第21章一元二次方程.docx

1、第21章一元二次方程黄冈中学广州学校教学案年级九（ ）学科数学姓名编号1课题22.1 一元二次方程（1）目标1理解一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式；3.会把一个一元二次方程化为一般形式；4.会判断一元二次方程的项及系数.重点难点重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点： 一元二次方程及其有关概念.教、学材料学习过程一 自主学习1、 只含有 ，并且 ，叫一元二次方程.2、 一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项是 ，二次项系数是 ；一次项是 ，一次项系数是 ；常数项是 .二 合作探究【知识点1】 一元二次方程的概念.例1 自学课本2页问题1、问题2，并完成下列

2、各题：问题1可列方程 整理得 问题2可列方程 整理得 【针对练习1】下列方程： 其中是一元二次方程的有： （填序号）【知识点2】 一元二次方程的一般形式.例2 将方程2x(x1)=3(x5)4.化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项. 解：【针对练习2】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2x=2； （2）7x3=2x2;（3）(2x1)3x(x2)=0 三 综合练习1（）1、判断下列方程是否是一元二次方程（1）（ ）（2） ( )(3) （ ） (4) ( )2（）将方程化成一元二次方程的

3、一般形式为 它的常数项为 ，二次项为 ，一次项系数为 .3（）要使关于x的方程：是一元二次方程，则k=_若该方程是一元一次方程，则k= .四 课堂检测（每小题20分，共100分）1关于x的方程（8m+17）x2+2mx+1=0是一元二次方程时，则m= 2将（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式是 3有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形.如果假设剪后的正方形边长为x米，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意得：_ 整理成一般形式 4试写出一个一元二次方程，它的二次项系数为，一次项系数为-3，常数项为15，这个方程

4、是 .5求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程黄冈中学广州学校教学案年级九（ ）学科数学姓名编号2课题一元二次方程（2）目标1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根 2.利用它们解决一些具体问题重点难点学习重点：判定一个数是否是一元二次方程的根；学习难点：运用一元二次方程根的概念解决相关问题教、学材料学习过程一、自主学习使一元二次方程两边 的 叫做一元二次方程的解（也叫根）.二、合作探究【知识点1】一元二次方程的根的概念. 例1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2

5、，3，4【针对练习1】方程x2-x-c=0有一个解是3，则c= 【知识点2】方程根的灵活运用例2. 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2015(a+b+c)的值解：【针对练习1】 关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值三、综合练习1（）你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=02（）方程x（x-1）=2的两根为（ ） Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2= -1 Cx1=1，x2=2 Dx1= -1，x2=23（）已知x= -1是方程ax2+b

6、x+c=0的根（b0），则=（ ） A1 B-1 C0 D2四 当堂检测（每小题20分，共100分）1方程x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_2已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_3如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值4. 请解答这个问题：印度一本书中有这样的一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴来游戏，八分之一（总猴子数）再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起。”（列出方程即可）5.已知一元二次方程：-2x2-x+3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是a、b、c，求的值.黄冈

7、中学广州学校教学案年级九（ ）学科数学姓名编号3课题2121配方法直接开平方法目标1、会用直接开平方法解形如=p(p0)或（mx+n）=p(p 0,m0)的方程；2、通过解一元二次方程，体会转化的思想方法重点难点重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤. 难点：理解并运用直接开平方法解特殊的一元二次方程.教、学材料 学习过程 一 自主学习1.若x2=9,则x= . 2.若x2=a(a0),则x= .3.关于x的方程（mx+n）=p (p 0，m0)，的解为： 4.解一元二次方程的思想是 .二 合作探究【知识点1】 解形如x2=a (a0)的方程例1解下列方程：（1）x220; （2）16x

8、2250.解：【针对练习1】 解方程：3x2-1=5【知识点2】 解形如（mx+n）=p (p 0) 的方程例2 解方程（x1）240； 解：【针对练习2】解方程12（2x）290.三 综合练习1.（）方程45x20的解为： .2.（）方程（t2）（t +2）=0 的解为： .3.（）解方程x2+2x+1=16四 课堂检测（每小题20分，满分100分）1方程x2169的解为 2方程3x2-=0的解为 3. 解方程 9x2+6x+1=44. 求双曲线与直线y=2x的交点坐标.5. 在实数范围内定义运算“”，其法则为ab=a2-b2,试求方程（43）x=24的解. 黄冈中学广州学校教学案年级九（

