第21章一元二次方程.docx
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第21章一元二次方程
黄冈中学广州学校教学案
年级
九（）
学科
数学
姓名
编号
1
课题
22.1一元二次方程
（1）
目标
1理解一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式；3.会把一个一元二次方程化为一般形式；4.会判断一元二次方程的项及系数.
重点难点
重点：
由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.
难点：
一元二次方程及其有关概念.
教、学材料
学习过程
一自主学习
1、只含有，并且，叫一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式是，其中二次项是，二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是.
二合作探究
【知识点1】一元二次方程的概念.
例1自学课本2页问题1、问题2，并完成下列各题：
问题1可列方程整理得
问题2可列方程整理得
【针对练习1】下列方程：
其中是一元二次方程的有：
（填序号）
【知识点2】一元二次方程的一般形式.
例2将方程2x（x－1）=3（x＋5）－4.化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项.
解：
【针对练习2】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；
（2）7x－3=2x2;
（3）（2x－1）－3x（x－2）=0
三综合练习
1（☆）1、判断下列方程是否是一元二次方程
（1）
（）
（2）
（）
（3）
（）（4）
（）
2（☆☆）将方程
化成一元二次方程的一般形式为
它的常数项为，二次项为，一次项系数为.
3（☆☆☆）要使关于x的方程：
是一元二次方程，则k=_______若该方程是一元一次方程，则k=.
四课堂检测（每小题20分，共100分）
1．关于x的方程（8m+17）x2+2mx+1=0是一元二次方程时，则m=
2．将（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式是．
3．有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形.如果假设剪后的正方形边长为x米，那么原来长方形长是______，宽是_____，根据题意得：
____．整理成一般形式
4．试写出一个一元二次方程，它的二次项系数为
，一次项系数为-3，常数项为15，这个方程是.
5．求证：
关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
黄冈中学广州学校教学案
年级
九（）
学科
数学
姓名
编号
2
课题
一元二次方程
（2）．
目标
1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根2.利用它们解决一些具体问题．
重点难点
学习重点：
判定一个数是否是一元二次方程的根；
学习难点：
运用一元二次方程根的概念解决相关问题．
教、学材料
学习过程
一、自主学习
使一元二次方程两边的叫做一元二次方程的解（也叫根）.
二、合作探究
【知识点1】一元二次方程的根的概念.
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
【针对练习1】方程x2-x-c=0有一个解是3，则c=
【知识点2】方程根的灵活运用
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2015（a+b+c）的值
解：
【针对练习1】关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
三、综合练习
1（☆）你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0
2（☆☆）方程x（x-1）=2的两根为（）．
A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2
3（☆☆☆）已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则
=（）．
A．1B．-1C．0D．2
四当堂检测（每小题20分，共100分）
1．方程x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
3．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
4.请解答这个问题：
印度一本书中有这样的一首诗：
“一群猴子分两队，高高兴兴来游戏，八分之一（总猴子数）再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。
告我总数有多少，两队猴子在一起。
”（列出方程即可）
5.已知一元二次方程：
-2x2-
x+3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是a、b、c，求
的值.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九（）
学科
数学
姓名
编号
3
课题
21．2．1配方法——直接开平方法
目标
1、会用直接开平方法解形如
=p（p≥0）或（mx+n）
=p（p≥0,m≠0）的方程；2、通过解一元二次方程，体会转化的思想方法
重点难点
重点：
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤.
难点：
理解并运用直接开平方法解特殊的一元二次方程.
教、学材料
学习过程
一自主学习
1.若x2=9,则x=.
2.若x2=a（a≥0）,则x=.
3.关于x的方程（mx+n）
=p（p≥0，m≠0），的解为：
4.解一元二次方程的思想是.
二合作探究
【知识点1】解形如x2=a（a≥0）的方程
例1解下列方程：
（1）x2－2＝0;
（2）16x2－25＝0.
解：
【针对练习1】解方程：
3x2-1=5
【知识点2】解形如（mx+n）
=p（p≥0）的方程
例2解方程（x＋1）2－4＝0；
解：
【针对练习2】解方程12（2－x）2－9＝0.
三综合练习
1.（☆）方程45－x2＝0的解为：
.
2.（☆☆）方程（t－2）（t+2）=0的解为：
.
3.（☆☆☆）解方程x2+2x+1=16
四课堂检测（每小题20分，满分100分）
1．方程x2＝169的解为
2．方程3x2-
=0的解为
3.解方程9x2+6x+1=4
4.求双曲线
与直线y=2x的交点坐标.
5.在实数范围内定义运算“＆”，其法则为a＆b=a2-b2,试求方程（4＆3）＆x=24的解.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九（）
学科
数学
姓名
编号
4
课题
21．2．1配方法
（2）
目标
1.了解配方法的概念，掌握配方法解一元二次方程的步骤，体会转化的数学思想.
