届一轮复习全国 三角函数解三角形 教案资料.docx

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届一轮复习全国三角函数解三角形教案资料

第四章三角函数、解三角形

第一节

任意角和弧度制、任意角的三角函数

本节主要包括3个知识点：

1.角的概念；2.弧度制及其应用；

3.任意角的三角函数.

突破点

（一）　角的概念

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

2．角的分类

角的分类

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：

S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

终边相同的角

[例1]　

（1）设集合M＝，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么（　　）

A．M＝NB．M⊆N

C．N⊆MD．M∩N＝∅

（2）在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．

[解析]　

（1）法一：

由于M＝xx＝·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.

法二：

由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·（2k＋1），k∈Z,2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M⊆N.

（2）所有与45°有相同终边的角可表示为：

β＝45°＋k×360°（k∈Z），

则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－（k∈Z），

从而k＝－2或k＝－1.将k＝－2，k＝－1分别代入β＝45°＋k×360°（k∈Z），得β＝－675°或β＝－315°.

[答案]　

（1）B　

（2）－675°或－315°

[方法技巧]

终边相同角的集合的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．　

象限角

[例2]　

（1）给出下列四个命题：

①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

（2）若角α是第二象限角，则是（　　）

A．第一象限角

B．第二象限角

C．第一或第三象限角

D．第二或第四象限角

[解析]　

（1）－＝－2π＝＋π－2π，从而－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．

（2）∵α是第二象限角，

∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.

当k为偶数时，是第一象限角；

当k为奇数时，是第三象限角．

[答案]　

（1）C　

（2）C

[方法技巧]

确定（n≥2，且n∈N*）的终边位置的方法

（1）讨论法

①用终边相同角的形式表示出角α的范围；

②写出的范围；

③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．

（2）等分象限角的方法

已知角α是第m（m＝1,2,3,4）象限角，求是第几象限角．

①等分：

将每个象限分成n等份；

②标注：

从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；

③选答：

出现数字m的区域，即为的终边所在的象限．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；

④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；

⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选A　由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．

2.集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）

解析：

选C　当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．比较各选项，可知选C.

3.若α为第一象限角，则β＝k·180°＋α（k∈Z）是第________象限角．

解析：

∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α的终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k·180°＋α（k∈Z）是第一或第三象限角．

答案：

一或三

4.终边在直线y＝x上的角的集合为________．

解析：

终边在直线y＝x上的角的集合为αα＝kπ＋，k∈Z.

答案：

αα＝kπ＋，k∈Z

5.已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角．

解：

与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．

则＝k·120°＋50°，k∈Z.

若k＝3n（n∈Z），是第一象限角；

若k＝3n＋1（n∈Z），是第二象限角；

若k＝3n＋2（n∈Z），是第四象限角．

故是第一、第二或第四象限角．

突破点

（二）　弧度制及其应用

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．弧度制的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2．弧度制下的有关公式

角α的弧度数公式

|α|＝（弧长用l表示）

角度与弧度的换算

①1°＝rad；②1rad＝°

弧长公式

弧长l＝|α|r

扇形面积公式

S＝lr＝|α|r2

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

扇形的弧长及面积公式

[典例]　

（1）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）

A．1B．4C．1或4D．2或4

（2）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝________cm.

[解析]　

（1）设此扇形的半径为r，弧长为l，

则解得或

从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.

（2）设扇形的半径为rcm，如图．

由sin60°＝，得r＝4（cm），

又α＝，

所以l＝|α|·r＝×4＝π（cm）．

[答案]　

（1）C　

（2）π

　[方法技巧]

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

（1）明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．

（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解．　

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）

A．40πcm2　　　　　　B．80πcm2

C．40cm2D．80cm2

解析：

选B　∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π（cm2）．

2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．

解析：

设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.

将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，

则弧度数变为＝3·，

即弧度数变为原来的3倍．

答案：

3

3．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

解析：

由题可知，弧长l＝3π，圆心角α＝135°＝，

所以半径r＝＝＝4.面积S＝lr＝×3π×4＝6π.

答案：

4　6π

4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？

解：

设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.

又S＝θr2＝r（40－2r）＝r（20－r）＝－（r－10）2＋100≤100.

当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.