9、）学科数学姓名编号4课题2121配方法（2）目标1.了解配方法的概念，掌握配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想.重点难点学习重点：用配方法解一元二次方程；学习难点：配方的过程.教、学材料学习过程 一 自主学习 1.在下列各式中的括号里填上适当的数，使其变为完全平方式.（1）x26x（ ）（x ）2；（2）x28x（ ）（x ）2；（3）x2x（ ）（x ）2；2.（自学P6-7）我们把方程x2+6x40变形为(x+3)25，它的左边是一个含有未知数的 式，右边是一个 数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.3.试总结配方的步骤： 二 合作探究【知识

10、点1】 配方法的步骤 例1. 用配方法解方程x26x70解：【针对练习1】 用配方法解方程 2x213x解：三 综合练习1.（）设x2+8x+6=(x+b)2+c，则c的值为 . 2.（）用配方法解下列方程： 3.（）解方程 x(x+4)=8x+12四 课堂检测（每小题20分，满分100分）1. 方程x2+2x30的解为 2. 2. 方程3x+6x-4=0的解为 3. 解方程x2+4x-9=2x-114.解方程（1+x）2+2（1+x）-4=05.把代数式x2-2x-3化为(x-m)2+k的形式，期中m、k为常数，则m+k= 黄冈中学广州学校教学案班级学科使用者编号5课题22.2.2 公式法目

11、标1、 经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，培养学生的逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法.重点难点重点：用公式法解简单系数的一元二次方程难点：推导求根公式的过程教学材料感悟和批注学习过程一 自主学习一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式是： 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.二 合作探究【知识点1】求根公式的推导例1. 用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)【针对练习1】 . 试推导方程x2pxq0的求根公式.【知识点2】 求根公式的运用例2，

12、用公式法解方程2 x2+x-6=0【针对练习2】用公式法解方程5x24x12三 综合练习1.（）方程2x-3x+1=0中，a= ,b= ,c= 2.（）应用公式法解下列方程: x24x2；3.（）应用公式法解下列方程4x24x1018x.四 课堂检测（每小题20分，共100分）应用公式法解方程：1 x26x10； 2. 2x2x+76；3. 4x23x1x2； 4. （x-2）（x+5）8.5. 3x(x3) 2(x1) 黄冈中学广州学校教学案班级学科使用者编号6课题一元二次方程的根的判别式目标掌握一元二次方程根的判别式及其应用.重点难点学习重点：根的判别式的应用学习难点：判别式的灵活运用教学

13、材料学习过程一 自主学习一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式是： ，该方程有实数根的条件是 ；有不相等的两个实数根的条件是 ；有相等的两个实数根的条件是 ；没有实数根的条件是 .二 合作探究【知识点1】 一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式的初步运用.例3.已知关于x的方程3x2-2x-2m=0，分别求出符合下列条件的m的取值范围.（1）有不相等的两个实数根；（2）有相等的两个实数根；（3）没有实数根； 【针对练习1】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=3时，求方程的根.三 综合练习1.（）（2012广西河池）一元二次

14、方程的根的情况是【 】A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D无实数根2.（）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【 】 A. B. C. D. 3.（）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】Ak Bk且k0 Ck Dk且k0四、课堂检测（每小题20分，满分100分）1. 一元二次方程x2+x+1/4=0的根的情况是【 】 A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定2.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值是 3.当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？4.若函数与一次

15、函数的图像没有交点，试求k的取值范围.5、（2012湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根。黄冈中学广州学校教学案班级学科使用者编号7课题22.2.3 因式分解法目标1会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程.2能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.重点难点重点：应用分解因式法解一元二次方程难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.教学材料学习过程一 自主学习1将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2-b2= ; a22ab+b2= ；x2-(p+q

16、)x+pq= 2.因式分解的方法有： 3.（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 的形式，再使_，从而实现_，这种解法叫做_.（2）如果，那么或，这是因式分解法的根据.如：如果，那么或 ，即或_.二 合作探究【知识点1】 例1 用因式分解法解一元二次方程 (1) (2) （3） (4) 【针对练习1】用因式分解法解下列方程：(1) x2-47x=0 (2) 4x2-49=0 三 综合练习1.（）用因式分解法解方程x2-2x=0 2.（）用因式分解法解方程3x(2x+1)=4x2-13.（）方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）A-1，2 B1，-2 C0，-1，2 D0，1，2四 课

17、堂检测（每小题20分，共100分）1方程的根是 .2若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A（x+5）（x-7）=0 B（x-5）（x+7）=0C（x+5）（x+7）=0 D（x-5）（x-7）=03方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1x2，则x1-2x2的值等于_ _4用因式分解法解方程(1) (2) 5如果，则的值为_ _黄冈中学广州学校教学案班级学科使用者编号8课题22.2.4一元二次方程的根与系数的关系目标1 理解并掌握根与系数关系：，；2 会用根与系数的关系解题.重点难点学习重点：理解并掌握根与系数的关系. 学习难点：会用根与系数的关系解题

