微积分试题集.docx

1、微积分试题集微积分试题集一季一、计算下列极限：（每题5分，共10分）4.若Xr 0时,1 k x2 -1与xsin x是等价无穷小，求常数k的值.二、导数与微分：（每题5分，共25分）sin x1.设 y = X ,求 dyx.22求由方程xy ey =ex所确定的曲线y二y（x）在x = 0处的切线方程3利用微分近似计算，求3 8.024的近似值.三、计算下列各题：(每小题8分，共16分)1.设某商品的价格P与需求量Q的关系为Q =80 - P2,四、证明题：(每小题5分，共10分)1.当 x 0 时,证明：(1 x)ln(1 x) - arctanx.f (x)2设f (x)连续且lim8

2、，试证明x = a是f (x)的极小值点。x a二季、填空题(每小题 4分，本题共20 分)1.函数f(x) - 4_x2的定义域是In (x + 2)2.若函数f (x)=xsin；+- x=,在x=o处连续，则k= k,3. 曲线y = .x在点(-,1)处的切线方程是 .4.(sinx) dx 二 .3 55. 微分方程(y)4xy” = y sin x的阶数为 .二、单项选择题(每小题 4分，本题共20分)1设 f (x 1) = x2 -1，则 f (x)二( )2A. x(x 1) B . x2c. x(x -2) d . (x 2)(x -1)2.若函数f (x)在点x处可导，则

3、( )是错误的.A .函数f (x)在点x0处有定义 b . lim f (x) = A，但A f(X。)23.函数y二 (X +)在区间(一2,2)是()A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D .先减后增4 xf (x)dx =( )A. Xf(X)- f(X) C B. xf (x) C1C. X2 f (X) C D. (X 1)f (X) C25.下列微分方程中为可分离变量方程的是( )A.翌二 X y ; b.色二 xy y ；dx dxdy dy / 、c. xy sin x ； d. x(y x)三、计算题（本题共 44分，每小题11 分）2.设 y = 2x sin3x,

4、求 dy .3.计算不定积分 x cos xdxel 亠 5ln x计算定积分.1 hdx四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为 32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?微积分初步期末试题选(一)1 .填空题 (3)函数 f (x 2) = x 4x 7,则 f (x) 口2 (5)函数 f (x -1) = x -2x，则 f (x) = (8)若 lim sin 4x = 2，贝U k = x)0 sin kx2.单项选择题、-X eX e(1)设函数y =，则该函数是().2A .奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D .既奇又偶函数(2)下列函数中为奇函数是().a .

5、 xsin xB .丄 Xe eC .In (x、1 x2)D . X X2x(3)函数y ln(x 5)的定义域为( ).x +4a. x -5 B . x _4 C . x 且 x = 0 D . x 且 xn-42(4)设 f(X 1) =X2 -1，则 f(X)二()(5)时,函数f (x)B.c. 2(6)时,函数f(x)A. 0B.(7)函数f(x)x3A. X = 1,X=2C. X =1,x3计算题(1)x2(2)e +2,k,x2 +1,k,2 的间断点是(x-3x 2=2, x = 3-3x 2x2 -4x2 -9x2 -2x -3x2 _6x +8 lim 厂 x 4 x

6、 -5x 4_0，在x = 0处连续.-0无间断点微积分初步期末试题选(二)1.填空题(1)曲线f(x) = -： x在(1,2)点的切斜率是 (2)曲线f(x) =ex在(0,1)点的切线方程是 .(3) 已知 f (x) =X3 3x，则 f (3)= (4)已知 f (x) = ln x，贝U f (x)= .2.单项选择题3.2D . cosx.cosx 3a b . sin x 6a c . -sin x4.计算题3(2)设 y = sin4x cos x，求 y1设y = x2ex，求y.寸 2(3)设 y = e ，求 y(4)设 y = x 一 x In cosx，求 y微积分

