一元二次方程的解法易错点剖析.docx
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一元二次方程的解法易错点剖析
k的值.
a0.当k2=
a0
求m的取值范围.
2倍小f，并且两
一元二次方程易错题剖析
一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a0题目1关于X的方程（k2-1）x「心+x+k=0是一元二次方程，求错解：
Tk2-2k-1=2
即k2-2k-3=0
ki=3,k2=—1.
错因：
方程ax2+bx+c=0（a0）为一元二次方程，这里强调
—1时，使k2-1=0,原方程是一元一次方程.
正解：
2
k-2k—仁2,
2…k=3.
k2-10,
二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数
题目2关于X的一元二次方程（m+1）x2+2、、3mx+3m-2=0有实根,错解：
T方程有实根，二>0,
即（2.3m）2-4（m+1）（3m-2）>0,
••—4m+8》0,.•mW2.
错因：
因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m+10,
正解：
•mW2,且m—1.
三、忽视根的判别式和二次项的系数a应满足的条件
题目3已知关于X的方程x2-mx-n=0的两根之积比两根之和的根的平方和为22,求m,n的值.
错解：
设两根分别为X1,X2，则x1+x2=m,x1x2=-n.
2m+n=-,
2
m2+2n=22,
1
由题意，得2（X1+X2）—X1X尸2,x2+x；=22.
m2=—3
13
m!
=7,
解得27或ni=—亍
错因：
因为方程有两根，说明根的判断式>0,即m2+4n>0,但m=7和n=—
27不满足，应舍去•又这里二次项系数a=1是已知的，解题时可不考虑。
2
正解：
当m=7,n=—27时，=72-427V0,不合题意，舍去；
22
当m=—3,n=匹时，=（—3）2+4逻>0,
22
13
..m=一3,n=.
2
四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况题目4a为何值时，方程亠+注=空也只有一个实数根.
x+1XX（X+1）
错解：
原方程化为2X2—2x+（1—a）=0.
此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根，
.=（—2）2—42（1—a）=0,
.1
…a=—.
2
错因：
当方程2x2—2x+（1—a）=0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立.
正解：
把x=0代入2x2—2x+（1—a）=0，得a=l;
把x=—1代入2x2—2x+（1—a）=0，得a=5.
二当a1=寸,a2=1,a3=5时，原分式方程只有一个实数根.
五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况.
题目5已知关于x的方程（k-1）x2+2kx+k=0有实根，求k的取值范围.
0k1
错解：
当k12U，即kJ2时，方程有实根，
（2k）2-4k（k-1）0,4k2-4k2+4k0
•••k>0且k1时，方程有实根.
错因：
只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有
“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.
正解：
当k—1=Q即k=1时，
方程化为2x+1=0，二x=-丄.
2
•••当k>0时，方程有实根.
六、不理解一元二次方程的定义
题目6方程（m—1）xm+1+2m>—3=0是关于x的一元二次方程，求m的值.
错解：
由题意可得m+1=2，二m=±1.
错因：
一元二次方程满足的条件是：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次
数为2；③整式方程.方程经整理可转化为一般形式：
ax2+bx+c=0（a^0）.本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件.
正解：
由题意可得，m+1=2，且m—1工0，•m=±1且1，•m的值是一1.
七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆
题目7用配方法求2x2-12x+14的最小值.
错解：
2x2-12x+14=x2-6x+9-2=（x—3）2-2.
•••当x=3时，原多项式的最小值是一2.
错因：
一元二次方程配方时，二次项系数化为1,方程两边同时除以二次项系
数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.要注意等式与代数式变形的区别.
正解：
2x2—12x+14=2（x2-6x+7）=2（x2—6x+9-2）=2（x—3）2-4.
•••当x=3时，原多项式的最小值是-4.
八、解方程中错误使用等式的性质
题目8解方程x2=6x.
错解:
x=6x，解这个方程，得x=6.
错因：
本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代
数式.
正解：
x2=6x,
x2—6x=0,
x（x—6）=0,
•Xi=0,X2=6.
九、题目9关于x的方程「2x—4—x+k=1,有一个增根为4,求k的值.
1.对增根概念理解不准确
错解1:
把x=4代入原方程，得-2X4—4—4+k=1,解得k=—3.错因：
本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立.实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理.
2.忽略题中的隐含条件
错解2:
将原方程化为整式方程，得4（x+k）=（x—5—k）2.（*）把x=4代入整式方程（*），得4（4+k）=（4—5—k）2.
解之，得k1=—3,k2=5.答：
k的值为一3或5.
错因：
本解法已经考虑到增根的定义.增根是在将无理方程化为整式方程时产
生的，所以题目中的增根x=4肯定是在解整式方程（*）时产生的.将x=4代入
整式方程（*），等式应该成立.求出ki=-3,k2=5,但本解法忽略了对k值的验证.
将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须
将求得的k值和x=4代到原无理方程中去验证.
正解：
（1）将ki=-3,x=4代入原无理方程，左边=-'2X4-4-4-3=1,右边=1.左边=右边.
•••当k=-3时，x=4是适合原方程的根（不是增根）.
（2）将k2=5，x=4代入原无理方程，左边=-1，右边=1,左边工右边.
•••当k=5时，x=4是原方程的增根.
综上所述，原方程有一个增根为4时，k的值为5.
十、忽略前提，乱套公式
题目10解方程：
x2+3x=4.
