosx=，siny=代入，得22（cos）（sin）14+=，即222244cos4sin13sin=+，所以1C的极坐标方程为22413sin=+；3分由22

（2）4xy+=，把cosx=，siny=代入，得4cos=，所以2C的极坐标方程为4cos=；5分

（2）把0=代入22413sin=+，得220413sin=+M，把0=代入4cos=，得04cos=N，6分由|2|ONOM=，得2NM=，即224NM=，即202016（4cos）13sin=+，解得，7分202sin3=，201cos3=，又002，所以20423=13sin3=+M，0434cos3=N，8分所以2MCN的面积222=MCNCNCMOOSSS201123622|（）sin2=22333=NMOC10分【说明】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极坐标的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养考察考生的化归与转化能力23.（本小题满分10分）选修45：

不等式选讲已知函数1（）|

（1）fxxmxmm=+

（1）当2m=时，求不等式（）3fx的解集；理科数学试题答案及评分参考第13页（共13页）

（2）证明：

1（）3

（1）fxmm+解：

（1）当2m=时，1（）|2|2fxxx=+，1分当12x时，原不等式等价于1

（2）（）32xx+，解得34x，2分当122x时，原不等式等价于532，不等式无解，3分当2x时，原不等式等价于（）12+32xx+，解得94x，4分综上，不等式（）3fx的解集为39（,）（,）44+；5分

（2）由题11（）|fxxmxmmm=+，6分0m，11|mmmm+=+，1（）fxmm+，当且仅当1,xmm时等号成立7分11111（）

（1）1

（1）

（1）11fxmmmmmmmmmm+=+=+，1m，10m，11

（1）12

（1）（）1311mmmm+=，9分1（）3

（1）fxmm+，当2m=，且1,22x时等号成立10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养