韦达定理推广的证明.docx

1、韦达定理推广的证明韦达定理推广的证明证明：当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x(-b)/2a,不妨取x1(-b-)/2a,x2(-b+)/2a,则：x1+x2=(-b-)/2a+(-b+)/2a=-2b/2a=-b/a,x1*x2=(-b-)/2a(-b+)/2a=(-b)2-/4a2=4ac/4a2=c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA2014-11-04若b2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b2-4ac0 则方程没有实数解 韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一

2、个一元n次方程AiXi=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定

3、理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 另外这与射影定理是初中必须 射影定理图掌握的. 韦达定理推广的证明设x1，x2，xn是一元n次方程AiXi=0的n个解。 则有：An(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)(x-xn)=AiXi（在打开(x-x1)(x-x2)

4、(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(xi) A（n-2）=An(xixj) A0=(-1)n*An*Xi 所以：Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n) Xi=(-1)n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 有关韦达定理的经典例题例1 已知pq198，求方程x2pxq0的整数根 (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2由韦达定理，得 x1x2p，x1x2q 于是x1x2(x1x2)pq198， 即x1x2x1x21199 (x11)(x21)199 注意到x11、x

5、21均为整数， 解得x12，x2200；x1198，x20 例2 已知关于x的方程x2(12m)xm10的两个根都是正整数，求m的值 解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1x2由韦达定理得 x1x212m，x1x2m1 于是x1x2x1x211， 即(x11)(x21)12 x1、x2为正整数， 解得x11，x25；x12，x23 故有m6或7 例3 求实数k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整数 解：若k0，得x1，即k0符合要求 若k0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得 x1x2x1x22， (x11)(x21)3 因为x11、x21均为整数，所以 例4 已知二次函数yx2pxq的图像与x轴交于(，0)、(，0)两点，且1，求证：pq1 (97四川省初中数学竞赛试题) 证明：由题意，可知方程x2pxq0的两根为、由韦达定理得 p，q 于是pq， (1)1 (1)(1)11(因1)映射定理正玄定理与余弦定理