微积分试题集.docx
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微积分试题集
微积分试题集
一季
一、计算下列极限：
（每题5分，共10分）
4.若Xr0时,1kx2-1与xsinx是等价无穷小，求常数k的值.
二、导数与微分：
（每题5分，共25分）
sinx
1.设y=X,求dyx』.
~2
2•求由方程xy■ey=ex所确定的曲线y二y（x）在x=0处的切线方程
3•利用微分近似计算，求38.024的近似值.
三、计算下列各题：
（每小题8分，共16分）
1.设某商品的价格P与需求量Q的关系为Q=80-P2,
四、证明题：
（每小题5分，共10分）
1.当x0时,证明：
（1x）ln（1x）-arctanx..
f（x）
2•设f（x）连续且lim
8，试证明x=a是f（x）的极小值点。
x—a
二季
、填空题（每小题4分，本题共20分）
1.函数f（x）-'4_x2的定义域是
In（x+2）
2.若函数f（x）=」xsin；+-x=°,在x=o处连续，则k=
k,
3.曲线y=..x在点（-,1）处的切线方程是.
4.（sinx）dx二.
35
5.微分方程（y）・4xy■”=ysinx的阶数为.
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1•设f（x1）=x2-1，则f（x）二（）
2
A.x（x1）B.x2
c.x（x-2）d.（x2）（x-1）
2.若函数f（x）在点x°处可导，则（）是错误的.
A.函数f（x）在点x0处有定义b.limf（x）=A，但Af（X。
）
2
3.函数y二（X+〔）在区间（一2,2）是（）
A.单调增加B.单调减少
C.先增后减D.先减后增
4xf（x）dx=（）
A.Xf（X）-f（X）CB.xf（x）C
1
C.X2f（X）CD.（X1）f（X）C
2
5.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）
A.翌二Xy;b.色二xyy；
dxdx
dydy/、
c.xysinx；d.x（yx）
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
2.设y=2xsin3x,求dy.
3.计算不定积分xcosxdx
el亠5lnx
▲计算定积分.1hdx
四、应用题（本题16分）
欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?
微积分初步期末试题选
（一）
1.填空题
（3）函数f（x2）=x4x7,则f（x）口
2
（5）函数f（x-1）=x-2x，则f（x）=
（8）若limsin4x=2，贝Uk=x）0sinkx
2.单项选择题、
-Xe
Xe
（1）设函数y=
，则该函数是（
）.
2
A.奇函数B.偶函数
C.
非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
（2）下列函数中为奇函数是（
）.
a.xsinx
B.
丄X
ee
C.In（x、1x2）
D.XX
2
x
（3）函数yln（x5）的定义域为（）.
x+4
a.x■-5B.x_4C.x且x=0D.x且xn-4
2
（4）设f（X1）=X2-1，则f（X）二（）
（5）
时,
函数f（x）
B.
c.2
（6）
时,
函数
f（x）
A.0
B.
（7）函数
f（x）
x—3
A.X=1,X
=2
C.X=1,x
3•计算题
（1）
x2
（2）
e+2,
k,
'x2+1,
k,
2的间断点是（
x-3x2
=2,x=3
-3x2
x2-4
x2-9
x2-2x-3
x2_6x+8lim厂x]4x-5x4
_0，在x=0处连续.
-0
•无间断点
微积分初步期末试题选
（二）
1.填空题
（1）曲线f（x）=-：
x在（1,2）点的切斜率是
（2）曲线f（x）=ex在（0,1）点的切线方程是.
（3）已知f（x）=X33x，则f（3）=
（4）
已知f（x）=lnx，贝Uf（x）=.
2.
单项选择题
3.
2
D.cosx
.cosx3ab.sinx6ac.-sinx
4.计算题
3
（2）设y=sin4xcosx，求y
1
⑴设y=x2ex，求y
.寸2
（3）设y=e，求y
（4）设y=x一xIncosx，求y
微积分初步期末试题选（三）
1.填空题
（1）函数y=3（x-1）2的单调增加区间是.
2
（2）函数f（x）=ax•1在区间（0,一…）内单调增加，则a应满足.
2.单项选择题
2
（1）函数y=（x•1）在区间（一2,2）是（）
A.单调增加B.单调减少
C.先增后减D.先减后增
（2）满足方程f（x）=0的点一定是函数y=f（x）的（）.
A.极值点B.最值点C.驻点D.间断点
（3）下列结论中（）不正确.
A.f（x）在x=X。
处连续，则一定在X。
处可微.