所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．

突破点（三）　任意角的三角函数

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

y叫做α的正弦，记作sinα

x叫做α的余弦，记作cosα

叫做α的正切，记作tanα

各象限符号

Ⅰ

＋

＋

＋

Ⅱ

＋

－

－

Ⅲ

－

－

＋

Ⅳ

－

＋

－

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

三角函数值的符号判定

[例1]　

（1）若sinαtanα<0，且<0，则角α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

（2）sin2·cos3·tan4的值（　　）

A．小于0B．大于0

C．等于0D．不确定

[解析]　

（1）由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．

由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．

（2）2rad,3rad是第二象限角，所以sin2>0，cos3<0，4rad是第三象限角，所以tan4>0，故sin2·cos3·tan4<0.

[答案]　

（1）C　

（2）A

根据三角函数的定义求三角函数值

[例2]　

（1）已知角α的终边经过点P（4，－3），则sinα＝________.

（2）若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．

[解析]　

（1）sinα＝＝－.

（2）设α终边上任一点为P（－4a,3a），

当a＞0时，r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；

当a＜0时，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

[答案]　

（1）－

[方法技巧]

由三角函数定义求三角函数值的方法

（1）已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．

（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．　

由三角函数值求点的坐标

[例3]　

（1）若角α的终边上有一点P（－4，a），且sinα·cosα＝，则a的值为（　　）

A．4B．±4

C．－4或－D.

（2）若420°角的终边所在直线上有一点（x,3），则x的值为________．

[解析]　

（1）由三角函数的定义得sinα·cosα＝·＝＝，

即a2＋16a＋16＝0，

解得a＝－4或－.故选C.

（2）由三角函数的定义知tan420°＝，

所以x＝＝＝.

[答案]　

（1）C　

（2）

[方法技巧]

求角α终边上点的坐标的类型及方法

（1）已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

（2）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是（　　）

A．sinB．cos

C．tanD．cos2θ

解析：

选C　由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan>0，故选C.

2.已知θ是第四象限角，则sin（sinθ）（　　）

A．大于0B．大于等于0

C．小于0D．小于等于0

解析：

选C　∵θ是第四象限角，∴sinθ∈（－1,0）．令sinθ＝α，当－1<α<0时，sinα<0.故sin（sinθ）<0.

3.已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝（　　）

A.B．±

C.D．±

解析：

选B　因为P在单位圆上，所以x2＋2＝1，解得x＝±.所以tanα＝±.

4.设α是第二象限角，P（x,4）为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝（　　）

A.B.

C．－D．－

解析：

选D　∵α是第二象限角，∴x<0.

又由题意知＝x，

解得x＝－3.

∴tanα＝＝－.

5.已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵cosα≤0，sinα＞0，

∴即－2

答案：

（－2,3]

近五年全国卷对本节内容未直接考查

[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]

1．若cosα>0且tanα<0，则α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

解析：

选D　由cosα>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tanα<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．

2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ（k，m∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（　　）

A．重合B．关于原点对称

C．关于x轴对称D．关于y轴对称

解析：

选C　角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．

3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α（0<α<π）的弧度数为（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

选C　设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r.根据题意，由r＝αr，得α＝.

4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于（　　）

A．2B．－2

C．4D．－4

解析：

选A　∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，

∴角α的终边在第三象限．又P（m，n）是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝，∴解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.

5．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．

解析：

由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋（k∈Z），则kπ＋<

答案：

四

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．已知sinθ－cosθ>1，则角θ的终边在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选B　由已知得（sinθ－cosθ）2>1，即1－2sinθcosθ>1，则sinθcosθ<0.又由sinθ－cosθ>1知sinθ>cosθ，所以sinθ>0>cosθ，所以角θ的终边在第二象限．

2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为（　　）

A．0B．2

C．－2D．2或－2

解析：

选A　由于α是第三象限角，

所以是第二或第四象限角．

当是第二象限角时，sin>0，cos<0，

y＝＋＝1－1＝0；

当是第四象限角时，sin<0，cos>0，

y＝＋＝－1＋1＝0.故选A.

3．已知角α的终边经过一点P（x，x2＋1）（x>0），则tanα的最小值为（　　）

A．1B．2

C.D.

解析：

选B　tanα＝＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，即tanα的最小值为2.故选B.

4．如图，在直角坐标系xOy中

，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是（　　）

A．（cosθ，sinθ）

B．（－cosθ，sinθ）

C．（sinθ，cosθ）

D．（－sinθ，cosθ）

解析：

选A　由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cosθ，纵坐标y＝sinθ.

