届一轮复习全国 三角函数解三角形 教案资料.docx

1、届一轮复习全国 三角函数解三角形 教案资料第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数本节主要包括3个知识点：1.角的概念； 2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.突破点(一)角的概念基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类角的分类3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 终边相同的角例1(1)设集合M，Nxx18045，kZ，那么()AMN BMN CNM DMN(2)在7200范围内所有与45

2、终边相同的角为_解析(1)法一：由于Mxx18045，kZ，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN.法二：由于M中，x18045k904545(2k1)，kZ,2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，kZ，k1是整数，因此必有MN.(2)所有与45有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k(kZ)，从而k2或k1.将k2，k1分别代入45k360(kZ)，得675或315.答案(1)B(2)675或315方法技巧终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些

3、条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角象限角例2(1)给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角解析(1)22，从而是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而400是第四象限角，故正确；31536045，从而315是第一象限角，故正确(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，

4、是第三象限角答案(1)C(2)C方法技巧确定(n2，且nN*)的终边位置的方法(1)讨论法用终边相同角的形式表示出角的范围；写出的范围；根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置(2)等分象限角的方法已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第几象限角等分：将每个象限分成n等份；标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；选答：出现数字m的区域，即为的终边所在的象限能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；若sin

5、 sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：选A由于第一象限角如370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时，既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知只有正确2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样比较各选项，可知选C.3.若为第一象限角，则k180(kZ)是

6、第_象限角解析：是第一象限角，k为偶数时，k180的终边在第一象限；k为奇数时，k180的终边在第三象限即k180(kZ)是第一或第三象限角答案：一或三4.终边在直线yx上的角的集合为_解析：终边在直线yx上的角的集合为k，kZ.答案：k，kZ5.已知与150角的终边相同，写出与终边相同的角的集合，并判断是第几象限角解：与终边相同的角的集合为|k360150，kZ则k12050，kZ.若k3n(nZ)，是第一象限角；若k3n1(nZ)，是第二象限角；若k3n2(nZ)，是第四象限角故是第一、第二或第四象限角突破点(二)弧度制及其应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1弧度制的定义把长度等于

7、半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2弧度制下的有关公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r2考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 扇形的弧长及面积公式典例(1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4(2)若扇形的圆心角是120，弦长AB12 cm，则弧长l_cm.解析(1)设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.(2)设扇形的半径为r cm，如图由sin 60，得r4(cm)，又，所以l|r4(cm)答案(1)C(2)方法技巧弧度制下有关弧长

8、、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1若一扇形的圆心角为72，半径为20 cm，则扇形的面积为()A40 cm2 B80 cm2C40 cm2 D80 cm2解析：选B72，S扇形r220280(cm2)2如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的_倍解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的

9、倍，则弧度数变为3，即弧度数变为原来的3倍答案：33弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_解析：由题可知，弧长l3，圆心角135，所以半径r4.面积Slr346.答案：464已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是，半径是r，则2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.当且仅当r10时，Smax100，此时2101040，2.所以当r10，2时，扇形的面积最大突破点(三)任意角的三角函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正

10、弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”三角函数值的符号判定例1(1)若sin tan 0，且0，cos 30，故sin 2cos 3tan 40，故选C.2.已知是第四象限角，则sin(sin )()A大于0 B大于等于0C小于0 D小于等于0解析：选C是第四象限角，sin (1,0)令sin ，当10时，sin 0.故sin(sin )0.3.已知角的终边与单位圆的交点P，则tan ()A. B C. D解析：选B因为P在单位圆上，所以x221，解得

11、x.所以tan .4.设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A. B. C D解析：选D是第二象限角，x0.又由题意知x，解得x3.tan .5.已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，即20且tan 0，得的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan 0，得的终边在第二或第四象限，所以是第四象限角2若k360，m360(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称解析：选C角与终边相同，与终边相同又角与的终边关于x轴对称，所以角与