B.f（x）在X=x0处不连续，则一定在x0处不可导.
C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D.函数的极值点一定发生在不可导点上.
（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（）.
x2
a.sinxb.ec.xd.3-x
3.应用题
（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?
3
（2）用钢板焊接一个容积为4m的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问
微积分初步期末试题选（四）
1.填空题
（1）若f（x）的一个原函数为inx2，贝Uf（X）二.
⑵若f（x）dx=sin2xc,则f（x）.
（3）若『cosxdx=
2
（4）de」=.
（5）（sinx）dx二.
（6）若f（x）dx二F（x）c，则f（2x-3）dx二
⑺若f（x）dx=F（x）c，则xf（1-x2）dx=
2.单项选择题
（1）下列等式成立的是（）.
a.df（x）dx=f（x）b.f（x）dx=f（x）
C.—f（x）dx二f（x）D.df（x）二f（x）
dx
（2）以下等式成立的是（
）
1
a.Inxdx=d（—）
x
B
.sinxdx=d（cosx）
c.dx=d.x
x
D
宀d3x
.3dx
ln3
（3）xf（x）dx二（
）
A.Xf（x）-f（x）c
B.
xf（x）c
C.1x2f（x）c
2
D.
（x1）f（x）c
（4）下列定积分中积分值为
0的是（
）.
«xA
1e-e,dx
2
xx
1ee_
dx丄2
（5）设f（x）是连续的奇函数，则定积分
c.（x3cosx）dx
-H
.「（x2+sinx）dx
L-n
a
f（x）dx=（）
-a
0
A.0B.f（x）dx-a
（6）下列无穷积分收敛的是（
0
of（x）dxD.2af（x）dx
）.
A.
-be
0sinxdx
B.
j1
——dx
1x
C.
3.
:
IL：
?
1
1-dx
1x
计算题
D.
e^xdx
（1）（2x-1）10dx
（2）
.1sin
2xdx
x
（3）
dx=2®XdJx=2ex+c
In2
0ex（4ex）dx
（5）e15lnxdx
1x
（6）
xexdx
0
ji
⑺02xsinxdx
（1,4）的曲线为（）.
1
H2x
.yyxye
x
.ysinx-yeylnx
c.y=Cd.y=0
）
dyxyy；
dx
dx
微积分初步期末试题选（五）
1.填空题
1
⑴已知曲线y=f（x）在任意点x处切线的斜率为一，且曲线过（4,5），则该曲线的方程
是
（2）由定积分的几何意义知，a2_x2dx=.
⑶微分方程y「=：
y,y（O）=1的特解为.
（4）微分方程y•3y=0的通解为
（5）微分方程（y）3-4xy（4）=y7sinx的阶数为
2.单项选择题
（1）在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点
22
A.y=x+3B.y=x+4
Cy=x22d.y=x2
（2）下列微分方程中，（）是线性微分方程.
2
a.yxlny=yb
c.yxy=eyd
（3）微分方程y=0的通解为（）.
a.y=Cxb.y=xC
（4）下列微分方程中为可分离变量方程的是（
dy
a.xy；B.
dx
c.业=xysinx；d.
dx
三季
10分）
、选择题（选岀每小题的正确选项，每小题2分，共计
1
1-lim2―。
0-
（A）-：
：
（B）+：
:
（C）0（D）不存在
X+X
2•当xT0时，f（X）=的极限为。
3
X
5•若f（x）=g（x）,则下列各式成立
（A）f（x）-（x）=O（B）f（x）-（x）=C（C）.df（x）d（x）
（D）—f（x）dx=厂（x）dx
dxdx
1、填空题（每小题3分，共18分）
1.设f（x）在x=0处可导，f（0）=0,且limf（2x）=-1，那么曲线y=f（x）在原点处的切tsinx
线方程是。
2•函数f（x）=X3-X在区间［0，3］上满足罗尔定理，则定理中的=。
3•设f（x）的一个原函数是1,那么f（x）dx=。
lnx
4•设f（x）=xe»,那么2阶导函数f"（x）在x=点取得极。
5•设某商品的需求量Q是价格P的函数
Q=5-2、、P，那么在p=4的水平上，若价格
下降1%，需求量将
三、计算题（每小题6分，共42分）：
1
1、求lim（lnx）14nxx「e
2lim[（1x）ex〜x]
6、
xcosx,
3dxsinx
f（0）x=0
7、设函数f（x）具有二阶导数，且f（0）=0,又g（x）=f（x），求g（x）
x
1,假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：
Q=1200-8P;商品的总成本C是需求量Q的函数:
C=2500+5Q。
（1）求边际收益函数和边际成本函数；
（2）求使销售利润最大的商品单价。
五、（12分）作函数y2X~12的图形
（x—1）
六、证明题（每题5分，共计10分）
1、设函数f（x）在［a,b］上连续，且f（x）在（a,b）内是常数，证明f（x）在［a,b］上的表达式为,
f（x^AxB,其中A、B为常数。
2、设函数f（x）在［0,=）上可导，且f（x）k0,f（0）:
:
:
0.证明f（x）在（0「：
）内仅有一个零
占
八、、
四季
、填空题（每小题4分，本题共20分）
1
1.函数f（x）：
的定义域是
J5—x
1
2.limxsin=
x—‘‘x
3.已知f（x）=2x，则「（x）=
4.若f（x）dx=F（x）c，贝uf（2x—3）dx二
5.微分方程xy叫;〉（y）4sinx=ex，y的阶数是
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
-xx
则该函数是（）•
1设函数y=ee
2
•f（x）在*=x0处不连续，则一定在
x0处不可导.