重点难点
学习重点：
用配方法解一元二次方程；
学习难点：
配方的过程.
教、学材料
学习过程
一自主学习
1.在下列各式中的括号里填上适当的数，使其变为完全平方式.
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋
x＋（）＝（x＋）2；
2.（自学P6-7）我们把方程x2+6x＋4＝0变形为（x+3）2＝5，它的左边是一个含有未知数的式，右边是一个数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
3.试总结配方的步骤：
二合作探究
【知识点1】配方法的步骤
例1.用配方法解方程x2－6x－7＝0
解：
【针对练习1】用配方法解方程2x2＋1＝3x
解：
三综合练习
1.（☆）设x2+8x+6=（x+b）2+c，则c的值为.
2.（☆☆）用配方法解下列方程：
3.（☆☆☆）解方程x（x+4）=8x+12
四课堂检测（每小题20分，满分100分）
1.方程x2+2x－3＝0的解为
2.2.方程3x²+6x-4=0的解为
3.解方程x2+4x-9=2x-11
4.解方程（1+x）2+2（1+x）-4=0
5.把代数式x2-2x-3化为（x-m）2+k的形式，期中m、k为常数，则m+k=
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班级
学科
使用者
编号
5
课题
22.2.2公式法
目标
1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，培养学生的逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法.
重点难点
重点：
用公式法解简单系数的一元二次方程
难点：
推导求根公式的过程
教学材料
感悟和批注
学习过程
一自主学习
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是：
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
二合作探究
【知识点1】求根公式的推导
例1.用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
【针对练习1】.试推导方程x2＋px＋q＝0的求根公式.
【知识点2】求根公式的运用
例2，用公式法解方程2x2+x-6=0
【针对练习2】用公式法解方程5x2－4x＝12
三综合练习
1.（☆）方程2x
-3x+1=0中，a=,b=,c=
2.（☆☆）应用公式法解下列方程:
x2＋4x＝2；
3.（☆☆☆）应用公式法解下列方程4x2＋4x＋10＝1－8x.
四课堂检测（每小题20分，共100分）
应用公式法解方程：
1．x2－6x＋1＝0；2.2x2－x+7＝6；
3.4x2－3x－1＝x－2；4.（x-2）（x+5）＝8.
5.3x（x－3）＝2（x－1）
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班级
学科
使用者
编号
6
课题
一元二次方程的根的判别式
目标
掌握一元二次方程根的判别式及其应用.
重点难点
学习重点：
根的判别式的应用
学习难点：
判别式的灵活运用
教学材料
学习过程
一自主学习
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是：
，该方程有实数根的条件是；有不相等的两个实数根的条件是；有相等的两个实数根的条件是；没有实数根的条件是.
二合作探究
【知识点1】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式的初步运用.
例3.已知关于x的方程3x2-2x-2m=0，分别求出符合下列条件的m的取值范围.
（1）有不相等的两个实数根；
（2）有相等的两个实数根；（3）没有实数根；
【针对练习1】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=﹣3时，求方程的根.
三综合练习
1.（☆）（2012广西河池）一元二次方程
的根的情况是【】
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
2.（☆☆）若一元二次方程
有实数解，则m的取值范围是【】A.
B.
C.
D.
3.（☆☆☆）如果关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【】
A．k＜
B．k＜
且k≠0
C．﹣
≤k＜
D．﹣
≤k＜
且k≠0
四、课堂检测（每小题20分，满分100分）
1.一元二次方程x2+x+1/4=0的根的情况是【】
A、有两个不等的实数根B、有两个相等的实数根
C、无实数根D、无法确定
2.若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则
的值是
3.当t取什么值时，关于
的一元二次方程2
2+t
+2=0有两个相等的实数根？
4.若函数
与一次函数
的图像没有交点，试求k的取值范围.
5、（2012湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1＝0．
求证：
无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根。
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班级
学科
使用者
编号
7
课题
22.2.3因式分解法
目标
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
重点难点
重点：
应用分解因式法解一元二次方程
难点：
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
教学材料
学习过程
一自主学习
1将下列各题因式分解
am+bm+cm=;a2-b2=;
a2±2ab+b2=；x2-（p+q）x+pq=
2.因式分解的方法有：
3.
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为的形式，再使_________________________，从而实现_____，这种解法叫做__________________.
（2）如果
，那么
或
，这是因式分解法的根据.如：
如果
，那么
或，即
或________.
二合作探究
【知识点1】
例1用因式分解法解一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【针对练习1】用因式分解法解下列方程：
（1）x2-47x=0
（2）4x2-49=0
三综合练习1.（☆）用因式分解法解方程x2-2
x=0
2.（☆☆）用因式分解法解方程3x（2x+1）=4x2-1
3.（☆☆☆）方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）
A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，2
四课堂检测（每小题20分，共100分）
1．方程
的根是.
