《解直角三角形》全章复习与巩固提高知识讲解.docx

1、解直角三角形全章复习与巩固提高 知识讲解 解直角三角形全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cosA、tanA、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30、45、60的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识

2、解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为a，ba b c，斜边长为 ，那么 2 .c22（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在 RtABC 中，C=900，如果锐角 A 确定：A的对边(1)A 的对边与斜边的比值是A 的正弦，记作 sinA(

3、2)A 的邻边与斜边的比值是A 的余弦，记作 cosA(3)A 的对边与邻边的比值是A 的正切，记作 tanA(4)A 的邻边与对边的比值是A 的余切，记作 cotA斜边A的邻边斜边A的对边A的邻边A的邻边A的对边1 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“”，但不能写成sinA，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“”不能省略，应写成 sinBAC，而不能

4、写出 sinBAC.(3)sin A表示(sinA)，而不能写成 sinA .222(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角 A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以 sinA是A的函数.同样，cosA、tanA、cotA 也是A的函数，其中A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA 分别是对应的函数.其中自变量A的取值范围是 0A90，函数值的取值范围是 0sinA1，0cosA1，tanA0，cotA0.2锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化

5、公式” 如A+B=90，那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin Acos A=1；22sin Acos A1tanA=,cot A , tan A .cos Asin Acot A3.30、45、60角的三角函数值A45sinAcosAtanA11cotA在直角三角形中，如果一个角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.30、45、60角的三角函数值和解含 30、60角的直角三角形、含 45角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具.要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，

6、叫做解直角三角形2 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即A+B=90；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即ababsin A ,cos A , tan A ,cot A ccbaababsin B ,cos B , tan B ,cot B ccab要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边(3)解直角三角形的常见类型及解法：已

7、知条件由两直角边(a，b)两边由RtABC斜边，一直角边(如 c，a)锐角、邻边，(如A，b)一直角边一边一角和一锐角锐角、对边，(如A，a)B=90A，斜边、锐角(如 c，A)，3 要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角

8、三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：； 坡角: .(3)方向角：要点诠释：1用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角

9、形为直角三角形再求解4 2锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：【典型例题】类型一、锐角三角函数1在 RtABC中，C90，若将各边长度都扩大为原来的 2倍，则A的余切值(A扩大 2倍 B缩小 2倍 C扩大 4倍 D不变)【思路点拨】锐角三角函数的值是边之间的比值，跟边的长短无关.【答案】 D； A的临边 A的临边【解析】根据cot A 知 cotA的值与A的大小有关，与的比值有关对边对边 A的临边

10、当各边长度都扩大为原来的 2倍时，其的比值不变故选 D.对边【总结升华】锐角三角函数的大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.举一反三：DE 2 【变式】已知，如图， ABC中，CE AB BD AC，求 cosA及 tanABC 5CDABE【答案】易证点 B、C、D、E四点共圆，ADEABC，5 AD DE 2 ,22 21.21BDAD cosA=tanA=AB BC 521类型二、特殊角的三角函数值1(4 tan 45 ) b 2 3 b c0 2已知 a3，且A6，则以 a、b、c为边长的三角形面积等于()2B7C8D9【思路点拨】利用非负数之和等于 0 的性质，求出

11、b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，进而求出三角形的面积【答案】A；4 tan 45 b 0, b 4, 【解析】根据题意知 1解得 3 b c 0, 5. c 2 b c所以 a3，b4，c5，即 a2 ，其构成的三角形为直角三角形，且C90，221 ab 6所以 S2【总结升华】本题考察非负数的性质，勾股定理的逆定理.举一反三：【变式】计算：3 13 13 2 【答案】原式=22 3 3=3类型三、解直角三角形3如图所示，在等腰 RtABC 中，C90，AC6，D 是 AC 上一点，若tan DBA 的长为( )15，则 ADA2【答案】 A；B 3C 2D16 1

12、5tan DBA 【解析】如何用好是解题关解，因此要设法构造直角三角形，作 DEAB于点 EABC为等腰直角三角形，A45，AEDEDB 1tan DBA 设 DEx，则 AEx，由知 BE5x，EB 5AB6x，由勾股定理知 AC +BCAB，222222 26+6(6x)， x ，2AE2 2 2AD【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解若所在的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三