12、的终边关于x轴对称3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()A. B. C. D2解析：选C设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r.根据题意，由rr，得.4角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP|，则mn等于()A2 B2 C4 D4解析：选A角的终边与直线y3x重合，且sin 0，角的终边在第三象限又P(m，n)是角终边上一点，故m0，n0.又|OP|，解得m1，n3，故mn2.5设角是第三象限角，且sin，则角是第_象限角解析：由角是第三象限角，知2k2k(kZ)，则kk(kZ)，故是第二或第四象限角由sin知s

13、in1，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由已知得(sin cos )21，即12sin cos 1，则sin cos 1知sin cos ，所以sin 0cos ，所以角的终边在第二象限2若是第三象限角，则y的值为()A0 B2 C2 D2或2解析：选A由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角当是第二象限角时，sin0，cos0，y110；当是第四象限角时，sin0，y110.故选A.3已知角的终边经过一点P(x，x21)(x0)，则tan 的最小值为()A1 B2 C. D.解析：选Btan x2 2，当且仅当x1时取等号，即tan 的最小值为2.故选B

14、.4如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP，则点P的坐标是()A(cos ，sin )B(cos ，sin )C(sin ，cos )D(sin ，cos )解析：选A由三角函数定义知，点P的横坐标xcos ，纵坐标ysin .5已知角的终边与单位圆x2y21交于P，则cos 2()A B1C. D解析：选A角的终边与单位圆x2y21交于P，2(y0)21，y0，则cos ，sin ，cos 2cos2sin2.6(2017连云港质检)已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为()A. B.C. D.解析：选D，角为第四象限角，且sin ，cos .角的最小正值为.二

15、、填空题7已知点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则是第_象限角解析：因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以即所以为第二象限角答案：二8已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，则m_.解析：由题设知点P的横坐标x，纵坐标ym，r2|OP|2()2m2(O为原点)，即r.sin ，r2，即3m28，解得m.答案：9一扇形的圆心角为120，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为_解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r，如图则(Rr)sin 60r，即Rr.又S扇|R2R2R22r2r2，S内切圆r2，所以.答案：(74)910在(0,2)内，使sin xco

16、s x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x.答案：三、解答题11已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求角终边所在的象限；(3)试判断 tansin cos的符号解：(1)由sin 0，知角的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上；由tan 0, 知角的终边在第一、三象限，故角的终边在第三象限，其集合为.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，当k为偶数时，角终边在第二象限；当k为奇数时，角终边在第四象限故角终边在第二或第四象限(3)当角在第二象限时，tan

17、 0，sin 0, cos 0，所以tansincos取正号；当在第四象限时， tan0，sin0, cos0，所以 tansincos也取正号因此，tansin cos 取正号12已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，l4，即2时，扇形面积取得最大值4.此时弦长AB2sin 124sin 1.第二 节同角三角函数的基本关系与诱导公式本节主要包括2个知识点

18、：1.同角三角函数的基本关系；2.三角函数的诱导公式.突破点(一)同角三角函数的基本关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan .2同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)(sin cos )22sin cos tan表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin cos )212sin cos 进行变形、转化表达式中含有sin co

19、s 或sin cos 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 化简求值例1(2017南京模拟)已知为第二象限角，则cos sin _.解析原式cos sin cos sin ，因为是第二象限角，所以sin 0, cos 0，所以cos sin 110，即原式等于0.答案0条件求值例2若tan 2，则(1)_；(2)4sin23sin cos 5cos2_.解析(1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21.答案(1)1(2)1方法技巧同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2cos21，tan 3x都成立，但是sin2cos21就不一定成立(2)对于含有s

20、in ，cos 的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入sin cos 与sin cos 关系的应用例3已知x(，0)，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.由x(，0)，知sin x0，cos x0，则sin xcos x0，故sin xcos x.(2).方法技巧同角三角函数关系式的方程思想对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin cos )212sin cos ，体现了方程思想的应用能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A. B C. D解析：选D因为为第四象限角，故cos ，所以tan .2.(2017厦门质检)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()A B. C D.解析：选B，cos 0，sin 0且|cos |s