2．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）
A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=0
3．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___
4．用因式分解法解方程
（1）
（2）
5．如果
，则
的值为_________________
黄冈中学广州学校教学案
班级
学科
使用者
编号
8
课题
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
目标
1．理解并掌握根与系数关系：
，
；
2．会用根与系数的关系解题.
重点难点
学习重点：
理解并掌握根与系数的关系.
学习难点：
会用根与系数的关系解题.
教学材料
一自主学习
1.完成下列表格
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
2x2-3x-2=0
2
3x2-4x+1=0
1
仔细观察上表，思考一元二次方程两个根与系数的关系.
2.由上题的结论，猜想ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1,x2与系数a、b、c的关系.
用语言表述为：
二合作探究
【知识点1】一元二次方程的根与系数的关系.
例1.利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1=,x2=
（前提条件是），计算下列两式的值
（1）x1+x2=
（2）x1x2=
【针对练习1】根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
⑴x2-3x-1=0⑵2x2+3x=5⑶
解：
三综合练习
1.（☆）方程2x2-3x-1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=
2.（☆☆）已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.
3.（☆☆☆）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
⑴x2-5x-10=0⑵2x2+7x+1=0
⑶3x2-1=2x+5⑷x（x-1）=3x+7
四课堂检测（每小题20分，满分100分）
1．若方程x2+px+q=0的两根中只有一个为0，那么正确的是（）
Ap=q=0BP=0,q≠0Cp≠0,q=0Dp≠0,q≠0
2两根均为负数的一元二次方程是（）
A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0
3不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）（x+1）（x-1）=2x+5
（2）x（x-1）=3x+7
4若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,则（x1+1）（x2+1）的值为
5在解方程x2+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=，q=
黄冈中学广州学校教学案
年级
九（）
学科
数学
姓名
编号
9
课题
22．3实际问题与一元二次方程
（1）
目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
重点难点
重点：
用“倍数关系”建立数学模型.
难点：
用“倍数关系”建立数学模型.
教、学材料
学习过程
一自主学习
用方程解应用题的步骤有:
①审题，②，③，④解方程，⑤检验作答.
二合作探究
【知识点1】应用一元二次方程解应用题
例1有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有人患了流感,第二轮后共有人患了流感.列方程得,整理的，
解方程,得x1=，x2=
根据问题的实际意义,x=
答:
每轮传染中平均一个人传染了个人.经三轮传染后有人.
【针对练习1】有一人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
经三轮传染后有多少人患流感?
解：
三综合练习
1（☆）用适当的方法解方程.
（1）x2+x-12=0
（2）x2-2x-0.25=0
2（☆☆）.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
3（☆☆☆）两个相邻偶数的积是168，求这两个数.
四课堂检测（30+35+35，满分100分）
1.一个菱形的两条对角线长的和是14厘米，面积是24平方厘米，求菱形的周长.
2．（2013江苏）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．全班有多少人？
3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:
设每个支干长出x个小分支,
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学科
数学
姓名
编号
10
课题
22．3实际问题与一元二次方程
（2）
目标
1、进一步熟悉列一元二次方程解应用题的一般步骤；2、通过解决增长率（降低率）问题体会一元二次方程的应用.
重点难点
学习重点：
增长率类问题的方程模型.
学习难点：
方程模型的建立.
教、学材料
学习过程
一自主学习
平均增长（降低）率问题：
设最初基数为a，平均增长率为x，设最初基数为a，平均降低率为x，
则一次增长后的值为，则一次降低后的值为，
二次增长后的值为，二次降低后的值为，
三次增长后的值为，三次降低后的值为，
n次增长后的值为.n次降低后的值为.
二合作探究
【知识点1】增长率类的问题求解.
例1、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
解:
设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,依题意得
解方程,得
答:
甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
针对练习上例中算一算:
乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较:
两种药品成本的年平均下降率.
三综合练习
1（☆）某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
（精确到0.1%）
解：
2（☆☆）一种药品经两次降价，由每盒60元降至52元，记平均每次降价分率是x，那么可以列方程为.
3（☆☆☆）某网站由于采用新技术，对设备进行两次更新，由原来同时可有4万台电脑上网，到现在可以同时有6.76万台电脑上网，求网站的两次设备更新中平均使上网率增长的百分数.
四课堂检测
1.某校对2010届毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖.设这两年中获奖人次的平均年增长率为
.则所列方程为（）
A、
B、
C、
D、
2.某药品经两次降价，零售价降为原来的64%。
已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率。
3.某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.
黄冈中学广州学校教学案
年级
九（）
学科
数学
姓名
编号
11
课题
22．3实际问题与一元二次方程（3）
目标
掌握面积，利润问题用一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
重点难点
学习重点：
建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
学习难点：
量与量之间的关系
教、学材料
学习过程
1、自主学习：
略
二、合作探究
问题一某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
问题二如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？
三、综合练习
2（☆☆）如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹
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