一元二次方程的解法易错点剖析.docx

1、一元二次方程的解法易错点剖析k的值.a 0.当 k2 =a 0求m的取值范围.2倍小f，并且两一元二次方程易错题剖析一、 在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数 a 0 题目1关于X的方程(k2-1)x心+ x+ k=0是一元二次方程，求 错解：T k2-2k-1=2即 k2- 2k-3=0ki = 3, k2 = 1.错因：方程ax2+ bx + c=0 ( a 0)为一元二次方程，这里强调1时，使k2 - 1 = 0,原方程是一元一次方程.正解：2k -2k 仁 2,2 k = 3.k2-1 0,二、 在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数题目2关于X的一元二次方程(m +

2、1)x2+ 2、3mx+ 3m-2=0有实根, 错解：T方程有实根，二 0,即(2.3m)2-4(m + 1)(3m-2) 0, 4m+80,. m W 2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足 m + 1 0,正解：m W2,且 m 1.三、 忽视根的判别式和二次项的系数 a应满足的条件题目3已知关于X的方程x2- mx- n = 0的两根之积比两根之和的 根的平方和为22,求m , n的值.错解：设两根分别为X1 , X2，则 x1 + x2 = m , x1x2 = - n .2m+ n =-,2m2+2 n=22,1由题意，得2(X1+X2)X1X尸2, x2+x；=22.m2

3、=313m!= 7,解得 27 或 ni= 亍错因：因为方程有两根，说明根的判断式 0,即m2+ 4n 0,但m = 7和n =27不满足，应舍去又这里二次项系数a = 1是已知的，解题时可不考虑。2正解：当m = 7, n = 27时，=72 - 4 27 V0,不合题意，舍去；2 2当 m = 3, n =匹时， =(3)2 + 4 逻0,2 213.m = 一 3, n = .2四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a为何值时，方程 亠+注=空也只有一个实数根.x+1 X X(X + 1)错解：原方程化为2X2 2x+ (1 a) = 0.此方程有两个相等的实数根时，分式方程

4、只有一个实根，. =(2)2 4 2(1 a)=0 ,. 1a= .2错因：当方程2x22x+(1 a) = 0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原 方程的根时，命题也成立.正解：把 x = 0代入 2x22x + (1 a)= 0，得 a = l ;把 x = 1 代入 2x2 2x+ (1 a)=0，得 a = 5.二当a1=寸,a2 = 1, a3 = 5时，原分式方程只有一个实数根.五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是二次方程时的情况，忽视是一次方 程时的情况.题目5已知关于x的方程(k-1)x2+ 2kx+ k= 0有实根，求k的取值范围.0 k 1错解：当k 12 U，

5、即k J 2 时，方程有实根，(2k)2-4k(k -1) 0, 4k2-4k2+4k 0 k 0且 k 1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程 .正解：当k 1 = Q即k = 1时，方程化为2x+1=0，二x =-丄.2当k 0时，方程有实根.六、 不理解一元二次方程的定义题目6方程(m 1)xm+1 + 2m 3= 0是关于x的一元二次方程，求 m的值.错解：由题意可得m+ 1 = 2，二m= 1.错因：一元二次方程满足的条件是：只含有一个未知数；未知数的最高次数为2；整式方程.方程经整理可转化为

6、一般形式：ax2 + bx+ c= 0(a 0).本 题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件.正解：由题意可得，m+ 1 = 2，且m 1工0， m= 1且1， m的值是一1.七、 二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆题目7用配方法求2x2- 12x + 14的最小值.错解：2x2- 12x + 14 = x2- 6x + 9-2= (x 3)2-2.当x= 3时，原多项式的最小值是一2.错因： 一元二次方程配方时，二次项系数化为 1,方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.要注意 等式与代数式变形的区别.正解：2x2 12x

7、+ 14 = 2( x2-6x + 7) = 2(x2 6x+ 9-2) = 2( x 3)2-4.当x= 3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质题目8解方程x2 = 6x.错解:x = 6x，解这个方程，得x= 6.错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式.正解：x2= 6x,x2 6x= 0,x(x 6) = 0, Xi= 0, X2 = 6.九、题目9关于x的方程2x 4 x + k= 1,有一个增根为4,求k的值.1.对增根概念理解不准确错解1:把x= 4代入原方程，得-2X 44 4+ k= 1,解得k= 3. 错因：本解法错误在于

8、对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去， 等式不应该成立.实际上解法中把 4当作原方程的根，而没有当作增根来处理.2.忽略题中的隐含条件错解2:将原方程化为整式方程，得 4( x + k) = (x 5 k)2. (*) 把x= 4代入整式方程(*)，得4(4 + k) = (4 5 k)2.解之，得 k1= 3, k2= 5.答：k的值为一3或5.错因：本解法已经考虑到增根的定义.增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x = 4肯定是在解整式方程(*)时产生的.将x=4代入整式方程(*)，等式应该成立.求出ki=- 3, k2 = 5,但本解法忽略了对k值的 验证