7、初步期末试题选(三)1.填空题(1)函数y =3(x -1)2的单调增加区间是 .2(2) 函数f (x) = ax 1在区间(0, 一)内单调增加，则a应满足 .2.单项选择题2(1) 函数y =(x 1)在区间(一2,2)是( )A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D .先减后增(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数 y = f(x)的( ).A.极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点(3)下列结论中( )不正确.A . f(x) 在x = X。处连续，则一定在 X。处可微.B . f (x)在X = x0处不连续，则一定在 x0处不可导.C .可导函数的极值点一定发生在其

8、驻点上 .D .函数的极值点一定发生在不可导点上 .(4)下列函数在指定区间上单调增加的是( ).x 2a . sin x b . e c . x d . 3 -x3.应用题(1)欲做一个底为正方形，容积为 108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?3(2)用钢板焊接一个容积为 4m 的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米 10元，焊接费40元，问微积分初步期末试题选(四)1.填空题(1)若f(x)的一个原函数为inx2，贝U f(X)二 .若 f(x)dx =sin2x c,则 f(x) .(3)若cosxdx = 2(4)de= .(5)(sin x) dx 二 .(6)若 f (x)

9、dx 二 F (x) c，则 f (2x - 3)dx 二 若 f (x)dx = F (x) c，则 xf(1-x2)dx= 2.单项选择题(1)下列等式成立的是( ).a. d f(x)dx = f(x) b. f (x)dx = f (x)C. f(x)dx 二 f(x) D. df(x)二 f(x)dx(2)以下等式成立的是()1a. In xdx=d()xB.sin xdx = d(cosx)c. dx =d.xxD宀 d3x.3 dxln 3(3) xf (x)dx 二()A. Xf (x) - f (x) cB.xf (x) cC. 1 x2 f (x) c2D.(x 1)f (

10、x) c(4)下列定积分中积分值为0的是(). x A1 e -e , dx2x x1 e e_dx 丄 2(5)设f(x)是连续的奇函数，则定积分c . (x3 cosx)dx-H.(x2 +s inx)dxL -naf (x)dx =( )-a0A. 0 B. f (x)dx -a(6)下列无穷积分收敛的是(0o f (x)dx D. 2 a f (x)dx).A.-be0 sinxdxB.j 1dx1 xC.3.:IL：?11 -dx1 x计算题D.exdx(1) (2x -1)10dx(2).1 sin2xdxx(3)dx = 2 XdJx =2e x +cIn 20 ex(4 ex)

11、dx(5) e1 5lnxdx1 x(6)xexdx0ji 02xs inxdx(1,4 )的曲线为( ).1H 2 x.yy xy ex.y sin x - y e y ln xc . y=C d . y=0)dy xy y ；dxdx微积分初步期末试题选(五)1.填空题1 已知曲线 y = f(x)在任意点 x处切线的斜率为 一，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是(2)由定积分的几何意义知， a2 _x2dx= . 微分方程y=：y,y(O) =1的特解为 .(4)微分方程y 3y = 0的通解为(5)微分方程(y )3 - 4xy(4) = y7 sin x的阶数为 2.单项选择题(1

12、)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点2 2A. y = x + 3 B . y = x + 4C y =x2 2 d . y = x2(2)下列微分方程中，()是线性微分方程.2a . yx lny = y bc . y xy = ey d(3)微分方程y =0的通解为( ).a . y=Cx b . y=x C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是(dya. x y ； B.dxc.业=xy sinx ； d.dx三季10分)、选择题(选岀每小题的正确选项，每小题2分，共计11- lim 2 。0 -(A)-： (B )+：: (C) 0 (D)不存在X + X2当x T 0时，f(X

13、)= 的极限为 。3X5若f (x) = g (x),则下列各式 成立(A) f(x)-(x)=O (B) f(x)-(x)=C (C ) .df(x) d (x)(D) f(x)dx =厂(x)dxdx dx1、填空题(每小题3分，共18分)1.设f (x)在x=0处可导，f(0)=0,且lim f(2x)=-1，那么曲线y=f(x)在原点处的切 t sin x线方程是 。2函数f(x) =X 3-X在区间0，3上满足罗尔定理，则定理中的 = 。3设f (x)的一个原函数是 1 ,那么f (x)dx = 。ln x4设f (x) =xe,那么2阶导函数f (x)在x= 点取得极 。5 设某商