D.函数的极值点一定发生在不可导点上
yyyx=sinx
a•yx2cosy二y
x
ysinyeylnx
x-3x2
x2-4
2.设y=e'xx、、x，求dy.
1
4•计算定积分/xeXdx
四、应用题（本题16分）
3
用钢板焊接一个容积为4m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水
五季
、填空题（每小题4分，本题共20分）
1
1.函数f（x）的定义域是
<4-x2
sin4x
2.右|im2，则k=.
x0kx
3.已知f（x）=Inx，贝Uf（x）=.
4.若sinxdx=
5.微分方程xy叫;〉（y）4sinx=e审的阶数是二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1设函数y=xsinx，则该函数是（）.
A•奇函数B•偶函数C•非奇非偶函数D•既奇又偶函数
严2
x+1X式0
2.当k=（）时，函数f（x）=」"，在x=0处连续.
kx=0
A.1B.2C.-1D.0
3.满足方程f（X）=0的点一定是函数f（x）的（）。
A.极值点B.最值点C.驻点
a
4.设f（X）是连续的奇函数，则定积分.
-a
00
a.2f（x）dxb.f（x）dx
-a'-a
5.微分方程y=y1的通解是（）
Cx-1_x.
a.y=e；b.y=Ce-1；
三、计算题（本题共44分，每小题11分）
D.间断点
（x）dx=（）
a
C.0f（x）dxD.0
-12
c.y=xC；d.yxC
2
i.计算极限lim
2
x-3x2
2•设y=sin5xcosx，求y
3•计算不定积分（1「X）2dX
兀x
4•计算定积分.「｛SinxdX
四、应用题（本题16分）
欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
微积分习题集答案
一季
、计算下列极限：
（每题5分，共25分）
3.
i‘11tanx—xtanx—xsec2x—1
limlimlim2lim
x0xtanxx0xtanxx>0xx02x
tan2x
2x
4.若x>0时1kx2-1与xsinx是等价无穷小，求常数k的值.
解：
由于X—；0时有■.1kx2-1L-x2与xsinxLIx2，故k=2。
2
所以得a=e3及b=3。
二、导数与微分：
（每题5分，共25分）
sinx
1.设y=x,求dyx=.
2
解：
两边去对数得lny=sinxlnx，再求导得
ycosxlnx
y
1
sinx，整理后得
x
当r时有r2
2,2.二
cos—lnsin
2兀2J
=1，所以dy%』=dx。
^2
2•求由方程xy-ey=ex所确定的曲线y=y（x）在x=0处的切线方程.
解：
易知x=0时有y=0。
求导得y+xy"+eyy"=ex，将x=y=0代入则有y"x』=1，所以切
线方程为y=x。
3•利用微分近似计算，求38.024的近似值.
解：
令y=f（x）=3、X，则f（X）-—円
33x2
取xd
=8，-0.024，则有：
.y=38.024—38：
dy二ydx1—>0.02^0.002，
33s2
所以
38.0242.002。
4•设
2•1
xsin,f（x）二x
x0,
f（x）.
ln（1x2）
x_0
解：
f_0=lim-f（x）
^-j0—
f（0）
x
lim
x）0-
xsin10，
x
2
x
=lim0，
x—0x
所以f（x）二
1
2xsincos—
x
0
:
:
0
5.求曲线f（x）
2x
1x2
5
3x3
5x
3
:
:
0
f11
2xsin—-cos—x：
：
0（x）二三x
2x
i1+x2
x_0
的拐点.
