高中数学必修4教案相等向量与共线向量.docx

1、高中数学必修4教案相等向量与共线向量相等向量与共线向量教学目标：掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 .通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 .教学思路：一、情景设置：.(一 )、复习1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？

2、5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？(二 )、新课学习1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 .说明：（ 1）向量与相等，记作； （ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关 .2、共线向量与平行向量

3、关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） .说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 .四、理解和巩固：例 1如图，设O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、 OB 、 OC 相等的向量 .变式一：与向量OA 长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE ）例 2 判断：（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（ 2）与零向量相

4、等的向量必定是什么向量？（零向量）（ 3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（ 4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例 3 下列命题正确的是（）A. 与共线，与共线，则与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形， 根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对

5、于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 .向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、 B、C、 D 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB DC一个向量方向不确定当且仅当模为 0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同 .解：不正确 .共线向量即平行向量， 只要求方向相同或相反即可， 并不要求两个向量 AB 、AC 在

6、同一直线上 .不正确 .单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定 .不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的 . 、正确 .不正确.如图 AC 与 BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同 .2书本 77 页练习 4 题三、小结 ：描述向量的两个指标：模和方向 .2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比 .3、共线向量与平行向量关系、相等向量。四、课后作业：习案作业十八。2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量， 培养数形结合解决问题的能力；通过将向量运算与熟悉的数

7、的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 .教学难点：理解向量加法的定义 .教学思路：一、设置情景：复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量， 即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置情景设置：（1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到 C，则两次的位移和：ABBCAC（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C，则两次的位移和：ABBC

8、AC（3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C， 则两次的位移和：ABBCAC（4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和：AB BCACCABCC二、探索研究：CAB、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.ABAB、三角形法则（ “首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量a、 .在平面内任取一点A ，作 AB a， BC ，则向量AC 叫做 a 与的和，记作 a，即aABBCAC ，规定：a + 0-= 0 + aaaaCbb探究：（ 1）两a+b个数的和有什Aa+b两向量的和仍aB（2）当向量 a| a + b | a|+| b |；什么时候 | a + b |=| a

9、 |+|b |，什么时候 | a + b |=| a | | b |，向 量 的 和 与 两么 关 系 ？是一个向量；与 b 不共线时，当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且 | a + b |b |，则 a + b 的方向与 a 相同，且 | a +b |=| a |-|b |；若| a |b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 3）“向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加例一、已知向量 a 、 b ，求作向量 a + bOaA作法：在平面内取一点，作OAa AB b ，

10、则 OB a bbbb.加法的交换律和平行四边形法则aaB问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同？验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）向量加法的交换律：a + b = b + a你能证明：向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )吗？6由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 .三、应用举例：例二（ P83 84）略变式 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶， 船的实际航行速度的大小为 4km / h ，求水流的速度 .变式

11、2、一艘船从A 点出发以v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2 ，船的实际航行的速度的大小为4km / h ，方向与水流间的夹角是60 ，求v1 和v2 .练习： P84 面四、小结1、 2、 3、 4 题1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、| a + b | a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号 .五、课后作业： 习案作业十八。六、备用习题 思考： 你能用向量加法证明： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；通过阐述向量的减法运算

12、可以转化成向量的加法运算， 使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想 .教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法 .教学难点：减法运算时方向的确定 .教学思路：复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中， CBBAAD.解： CB BA ADCA AD CD提出课题：向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量. (a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0如果 a、 b 互为相反向量，则a = b，b =a， a + b

13、 = 0（ 3） 向量减法的定义：向量a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .即： ab = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a ，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 ab求作差向量：已知向量a、 b，求作向量 ab(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O，aOa作 OA = a，AB = b则 BA = a bbba b即 ab 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 .B注意： 1AB 表示 ab.强调：差向量“箭头

14、”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)BBaba+ (b)OabAbb探究：B如果从向量 a 的终点指向向量ba.b 的终点作向量，那么所得向量是）若 a b，如何作出 ab？aa ba bbOBAB OBAaa ba b例题：bOAbBBOA例 一 、（P86例三）已知向量 a、 b、 c、 d，求作向量 a b、 cd.解：在平面上取一点 O，作 OA = a， OB = b ，OC = c， OD = d ，作 BA ， DC ，则 BA = a b，DC = c dABDDCdbacABABCD 中， ABAD例二、平行四边形a，CAC 、 DB.b，

15、 用 a、 b 表示向量O解：由平行四边形法则得：AC = a + b， DB =ABAD = a b变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|）变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？（ a， b 互相垂直）变式三： a+b 与 a b 可能是相等向量吗？（不可能，对角线方向不同）例 3. 如图，已知一点 O到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C的向量分别为 a、b、c，练习：试用1。向量87a面、b、1c、表2示题OD.2在 ABC 中，BC =a，CA =b，则 AB 等于 ( B)A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a四：小结：向量减法的定义、作图法 |五：作业：习案作业十九