圆的标准方程.docx

1、圆的标准方程4.1.1 圆的标准方程适用学科高中数学。适用年级高一年级。适用区域人教A版。课时时长（分钟）45分钟知识点（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.学习目标1过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.2情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.学习重点圆的标准方程学习难点会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、复习预习在直角坐标系中，确定直线的基本要素

2、是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？二、知识讲解确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r0)设M (x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P = M|MA| = r，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件 化简可得：(x a)2 + (y b)2 = r2引导学生自己证明(x a)2 + (y b)2 = r2为圆的方程，得出结论.方程就是圆

3、心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.三、例题精析【例题1】【题干】写出圆心为A (2，3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，7)， 是否在这个圆上.【答案】解：圆心是A(2，3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)22 + ( y + 3)2 =25.把M1 (5，7)，M2 ( ，1) 的坐标代入方程(x 2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 ( ，1)的坐标代入方程(x 2)2 + (y +3)2 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上【解析】分

4、析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x a)2 + (y b)2 = r2的关系的判断方法：（1）(x0 a)2 + (y0 b)2r2，点在圆外.（2）(x0 a)2 + (y0 b)2 = r2，点在圆上. （3）(x0 a)2 + (y0 b)2 r2，点在圆内.【例题2】【题干】ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，3)，C(2， 8). 求它的外接圆的方程.【答案】解：设所求圆的方程是(x a)2 + (y b)2 = r2. 因为A (5，1)，B (7，3)，C (2， 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程. 于是解此方程组，得所以，A

5、BC的外接圆的方程是(x 2)2 + (y +3)2 =25.【解析】师生共同分析：从圆的标准方程(x a)2 + (y b)2 = r2.可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)【例题3】【题干】已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，2)，且圆心在l : x y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.【答案】解：因为A (1，1)，B (2， 2)，所以线段AB的中点D的坐标为( ， )，直线AB的斜率kAB = = 3，因为线段AB的垂直平分线l的方程是y + ，即x 3y 3 = 0.圆心C的坐标是方程组解此方程组，得所以圆心

6、C的坐标是(3，2) .圆心为C的圆的半径长r =|AC|= = 5.所以，圆心为C的圆的标准方程是(x + 3)22 + (y +2)2 =25.【解析】师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)四、课堂运用【基础】1.【题干】圆心在直线x 2y 3 = 0上，且过A(2，3)，B(2，5)，求圆的方程.【答案】所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y +

7、2)2 = 10【解析】解法1：设所求的圆的方程为(x a)2 + (y b)2 = r2由条件知 解方程组得 即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10解法2： ，AB的中点是(0，4)，所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0由 得 因为圆心为(1, 2 )又 .所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 102. 【题干】圆C：（x+1）2+（y-3）2=9上有两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，则m等于（）【答案】-1【解析】解：由题意可得圆心（-1，3）在直线x+my+4=0上，故有-1+3m+4=0 m=-1，【巩固】1.

8、【题干】的三个顶点坐标是A（5，1）B(7，-3)C(2，-8)求它的外接圆方程。【答案】（x-2)2+(y+3)2=25【解析】解:设圆的方程是: (x-a)2+(y-b)2=r2 因为 都在圆上,所以它们的坐标都满足方程,于是解得:所以的外接圆方程是(x-2)2+(y+3)2=252. 【题干】圆（x-1）2+（y-2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）【答案】（x-2）2+（y-1）2=1【解析】解：点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P（y，x），（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），圆（x-1）2+（y-2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x-2）2+（y-1）

9、2=1【拔高】1. 【题干】 若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）【答案】【解析】解：圆C经过（1，0），（3，0）两点，圆心在直线x=2上可设圆心C（2，b）又圆C与y轴相切，半径r=2圆C的方程为（x-2）2+（y-b）2=4圆C经过点（1，0），（1-2）2+b2=4b2=3b3圆C的方程为2.【题干】已知平面上点P（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）2=16，其中x02+y02=4，当x0，y0变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是（）【答案】32【解析】解：由题意可得，点P在圆）|（x-x0）2+（y-y0）2=16上，而且圆心（x0

10、，y0）在以原点为圆心，以2为半径的圆上满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即36-4=32，课程小结1圆的标准方程.2点与圆的位置关系的判断方法.3根据已知条件求圆的标准方程的方法.课后作业【基础】1.【题干】已知三点A(3，2)，B(5，3)，C(1，3)，以P(2，1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.【题干】与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A（x+1）2+（y+1）2=2 B（x+1）2+（y+1）2=4C（x-1）2+（y+1）

11、2=2 D（x-1）2+（y+1）=4【巩固】1.【题干】已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y-1）2=2B（x-1）2+（y+1）2=2C（x-1）2+（y-1）2=2D（x+1）2+（y+1）2=22.已知圆C与直线 及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 【拔高】1.【题干】过点P（-1，0）作圆C：（x-1）2+（y-2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）2. 已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A.(x1)2(y1)21B.(x2)2(y2)21C.(x1)2(y1)21D.(x2)2(y2)21