2
解：
求导得f（x）=5x
显然，当x=0时f"（x）不存在；当x=-1时f（x）=0，所以x=0与x=-1是潜在拐点。
下面
考察函数凹凸性的变化，不难看岀
x吒一1
Tx>0
f”（x）
f“（x）沁
f“（x）£0
f”（x）>0
三、计算不定积分：
（每题6分，共24分）
=xln（1x2）-2x2arctanxC。
四、计算下列各题：
（每小题8分，共16分）
2
1.设某商品的价格P与需求量Q的关系为Q二80-P,
F（x）
，已知F
（1）=e2,F（x）〉0,求f（x）.
P叮石时总收益最大。
2.设F（x）为f（x）的原函数，且f（x）二
Jx（1+x）
解：
因为F（x）•0,所以给定条件等价于f（x^_1，两边关于x求积分，则
F（x）Jx（1+x）
InF（x）=2arctanJX+C，从而F（x）=Ce2arct叭扶（Ca0）。
将F
（1）=e^2代入可得
12arctanx
e
、、x（1x）
五、证明题：
（每小题5分，共10分）
2.当x0时，证明：
（1x）ln（1x）arctanx..
2
x
证明：
令f（x）=（1x）ln（1x）-arctanx，则f（x）=In（1x）2，当x_0时显然有
1+x
f（x）_0，并且只有在x=0时才有f（x）=0，所以f（x）在x_0时为增函数。
故当x0时有f（x）f（0）=0，也就是说当x0时,（1x）ln（1x）arctanx
f（x）
2.设f（x）连续且lim8，试证明x=a是f（x）的极小值点。
—x—af*（x）・
证明：
由lim8知limf（x）=0。
又f（x）连续，所以f（a）=0。
根据定义有
x）ax—aJa
「（a）=limf（x）一f（a）=lim丄■凶=80，由第二充分条件即可知x=a是f（x）的极小值tx—a—x—a
点。
二季
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
11
1-（-2,-1）」._：
（-1,2]2.13.yx4.sinx■C5.3
22
二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1.C2.B3.D4A5.B
三、（本题共44分，每小题11分）
1.解：
原式Jim©如耳二血口二211分
T（x—4）（x—1）Tx-13
2.解：
y=2xIn23cos3x9分
x
dy=（2ln23cos3x）dx11分
3.解：
xcosxdx=xsinx-sinxdx=xsinxcosxc
11分
e1+51nx
4解：
1dx
1x
17
（36-1）：
102
=^（^51nx）d（1+51nx^Sl+Sx）f：
n
510
11分
四、应用题（本题16分）
解：
设底边的边长为x，高为h，用材料为y
，由已知xh=32,
32h=
x
y=x24xh=x24x聲
x
128
+
x
128
令y=2x20，解得x=4是惟一驻点，
x
h=2时用料最省.
微积分初步期末试题选
（一）
所以当X=4，
易知
32
x=4是函数的极小值点，此时有h2=2，
42
3•计算题
1.填空题
（1）
答案:
x2且x
--3.
（2）
答案：
（-2,一1）
2
（-1,2]
（3）
答案：
f（x）二
2x
3
（4）
答案：
k=1
（5）
答案：
f（x）二
2x
-1
（6）
答案：
x--1
（7）
答案：
1
（8）
答案：
k=2
（3）解:
limx^xLJ*mlim口二
x）4x-5x4x_4&—4）（x-1）x>4x-13
1.填空题
1
（1）答案：
一
2
（2）答案：
y=x•1
2x
（3）答案:
f（x）=3x3In3,f（3）=27（1ln3）
11
（4）答案：
f（x）,f（x）=2
xx
（5）答案:
f（x）2e」xe」，f（0）=-2
2.单项选择题
（1）答案：
C
（2）答案：
B（3）答案：
D（4）答案：
C
3•计算题
11“1
21
（1）解：
y=2xex-xex
（2）=ex（2x-1）
x
（2）解：
y=4cos4x3cosx（-sinx）
=4co4x-3sinxcosx
（3）解:
313
（4）解：
yx2（-sinx）x2—tanx
2cosx2
微积分初步期末试题选（三）
1.填空题
（1）答案：
（1「：
）
（2）答案：
a-0
2.单项选择题
（1）答案：
D
3.应用题
解：
设底
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