9、.将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x= 4代到原无理方程中去验证.正解：(1) 将ki = - 3, x=4代入原无理方程，左边=-2X 4-4 - 4-3= 1,右边 =1 .左边=右边.当k=- 3时，x=4是适合原方程的根(不是增根).(2) 将k2 = 5，x= 4代入原无理方程，左边=-1，右边=1,左边工右边.当k= 5时，x= 4是原方程的增根.综上所述，原方程有一个增根为 4时，k的值为5.十、忽略前提，乱套公式题目10解方程：x2+3x=4.错解：因为 =32-4 X 1 x 4=-7 v 0,所以方程无解.错因：用公式法解一

10、元二次方程，必须先把方程化为一般形式 ax2+bx+c=0(a 工0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误 .正解：方程可化为x2+3x-4=0. =32-4 X 1 X(-4 ) =25 0.x=42即 X1 = 1, X2=-4.十一、误用性质，导致丢根题目11方程(x-5 ) ( x-6)= x-5的解是( )错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x =7.错因：在解一元二次方程时， 不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式， 否则就会产生漏根的现象，导致解题出错 .正解：选D.移项得(x-5 ) (x-6)-( x-5)=0，因式分解得(

11、x-5 ) (x-7)=0,解 得 x1=5， x2 =7.十二、考虑不周，顾此失彼题目 12 若关于 x 的一元二次方程 (m+1) x2- x+m2-m-2=0 的常数项为 0，则 m 的值为( )A. m=-1 B.m=2 C.m=-1 或 m=2 D.m=1 或 m=-2错解：据题意可得m2-m-2=0，解得mi=-1, m2 =2，所以选C.错因：错解中根据题中条件构造关于 m的方程m2-m-2=0，以达到求m的值的目 的，这样思考并没有错， 错就错在忽略了一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 中必须有a工0这一条件.正解：据题意可得m2-m-2=0,解得m1 =-1, m2

12、=2.又因为m+倍0,故m-1 ,所以 m=2故选B.十三、一知半解，配方不当题目 13 解方程： x2-6 x-6=0.错解：移项，得x2-6 x =6，故(x-3 ) 2=0解得 x1=x2 =3.错因： 运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边 加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错 . 所以用配方法解 一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生 错误.正解：移项，得x2-6x=6,所以 x2-6 x +9=6+9,即(x 3)2 = 15,解得 x 错因：由一元二次方程的定义知m 2 0，而上述解题过程恰恰忽略了这一点， 正

13、解：将X 0代入方程中，得2m 4,m 2十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导 致错解题目16.关于x的方程 mx? 3x x mx 2 是- -元二次方程的条件是什么 错解：由一元二次方程的定义知m 0.错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的 .而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得 (m 1)x2 (3 m)x 2 0 ,m 1 0, m 1正解：关于x的方程mx2 3x x2 mx 2是一兀二次方程的条件为m 1 .十七、忽略一元二次方程有实根条件0导致错解题目17.已知捲，X2是方程x2 (k 2)x k2 3k 5 0的两实根，求

14、捲2 X22的最大值. 错解：由根与系数的关系得2x-i x2 k 2 x! x2 k 3k 5所以当k 5时，xj X22有最大值19.错因：当k 5时，原方程变为x2 7x 15 0，此时 0,方程无实根. 错因是忽略了0这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故0,2即(k 2) 4(k2 3k 5) 0,解得4W k 0,即 32 4 a ( 5) 0,a.20所以C的取值范围是大于或等于- 2的实数.20错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽 略了二次项系数a不为0的条件。正解：a且炉0.20题目20、当k为何值时，方程kx2 2x 3 0有实根？错解：V

15、已知方程有实根， = ( 2)2 4X 3 k 0,解得k -.又kz0,3当k -且kz 0时，方程kx2 2x + 3= 0 有实根.3错因：题目未说明已知方程为一元二次方程，当 k = 0时，方程为一元一次方 程，此时有实根x=3，也符合题意。2正解：当k -时，已知方程有实根.3题目21、 已知关于x的方程(m2 1) x2 ( m + 1) x + 1 = 0 的两实数 根互为倒数，求m的值.错解：v已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知 解得m J .经检验，它们都是方程齐1的根，所以m的值为匹,-,2 .错因：求出的m值需保证已知方程有两个实数根，因此 m的值除满足是解题过

16、程中的分式方程的根外(m工士 1)，还需代入已知方程的根的判别式进行检 验.实际上，当m二一.2时，方程为X2 (1 .2)x 1 0 , =3 2 2 4 0 ,此时 已知方程无实数根.正解：m的值是.2 . 、 , 2 2px q 0的两个实数根，且X1 x2 3X1X2 1 ,错解：由根与系数关系，有 x1 x2 p, XfX2 q.由 X12 X22 3X1X2 1,得2(X1 X2) X1X2 1 p2 + q = 1 .1(X1 X2)(1 ) 0X1X21p(1 J 0.由得p=0或q=- 1.当p=0时，代入得q=1.当q二1时，代入得p= .2 .所以p, q的值是0, 1或2 , 1或门,1.错因：与题目3类似，当p=0, q=1时，方程为X2+ 1 =0，此时没有实数根。 正解：p , q的值为, 1或一 2 ? 1.