14、品的需求量Q是价格P的函数Q=5-2、P，那么在p = 4的水平上，若价格下降1%，需求量将 三、计算题(每小题 6分，共42分)：11、求 lim(l nx)14nx xe2 lim (1 x)ex x6、xcosx ,3 dx sin xf (0) x=07、设函数f(x)具有二阶导数，且f (0)=0,又g(x) = f(x) ，求g (x)x1,假设某种商品的需求量 Q是单价P (单位元)的函数：Q=1200-8P;商品的总成本C是需求量Q的函数: C=2500+5Q。(1)求边际收益函数和边际成本函数；(2)求使销售利润最大的商品单价。五、(12分)作函数y 2X 12的图形(x1)

15、六、证明题(每题5分，共计10分)1、设函数f (x)在a,b上连续，且f (x)在(a,b)内是常数，证明f (x)在a,b上的表达式为,f(xAx B,其中A、B为常数。2、设函数f (x)在0,=)上可导，且f (x) k 0, f (0) : 0.证明f(x)在(0：)内仅有一个零占八、四季、填空题（每小题 4分，本题共20 分）11.函数f（x）： 的定义域是J5 x12. lim xsin =x x3.已知 f（x） =2x，则（x） =4.若 f(x)dx=F(x) c，贝u f(2x3)dx 二5.微分方程xy叫;（y）4sinx = ex，y的阶数是二、单项选择题（每小题 4

16、分，本题共20分）-x x则该函数是（）1设函数y =e e2 f （x）在*= x0处不连续，则一定在x0处不可导.D.函数的极值点一定发生在不可导点上y y yx = sin xa yx2 cosy 二 yxy sinye ylnxx -3x 2x2 -42.设 y = ex x、x，求 dy.14计算定积分/xeXdx四、应用题（本题16分）3用钢板焊接一个容积为 4m 的底为正方形的无盖水箱， 已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水五季、填空题（每小题 4分，本题共20 分）11. 函数f(x) 的定义域是 0 x x 0 2xtan2 x2x4.若x 0时1 k x2 -1与x

17、sin x是等价无穷小，求常数k的值.解：由于 X； 0 时有. 1 kx2 -1 L - x2 与 xsin xLI x2，故 k = 2。2所以得a = e3及b =3。二、导数与微分：（每题5分，共25分）sin x1.设 y = x ,求 dyx = .2解：两边去对数得 ln y = sin xln x，再求导得y cosxl n xy1sin x，整理后得x当r时有r 22 , 2 .二cos ln sin2 兀 2 J=1，所以 dy%=dx。22求由方程xy - ey =ex所确定的曲线y = y(x)在x = 0处的切线方程.解：易知x=0时有y=0。求导得 y + xy +

18、 ey y = ex，将x = y = 0代入则有y x=1，所以切线方程为 y = x。3利用微分近似计算，求3 8.024的近似值.解：令 y = f (x) = 3、X，则 f(X)- 円33 x2取xd=8，-0.024，则有：.y = 3 8.024 38 ： dy 二 y dx 1 0.02 0.002，33s2所以3 8.024 2.002。4设2 1x sin , f(x)二 xx 0,f (x).ln(1 x2)x _0解：f _ 0 = lim -f (x)-j0 f(0)xlimx )0 -xsin1 0，x2x=lim 0，x0 x所以f (x)二12xs in cos

19、x0:05.求曲线f ( x)2x1 x253x35x3:0f 1 12xsin -cos x ： 0 (x)二三 x2xi 1+x2x_0的拐点.2解：求导得 f (x) = 5x显然，当x = 0时f (x)不存在；当x = -1时f (x) =0，所以x = 0与x = -1是潜在拐点。下面考察函数凹凸性的变化，不难看岀x吒一1T 0f ”(x)f “(x)沁f “(x) 0f ”(x)0三、计算不定积分：（每题6分，共24分）=xln(1 x2) -2x 2arctanx C。四、计算下列各题：（每小题8分，共16分）21.设某商品的价格P与需求量Q的关系为Q二80 - P ,F (x