错解：
因为△=32-4X1x4=-7v0,所以方程无解.
错因：
用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a工0）.如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.
正解：
方程可化为x2+3x-4=0.
△=32-4X1X（-4）=25>0.
x=4
2
即X1=1,X2=-4.
十一、误用性质，导致丢根
题目11方程（x-5）（x-6）=x-5的解是（）
错解：
选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x=7.
错因：
在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.
正解：
选D.移项得（x-5）（x-6）-（x-5）=0，因式分解得（x-5）（x-7）=0,解得x1=5，x2=7.
十二、考虑不周，顾此失彼
题目12若关于x的一元二次方程（m+1）x2-x+m2-m-2=0的常数项为0，则m的值为（）
A.m=-1B.m=2C.m=-1或m=2D.m=1或m=-2
错解：
据题意可得m2-m-2=0，解得mi=-1,m2=2，所以选C.
错因：
错解中根据题中条件构造关于m的方程m2-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中必须有a工0这一条件.
正解：
据题意可得m2-m-2=0,解得m1=-1,m2=2.又因为m+倍0,故m^-1,所以m=2故选B.
十三、一知半解，配方不当
题目13解方程：
x2-6x-6=0.
错解：
移项，得x2-6x=6，故（x-3）2=0
解得x1=x2=3.
错因：
运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.
正解：
移项，得x2-6x=6,
所以x2-6x+9=6+9,
即（x3）2=15,
解得x<|=3+』15,x2=3-.15.
十四、概念不清，导致错误
题目14下列方程中，一元二次方程为
22212V3
⑴4X3X；⑵（X2）3X10；⑶3X4XE0；
⑷x20；（5）•、厂2；（6）6x（x5）6x2.
错解：
多找了⑵或（6）或少找了⑶或⑷
错因：
多找了
（2）或（6）是因为没将方程整理，少找（3）是将它看作是分式方程，少找了（4）是因为方程没有一次项，常数项过于简单.判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.
正解：
是方程
（1）,（3）,（4）
十五、忽略二次项系数az0导致字母系数取值范围扩大
题目15.如果关于X的一元二次方程（m2）x23xm240有一个解是0,求0的勺值.
错解：
将X=0代入方程中，得（m2）0230m240,
m24m2
>・
错因：
由一元二次方程的定义知m20，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解：
将X0代入方程中，得
2
m4,m2
十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解
题目16.关于x的方程mx?
3xxmx2是--元二次方程的条件是什么错解：
由一元二次方程的定义知m0.
错因：
一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.
而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得（m1）x2（3m）x20,
m10,m1
正解：
关于x的方程mx23xx2mx2是一兀二次方程的条件为m1.
十七、忽略一元二次方程有实根条件0导致错解
题目17.已知捲，X2是方程x2（k2）xk23k50的两实根，求捲2X22的最大值.错解：
由根与系数的关系得
2
x-ix2k2x!
x2k3k5
所以当k5时，xjX22有最大值19.
错因：
当k5时，原方程变为x27x150，此时△<0,方程无实根.错因是忽略了0这一重要前提.
正解：
由于方程有两实根，故0,
2
即（k2）4（k23k5）0,
解得—4Wk<-电.
3
所以当k4时，为2X22有最大值18.
十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解
题目18.若（x2y21）（x2y23）5,则x2y2=.
错解：
（x2y2）22（x2y2）80
（x2y24）（x2y22）0
解得x2y2=4或x2y2=-2
错因：
忽视了x2y2的非负性，所以应舍去X2y2=-2.
正解：
4
题目19、已知方程ax23x50有两个实数根，求a的取值范围.
错解：
v已知方程有两个实数根，
/.△>0,
即324a（5）0,
a>——.
20
所以C的取值范围是大于或等于-2的实数.
20
错因：
因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数a不为0的条件。
正解：
a>——且炉0.
20
题目20、当k为何值时，方程kx22x30有实根？
错解：
V已知方程有实根，
•••△=（—2）2—4X3k>0,
解得k<-.又kz0,
3
•当k<-且kz0时，方程kx2—2x+3=0有实根.
3
错因：
题目未说明已知方程为一元二次方程，当k=0时，方程为一元一次方程，此时有实根x=3，也符合题意。
2
正解：
当k<-时，已知方程有实根.
3
题目21、已知关于x的方程（m2—1）x2—（m+1）x+1=0的两实数根互为倒数，求m的值.
错解：
v已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知解得mJ.
经检验，它们都是方程齐1的根，
所以m的值为匹,-,2.
错因：
求出的m值需保证已知方程有两个实数根，因此m的值除满足是解题过程中的分式方程的根外（m工士1），还需代入已知方程的根的判别式进行检验.实际上，当m二一...2时，方程为X2（1.2）x10,△=32240,此时已知方程无实数根.
正解：
m的值是.2.
、,22
pxq0的两个实数根，且X1x23X1X21,
错解：
由根与系数关系，有x1x2p,XfX2q.
由X12X223X1X21,得
2
（X1X2）X1X21
•••p2+q=1.①
1
（X1X2）
（1）0
X1X2
1
p（1J0.②
由②得p=0或q=-1.
当p=0时，代入①得q=1.
当q二—1时，代入①得p=±.2.
所以p,q的值是0,1或2,—1或—门,—1.
错因：
与题目3类似，当p=0,q=1时，方程为X2+1=0，此时没有实数根。
正解：
p,q的值为,—1或一\2?
—1.
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