13、角形中的边或角替代所要求的元素等类型四、锐角三角函数与其它知识的综合54如图所示，直角ABC中，C90 ，AB 2 5 ，sin B，点P为边 BC上一动点，PDAB，5PD交 AC于点 D，连接 AP，(1)求 AC，BC的长；(2)设 PC的长为 x，AD的长为 y，求 y与 x之间的函数关系式【思路点拨】5 AC AB(1)在 RtABC中，由 AB 2 5 ，sin B，易得 AC2，再由勾股定理求 BC5PC CD BC AC11 xAD 2 x(2)由 PDAB可得，从而求出CD，则22【答案与解析】5(1)在 RtABC中，由sin B ，AB2 5得 AC2，由勾股定理得 BC

14、45AC DC 1 (2)PDAB，ABCDPC，BC PC 211 xAD 2 xPCx，则 DC，则2212- x即 y=.2【总结升华】本题综合考察了解直角三角形和相似三角形的知识.举一反三： BD于 F，AB 3，AD 4 AC 于点 E，PF【变式】如图，设 P是矩形 ABCD的 AD边上一动点，PE7 求 PE PF的值PEPFPD.【答案】如图，sin1=sin2=PA由矩形 ABCD知1=2，CD 3=AC 5则 PE=PAsin1，PF=PDsin2,sin1=，35125 4=所以 PE+PF= PAsin1+ PDsin2=（PA+PD）sin1=类型五、三角函数与实际问

15、题5（2015保康县模拟）如图，某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 CB=5米（1）求钢缆 CD 的长度；（精确到 0.1 米）（2）若 AD=2 米，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6 米，且EAB=120，则灯的顶端 E 距离地面多少米？（参考数据：tan40=0.84，sin40=0.64，cos40= ）【答案与解析】解：（1）在 Rt BCD 中，6.7；（2）在 Rt BCD 中，BC=5，BD=5tan40=4.2过 E 作 AB 的垂线，垂足为 F，在 Rt AFE 中，AE=1.6，EAF=180120=60，AF=0.8.FB=AF+AD

16、+BD=0.8+2+4.20=7 米答：钢缆 CD 的长度为 6.7 米，灯的顶端 E 距离地面 7 米8 【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.举一反三：【变式】小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差。如图，他利用测角仪站在C 处测得ACB68，再沿BC 方向走 80m 到达 D 处，测得ADC34，求落差AB。(测角仪高度忽略不计，结果精确到 1m)【答案】解：ACB68，D34，ACB 是ACD 的外角，CADACBD683434，CADD，ACCD80，在 RtABC 中，ABACsin68800.92774(m).答：落差 AB 为 74m.6

17、（2015 攀枝花）如图所示，港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60的方向一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向（北偏西 30）以 vkm/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快艇从港口 B 出发，沿北偏东 30的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去（1）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？（2）若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离【答案与解析】9 解：（1）CBO=60，COB=30，BCO=90在 RtBCO 中，OB=1

18、20，BC= OB=60，快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为：6060=1（小时）；（2）过 C 作 CDOA，垂足为 D，设相会处为点 E则 OC=OBcos30=60 ，CD= OC=30 ，OD=OCcos30=90，DE=903v222CE=60，CD +DE =CE ，222（30 ） +（903v） =60 ，v=20 或 40，当 v=20km/h 时，OE=320=60km，当 v=40km/h 时，OE=340=120km【总结升华】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题， 理解方向角的定义，得出BCO=90是解题的关键.举一反三：【变式】某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看

19、作直线l(如图)救生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C 处入海，径直向B 处游去甲在乙入海10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再向B处游去若 CD40 米，B 在 C 的北偏东 35方向，甲、乙的游泳速度都是2 米/秒问谁先到达 B 处？请说明理由(参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43)【答案】解：由题意得BCD55，BDC9010 BDCDtanBCDBDCDtanBCD40tan5557.2CDcosBCDBCCD40cos BCD cos55 57.2BC70.270.21035.1秒t 甲38.6 秒，t 乙22t t ，甲 乙答：乙先到达 B 处11