圆的标准方程.docx
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圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程
适用学科
高中数学。
适用年级
高一年级。
适用区域
人教A版。
课时时长（分钟）
45分钟
知识点
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
学习目标
1．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
2．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
学习重点
圆的标准方程
学习难点
会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
学习过程
一、复习预习
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？
圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
什么叫圆？
在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？
如果能，这个方程具有什么特征？
二、知识讲解
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a，b），半径为r（其中a、b、r都是常数，r＞0）设M（x，y）为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M|MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件
①
化简可得：
（x–a）2+（y–b）2=r2②
引导学生自己证明（x–a）2+（y–b）2=r2
为圆的方程，得出结论.
方程②就是圆心为A（a，b）半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
三、例题精析
【例题1】
【题干】写出圆心为A（2，–3）半径长等于5的圆的方程，并判断点M1（5，–7），是否在这个圆上.
【答案】解：
圆心是A（2，–3），半径长等于5的圆的标准方程是（x+3）22+（y+3）2=25.
把M1（5，–7），M2（，–1）的坐标代入方程（x–2）2+（y+3）2=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2（，–1）的坐标代入方程（x–2）2+（y+3）2=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上
【解析】分析探求：
可以从计算点到圆心的距离入手.
探究：
点M（x0，y0）与圆（x–a）2+（y–b）2=r2的关系的判断方法：
（1）（x0–a）2+（y0–b）2＞r2，点在圆外.
（2）（x0–a）2+（y0–b）2=r2，点在圆上.
（3）（x0–a）2+（y0–b）2＜r2，点在圆内.
【例题2】
【题干】△ABC的三个顶点的坐标是A（5，1），B（7，–3），C（2，–8）.求它的外接圆的方程.
【答案】解：
设所求圆的方程是（x–a）2+（y–b）2=r2.①
因为A（5，1），B（7，–3），C（2，–8）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是
解此方程组，得
所以，△ABC的外接圆的方程是（x–2）2+（y+3）2=25.
【解析】师生共同分析：
从圆的标准方程（x–a）2+（y–b）2=r2.可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，（学生自己运算解决）
【例题3】
【题干】已知圆心为C的圆C.经过点A（1，1）和B（2，–2），且圆心在
l:
x–y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
【答案】解：
因为A（1，1），B（2，–2），所以线段AB的中点D的坐标为（
，
），直线AB的斜率
kAB==–3，
因为线段AB的垂直平分线l′的方程是
y+
，
即x–3y–3=0.
圆心C的坐标是方程组
解此方程组，得
所以圆心C的坐标是（–3，–2）.
圆心为C的圆的半径长
r=|AC|=
=5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
（x+3）22+（y+2）2=25.
【解析】师生共同分析：
如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，–2），由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.（教师板书解题过程）
四、课堂运用
【基础】
1.【题干】圆心在直线x–2y–3=0上，且过A（2，–3），B（–2，–5），求圆的方程.
【答案】所求的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10
【解析】解法1：
设所求的圆的方程为（x–a）2+（y–b）2=r2
由条件知
解方程组得
即所求的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10
解法2：
，AB的中点是（0，–4），
所以AB的中垂线方程为2x+y+4=0
由
得
因为圆心为（–1,–2）又
.
所以所求的圆的方程是（x+1）2+（y+2）2=10
2.【题干】圆C：
（x+1）2+（y-3）2=9上有两点P，Q关于直线x+my+4=0对称，则m等于（ ）
【答案】-1
【解析】解：
由题意可得圆心（-1，3）在直线x+my+4=0上，
故有-1+3m+4=0m=-1，
【巩固】
1.【题干】
的三个顶点坐标是A（5，1）B（7，-3）C（2，-8）求它的外接圆方程。
【答案】（x-2）2+（y+3）2=25
【解析】解:
设圆的方程是:
（x-a）2+（y-b）2=r2因为都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①,于是
解得:
所以
的外接圆方程是
（x-2）2+（y+3）2=25
2.【题干】圆（x-1）2+（y-2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（ ）
【答案】（x-2）2+（y-1）2=1
【解析】解：
∵点P（x，y）关于直线y=x对称的点为P'（y，x），
∴（1，2）关于直线y=x对称的点为（2，1），
∴圆（x-1）2+（y-2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=1．
【拔高】
1.【题干】若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（ ）
【答案】
【解析】解：
∵圆C经过（1，0），（3，0）两点，
∴圆心在直线x=2上．
可设圆心C（2，b）．
又∵圆C与y轴相切，
∴半径r=2．
∴圆C的方程为（x-2）2+（y-b）2=4．
∵圆C经过点（1，0），
∴（1-2）2+b2=4．
∴b2=3．
∴b＝±3
∴圆C的方程为
2.【题干】已知平面上点P∈{（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）2=16，其中x02+y02=4，当x0，y0变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是（ ）
【答案】32π
【解析】解：
由题意可得，点P在圆）|（x-x0）2+（y-y0）2=16上，
而且圆心（x0，y0）在以原点为圆心，以2为半径的圆上．
满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，
即36π-4π=32π，
课程小结
1．圆的标准方程.
2．点与圆的位置关系的判断方法.
3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.
课后作业
【基础】
1.【题干】已知三点A（3，2），B（5，–3），C（–1，3），以P（2，–1）为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
2.【题干】与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．（x+1）2+（y+1）2=2B．（x+1）2+（y+1）2=4
C．（x-1）2+（y+1）2=2D．（x-1）2+（y+1）=4
【巩固】
1.【题干】已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）
A．（x+1）2+（y-1）2=2
B．（x-1）2+（y+1）2=2
C．（x-1）2+（y-1）2=2
D．（x+1）2+（y+1）2=2
2.已知圆C与直线
及
都相切，圆心在直线
上，则圆C的方程为（）
A.
B.
C.
D.
【拔高】
1.【题干】过点P（-1，0）作圆C：
（x-1）2+（y-2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（ ）
2.已知圆C1：
（x＋1）2＋（y－1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为（ ）
A.（x－1）2＋（y＋1）2＝1
B.（x＋2）2＋（y－2）2＝1
C.（x＋1）2＋（y－1）2＝1
D.（x－2）2＋（y＋2）2＝1
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