高中数学必修4教案相等向量与共线向量.docx
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高中数学必修4教案相等向量与共线向量
相等向量与共线向量
教学目标：
掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力
教学重点：
理解并掌握相等向量、共线向量的概念，
教学难点：
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路：
一、情景设置：
.
.
（一）、复习
1、数量与向量有何区别？
（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？
分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？
长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？
单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
（二）、新课学习
1、有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？
2、任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？
这组向量有什么关系？
三、探究学习
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四、理解和巩固：
例1．如图，设
O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量
OA、OB、OC相
等的向量.
变式一：
与向量
OA长度相等的向量有多少个？
（
11个）
变式二：
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
（存在）
变式三：
与向量共线的向量有哪些？
（
CB,DO,FE）
例2判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？
（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（长度相等且方向相同）
（4）共线向量一定在同一直线上吗？
（不一定）
例3下列命题正确的是（
）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与
c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：
由于零向量与任一向量都共线，所以
A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，
所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，
而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平
行四边形的四个顶点，所以
B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否
相同无关，所以Ｄ不正确；对于
C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考
虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，
即ａ与ｂ至少有一个是零向量，
而由零向量与任一向量都
共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选
C.
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：
①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、
AC在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正
确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本77页练习4题
三、小结：
描述向量的两个指标：
模和方向.
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、共线向量与平行向量关系、相等向量。
四、课后作业：
《习案》作业十八。
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题
的能力；
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：
会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：
理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
复习：
向量的定义以及有关概念
强调：
向量是既有大小又有方向的量
.长度相等、方向相同的向量相等
.因此，我们研究的向
量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，
移到任何
位置
情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：
AB
BC
AC
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：
AB
BCAC
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和：
AB
BC
AC
（4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：
ABBC
AC
C
A
B
C
C
二、探索研究：
C
A
B
１、向量的加法：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
.
A
B
A
B
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量
a、ｂ.在平面内任取一点
A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量
AC叫做a与
ｂ的和，记作a＋ｂ，即
a＋ｂ
AB
BC
AC，
规定：
a+0-=0+a
a
a
a
C
b
b
探究：
（1）两
ａ
a+b
个数的和有什
ｂ
A
a+b
ｂ
两向量的和仍
a
B
（2）当向量a
|a+b|<|a|+|b|；什么时候|a+b|=|a|+|b|，什么时候|a+b|=|a|－|b|，
向量的和与两么关系？
是一个向量；
与b不共线时，
当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；
当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，
当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；
若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（3）“向量平移”（自由向量）：
使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到
n
个向量连加
３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b
O
a
A
作法：
在平面内取一点，作
OA
aABb，则OBab
b
b
b
.
４．加法的交换律和平行四边形法则
a
a
B
问题：
上题中b+a的结果与a+b是否相同？
验证结果相同
从而得到：
１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
a+b=b+a
５．你能证明：
向量加法的结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？
多个向量的加法运算可以按照任意的
次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速
度的大小为4km/h，求水流的速度.
变式
2、一艘船从
A点出发以
v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
v2，
船的实际航行的速度的大小为
4km/h，方向与水流间的夹角是
60，求
v1和
v2.
练习：
P84面四、小结
1、2、3、4题
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、
|a+b|
≤
|a|+|b|，当且仅当方向相
同时取等号.
五、课后作业：
《习案》作业十八。
六、备用习题思考：
你能用向量加法证明：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
了解相反向量的概念；
掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：
向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：
减法运算时方向的确定.
教学思路：
复习：
向量加法的法则：
三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
例：
在四边形中，CB
BA
AD
.
解：
CBBAAD
CAADCD
提出课题：
向量的减法
用“相反向量”定义向量的减法
（1）“相反向量”的定义：
与
a长度相同、方向相反的向量
.记作a
（2）规定：
零向量的相反向量仍是零向量
.（
a）=a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量
.a+（
a）=0
如果a、b互为相反向量，则
a=b，
b=
a，a+b=0
（3）向量减法的定义：
向量
a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：
a
b=a+（
b）
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a
b
求作差向量：
已知向量
a、b，求作向量a
b
∵（ab）+b=a+（b）+b=a+0=a
作法：
在平面内取一点
O，
a
O
a
作OA=a，
AB=b
则BA=ab
b
b
ab
即a
b可以表示为从向量
b的终点指向向量
a的终点的向量.
B
注意：
1
AB表示a
b.
强调：
差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，
ab=a+（
b）
B’
B
a
b
a+（
b）
O
a
b
A
b
b
探究：
B
如果从向量a的终点指向向量
b
a.
b的终点作向量，那么所得向量是
２）若a∥b，如何作出a
b
？
a
ab
ab
b
O
B
A
B’O
B
A
a
ab
ab
例题：
b
O
A
b
BB
O
A
例一、
（
P86
例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、c
d.
解：
在平面上取一点O，作OA=a，OB=b，
OC=c，OD=d，
作BA，DC，
则BA=ab，
DC=cd
A
B
D
D
C
d
b
a
c
A
B
ABCD中，AB
AD
例二、平行四边形
a，
C
AC、DB
.
b，用a、b表示向量
O
解：
由平行四边形法则得：
AC=a+b，DB=
AB
AD=ab
变式一：
当a，b满足什么条件时，
a+b与ab垂直？
（|a|=|b|）
变式二：
当a，b满足什么条件时，
|a+b|=|ab|？
（a，b互相垂直）
变式三：
a+b与ab可能是相等向量吗？
（不可能，∵
对角线方向不同）
例3.如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，
练习：
试用1。
向Ｐ量87a面、b、1c、表2示题OD.
2．在△ABC中，
BC=a，
CA=b，则AB等于（B
）
A.a+b
B.-a+（-b）
C.a-b
D.b-a
四：
小结：
向量减法的定义、作图法|
五：
作业：
《习案》作业十九
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