韦达定理推广的证明.docx
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韦达定理推广的证明
韦达定理推广的证明
证明：
当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程
ax^2+bx+c=0（a≠0）
有两个实根,设为x1,x2.
由求根公式x＝（-b±√Δ）/2a,不妨取
x1＝（-b-√Δ）/2a,x2＝（-b+√Δ）/2a,
则：
x1+x2
=（-b-√Δ）/2a+（-b+√Δ）/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1*x2=[（-b-√Δ）/2a][（-b+√Δ）/2a]
=[（-b）^2-Δ]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.
烽火TA000DA 2014-11-04
若b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac<0则方程没有实数解
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=（-1）^1*A（n-1）/A（n）
∑XiXj=（-1）^2*A（n-2）/A（n）
…
ΠXi=（-1）^n*A（0）/A（n）
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：
任何一元n次方程
在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
（3）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2-（x1+x2）x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解（公式法）
在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．
另外这与射影定理是初中必须
射影定理图
掌握的.
韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：
An（x-x1）（x-x2）……（x-xn）=0
所以：
An（x-x1）（x-x2）……（x-xn）=∑AiX^i （在打开（x-x1）（x-x2）……（x-xn）时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An（∑xi）
A（n-2）=An（∑xixj）
…
A0==（-1）^n*An*ΠXi
所以：
∑Xi=（-1）^1*A（n-1）/A（n）
∑XiXj=（-1）^2*A（n-2）/A（n）
…
ΠXi=（-1）^n*A（0）/A（n）
其中∑是求和，Π是求积。
有关韦达定理的经典例题
例1已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．
（’94祖冲之杯数学邀请赛试题）
解：
设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得
x1＋x2＝－p，x1x2＝q．
于是x1x2－（x1＋x2）＝p＋q＝198，
即x1x2－x1－x2＋1＝199．
∴（x1－1）（x2－1）＝199．
注意到x1－1、x2－1均为整数，
解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．
例2已知关于x的方程x2－（12－m）x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．
解：
设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．
于是x1x2＋x1＋x2＝11，
即（x1＋1）（x2＋1）＝12．
∵x1、x2为正整数，
解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．
故有m＝6或7．
例3求实数k，使得方程kx2＋（k＋1）x＋（k－1）＝0的根都是整数．
解：
若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．
若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得
∴x1x2－x1－x2＝2，
（x1－1）（x2－1）＝3．
因为x1－1、x2－1均为整数，所以
例4已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于（α，0）、（β，0）两点，且α＞1＞β，求证：
p＋q＞1．
（’97四川省初中数学竞赛试题）
证明：
由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得
α＋β＝p，αβ＝－q．
于是p＋q＝α＋β－αβ，
＝－（αβ－α－β＋1）＋1
＝－（α－1）（β－1）＋1＞1（因α＞1＞β）．
映射定理
正玄定理与余弦定理
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