18、.教学材料一 自主学习 1.完成下列表格方 程x1x2x1+x2x1x22x2-3x-2=023x2-4x+1=01仔细观察上表，思考一元二次方程两个根与系数的关系.2.由上题的结论，猜想ax2+bx+c=0(a0)的两根x1,x2与系数a、b、c的关系 .用语言表述为： 二 合作探究【知识点1】一元二次方程的根与系数的关系.例 1.利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）ax2+bx+c=0(a0)的两根x1= , x2= (前提条件是 )，计算下列两式的值（1）x1+x2= （2） x1x2=【针对练习1 】根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： x

19、2-3x-1=0 2x2+3x=5 解：三 综合练习1.（）方程2x2-3x-1=0的两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2= 2.（）已知方程2x2+kx-9=0的一个根是 -3 ，求另一根及k的值.3.（）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： x2-5x-10=0 2x2+7x+1=0 3x2-1=2x+5 x（x-1）=3x+7四 课堂检测（每小题20分，满分100分） 1若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0，那么正确的是（ ）A p=q=0 B P=0,q0 C p0,q=0 D p0, q02两根均为负数的一元二次方程是 （ ）A. 7x2-12x+5=0 B.

20、6x2-13x-5=0 C. 4x2+21x+5=0 D. x2+15x-8=03不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1） (x+1）（x-1）=2x+5 （2）x（x-1）=3x+74若x1,x2是方程x2-2 x-1=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值为 5在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p= ，q= 黄冈中学广州学校教学案年级九（ ）学科数学姓名编号9课题223 实际问题与一元二次方程(1)目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题重点难点重点：用“倍数关

21、系”建立数学模型.难点：用“倍数关系”建立数学模型.教、学材料学习过程 一 自主学习用方程解应用题的步骤有:审题， ， ，解方程，检验作答.二 合作探究【知识点1】 应用一元二次方程解应用题例1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 人患了流感,第二轮后共有 人患了流感.列方程得 ,整理的 ，解方程,得 x1= ， x2= 根据问题的实际意义,x= 答:每轮传染中平均一个人传染了 个人. 经三轮传染后有 人.【针对练习1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感,每轮传染中平均一个人

22、传染了几个人? 经三轮传染后有多少人患流感?解：三 综合练习1（） 用适当的方法解方程.（1）x2+x-12=0 (2)x2-2x-0.25=02（）.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?3（） 两个相邻偶数的积是168，求这两个数.四 课堂检测（30+35+35，满分100分） 1 . 一个菱形的两条对角线长的和是14厘米，面积是24平方厘米，求菱形的周长.2（2013江苏）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片全班有多少人？3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样

23、数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,黄冈中学广州学校教学案年级九（ ）学科数学姓名编号10课题223 实际问题与一元二次方程(2)目标1、进一步熟悉列一元二次方程解应用题的一般步骤；2、通过解决增长率（降低率）问题体会一元二次方程的应用.重点难点学习重点：增长率类问题的方程模型.学习难点：方程模型的建立.教、学材料学习过程 一 自主学习平均增长（降低）率问题：设最初基数为a，平均增长率为x， 设最初基数为a，平均降低率为x，则一次增长后的值为 ， 则一次降低后的值为 ，二次增长后的值为 ， 二次降低后的值为 ，三次增长后的值为 ，

24、 三次降低后的值为 ，n次增长后的值为 . n次降低后的值为 .二 合作探究【知识点1】 增长率类的问题求解.例1、两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为 元,两年后甲种药品成本为 元,依题意得 解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.针对练习 上例中算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率.三 综合练习1（）某

25、工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）解：2（）一种药品经两次降价，由每盒60元降至52元，记平均每次降价分率是x，那么可以列方程为 .3（）某网站由于采用新技术，对设备进行两次更新，由原来同时可有4万台电脑上网，到现在可以同时有6.76万台电脑上网，求网站的两次设备更新中平均使上网率增长的百分数.四课堂检测1.某校对2010届毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖.设这两年中获奖人次的平均年增长率为.则所列方程为（ ） A、 B、

26、C、 D、2.某药品经两次降价，零售价降为原来的64%。已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率。3.某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.黄冈中学广州学校教学案年级九（ ）学科数学姓名编号11课题223 实际问题与一元二次方程(3)目标掌握面积，利润问题用一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题重点难点学习重点：建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题学习难点：量与量之间的关系教、学材料学习过程1、自主学习：略二、合作探究 问题一某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ 问题二 如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？三、综合练习2（）如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