5．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，则cos2α＝（　　）

A．－B．1

C.D．－

解析：

选A　∵角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，

∴2＋（y0）2＝1，∴y0＝±，

则cosα＝，sinα＝±，

∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－.

6．（2017·连云港质检）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　∵＝，

∴角α为第四象限角，且sinα＝－，cosα＝.

∴角α的最小正值为.

二、填空题

7．已知点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，则θ是第________象限角．

解析：

因为点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第三象限，

所以即

所以θ为第二象限角．

答案：

二

8．已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sinα＝，

则m＝________.

解析：

由题设知点P的横坐标x＝－，纵坐标y＝m，

∴r2＝|OP|2＝（－）2＋m2（O为原点），

即r＝.

∴sinα＝＝＝，

∴r＝＝2，

即3＋m2＝8，解得m＝±.

答案：

±

9．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．

解析：

设扇形半径为R，内切圆半径为r，如图．

则（R－r）sin60°＝r，

即R＝r.

又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝2r2＝πr2，S内切圆＝πr2，

所以＝.

答案：

（7＋4）∶9

10．在（0,2π）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为________．

解析：

如图所示，找出在（0,2π）内，使sinx＝cosx的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x∈.

答案：

三、解答题

11．已知sinα＜0，tanα＞0.

（1）求角α的集合；

（2）求角终边所在的象限；

（3）试判断tansincos的符号．

解：

（1）由sinα＜0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上；

由tanα＞0,知角α的终边在第一、三象限，

故角α的终边在第三象限，其集合为

.

（2）由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，

得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，

当k为偶数时，角终边在第二象限；

当k为奇数时，角终边在第四象限．

故角终边在第二或第四象限．

（3）当角在第二象限时，tan＜0，

sin＞0,cos＜0，

所以tansincos取正号；

当在第四象限时，tan＜0，

sin＜0,cos＞0，

所以tansincos也取正号．

因此，tansincos取正号．

12．已知扇形AOB的周长为8.

（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解：

设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

（1）由题意可得

解得或

∴α＝＝或α＝＝6.

（2）∵2r＋l＝8，

∴S扇＝lr＝r（8－2r）＝r（4－r）＝－（r－2）2＋4≤4，

当且仅当r＝2，l＝4，

即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

此时弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

本节主要包括2个知识点：

1.同角三角函数的基本关系；

2.三角函数的诱导公式.

突破点

（一）　同角三角函数的基本关系

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1（α∈R）．

（2）商数关系：

tanα＝.

2．同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧

解读

适合题型

切弦互化

主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tanθ化成正切

表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ

“1”的变换

1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ（1＋tan2θ）＝（sinθ±cosθ）2∓2sinθcosθ＝tan

表达式中需要利用“1”转化

和积转换

利用关系式（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化

表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

化简求值

[例1]　（2017·南京模拟）已知α为第二象限角，则cosα·＋sinα＝________.

[解析]　原式＝cosα＋sinα

＝cosα·＋sinα·，

因为α是第二象限角，

所以sinα＞0,cosα＜0，

所以cosα·＋sinα·＝－1＋1＝0，即原式等于0.

[答案]　0

条件求值

[例2]　若tanα＝2，则

（1）＝________；

（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.

[解析]　

（1）＝＝＝－1.

（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α

＝＝

＝＝1.

[答案]　

（1）－1　

（2）1

[方法技巧]

同角三角函数关系式应用的注意事项

（1）同角并不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，＝tan3x都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．

（2）对于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．

　sinα±cosα与sinαcosα关系的应用

[例3]　已知x∈（－π，0），sinx＋cosx＝.

（1）求sinx－cosx的值；

（2）求的值．

[解]　

（1）由sinx＋cosx＝，

平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，

整理得2sinxcosx＝－.

∴（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.

由x∈（－π，0），知sinx<0，

又sinx＋cosx>0，

∴cosx>0，则sinx－cosx<0，

故sinx－cosx＝－.

（2）＝

＝＝＝－.

[方法技巧]

同角三角函数关系式的方程思想

对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用．　

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于（　　）

A.B．－C.D．－

解析：

选D　因为α为第四象限角，故cosα＝＝＝，所以tanα＝＝＝－.

2.（2017·厦门质检）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为（　　）

A．－B.C．－D.

解析：

选B　∵<α<，∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|s