20、)，已知 F(1) = e2, F(x)0,求 f (x).P叮石时总收益最大。2.设F (x)为f (x)的原函数，且f (x)二Jx(1 +x)解：因为F（x） 0,所以给定条件等价于 f（x _ 1 ，两边关于x求积分，则F （x） Jx（1 + x）In F (x) =2arctan JX + C，从而 F(x) = Ce2arct叭扶(C a 0)。将 F(1)= e2代入可得1 2arctan x e、x(1 x)五、证明题：(每小题5分，共10分)2.当 x 0 时，证明：(1 x)ln(1 x) arctanx.2x证明：令 f (x) = (1 x)ln(1 x) - arc

21、tan x，则 f (x) = In(1 x) 2，当 x _ 0 时显然有1+ xf (x) _ 0，并且只有在x =0时才有f (x) = 0，所以f (x)在x _ 0时为增函数。故当 x 0时有 f (x) f (0) = 0，也就是说当 x 0 时,(1 x)ln(1 x) arctan xf (x)2.设f (x)连续且lim 8，试证明x = a是f (x)的极小值点。xa f *(x) 证明：由lim 8知lim f (x) = 0。又f (x)连续，所以f (a) = 0。根据定义有x)a x a Ja(a) = lim f (x) 一 f (a) = lim丄凶 =8 0，

22、由第二充分条件即可知 x = a是f (x)的极小值 t x a x a点。二季一、 填空题(每小题 4分，本题共20分)1 11- (-2, -1)._： (-1,2 2.1 3. y x 4. sin x C 5. 322二、 单项选择题(每小题 4分，本题共20分)1. C 2. B 3. D 4 A 5. B三、 (本题共44分，每小题11分)1.解：原式Jim如耳二血口二2 11分T(x4)(x1) Tx-1 32.解：y = 2x In 2 3cos3x 9 分xdy=(2 ln 2 3cos3x)dx 11 分3.解： x cosxdx = xsin x - sinxdx = x

23、sin x cosx c11分e1 +51n x4 解： 1 dx1 x1 7(36 -1)：10 2=(51 nx)d(1 +51 nxSl + S x)f ： n5 1011分四、应用题(本题16分)解：设底边的边长为 x，高为h，用材料为y，由已知x h =32 ,32 h =xy =x2 4xh = x2 4x 聲x128+ x128令y = 2x 2 0，解得x =4是惟一驻点，xh = 2时用料最省.微积分初步期末试题选(一)所以当X =4，易知32x =4是函数的极小值点，此时有h 2 = 2，423计算题1 .填空题(1)答案:x 2且x-3.(2)答案：(-2,一1)2(-1

24、,2(3)答案：f (x)二2 x3(4)答案：k =1(5)答案：f (x)二2 x-1(6)答案：x - -1(7)答案：1(8)答案：k =2(3)解:lim xxLJ *m lim 口二x )4 x -5x 4 x_4 &4)(x-1) x4x-1 31.填空题1(1)答案：一2(2)答案：y = x 12 x(3)答案:f(x)=3x 3 In3 , f (3)=27( 1 ln 3)1 1(4)答案：f (x) , f (x)= 2x x(5)答案:f (x) 2exe，f (0) = -22.单项选择题(1)答案：C (2)答案：B (3)答案：D (4)答案：C3 计算题1 1 “ 12 1(1)解：y = 2xex - x ex( 2) = ex(2x -1)x(2)解：y =4cos4x 3cos x(-sinx)= 4co4x-3si nxco sx(3)解:31 3(4)解：y x2 (-sin x) x2tanx2 cosx 2微积分初步期末试题选(三)1.填空题(1)答案：(1：)(2)答案：a - 02.单项选择题(1)答案：D3 .应用题解：设底