《解直角三角形》全章复习与巩固提高知识讲解.docx
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《解直角三角形》全章复习与巩固提高知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中两边的比；记
忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出
这个角的度数.
2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；
3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直
角三角形的有关知识解决简单的实际问题.
4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；
5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分
别为a，b
abc
，斜边长为，那么2.
c
2
2
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点二、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切、余切的定义
如右图，在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：
∠A的对边
（1）∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝
（2）∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝
（3）∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝
（4）∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝
斜边
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的邻边
∠A的对边
1
要点诠释：
（1）正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个
数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
（2）sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号
“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应
写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
（3）sinA表示（sinA），而不能写成sinA.
2
2
2
（4）三角函数有时还可以表示成
等.
2.锐角三角函数的定义
锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
要点诠释：
1.函数值的取值范围
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、
tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变
量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA＞
0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：
“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，
那么：
sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB,cotA=tanB.
同角三角函数关系：
sinA＋cosA=1；
2
2
sinA
cosA
1
tanA=
cotA
tanA
.
cosA
sinA
cotA
3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A
45°
sinA
cosA
tanA
1
1
cotA
在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本
章的重中之重，是几何计算题的基本工具.
要点三、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：
两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
边边关系：
勾股定理，即
；
边角关系：
锐角三角函数，即
a
b
a
b
sinA,cosA,tanA,cotA
c
c
b
a
a
b
a
b
sinB,cosB,tanB,cotB
c
c
a
b
要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
（1）已知两条边（一直角边和一斜边；两直角边）；
（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）．这两种情形的共同之处：
有一条边．因
此，直角三角形可解的条件是：
至少已知一条边．
（3）解直角三角形的常见类型及解法：
已知条件
由
两直角边（a，b）
两
边
由
Rt△ABC
斜边，一直角边（如c，a）
锐角、邻边
，
（如∠A，b）
一直角边
一
边
一
角
和一锐角
锐角、对边
，
（如∠A，a）
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角（如c，∠A）
，
3
要点四、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几
何图形，建立数学模型.
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问
题.
（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见的应用问题类型
（1）仰角与俯角：
（2）坡度：
；坡角:
.
（3）方向角：
要点诠释：
1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系
转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际
问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
4
2．锐角三角函数的应用
用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角
形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
如：
射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
【典型例题】
类型一、锐角三角函数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余切值（
A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变
）．
【思路点拨】锐角三角函数的值是边之间的比值，跟边的长短无关.
【答案】D；
A的临边
A的临边
【解析】根据cotA
知cot∠A的值与∠A的大小有关，与
的比值有关．
对边
对边
A的临边
当各边长度都扩大为原来的2倍时，其
的比值不变．故选D.
对边
【总结升华】锐角三角函数的大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
举一反三：
DE2
【变式】已知，如图，ABC
中，
CEABBDAC
，
，
，求cosA及tanA．
BC5
C
D
A
B
E
【答案】易证点B、C、D、E四点共圆，△ADE∽△ABC，
5
ADDE2
2
221.
21
BD
AD
cosA=
tanA=
ABBC5
21
类型二、特殊角的三角函数值
1
（4tan45°）b23bc0
2．已知a＝3，且
A．6
，则以a、b、c为边长的三角形面积等于（
）．
2
B．7
C．8
D．9
【思路点拨】利用非负数之和等于0的性质，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直
角三角形，进而求出三角形的面积．
【答案】A；
4tan45°b0,
b
4,
【解析】根据题意知1
解得
3bc0,
5.
c
2
bc
所以a＝3，b＝4，c＝5，即a
2，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，
2
2
1
ab6
所以S
．
2
【总结升华】本题考察非负数的性质，勾股定理的逆定理.
举一反三：
【变式】计算：
31
31
3
2
【答案】原式=
2
233
=
3
类型三、解直角三角形
3．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tanDBA
的长为（）．
1
5
，则AD
A．2
【答案】A；
B．3
C．2
D．1
6
1
5
tanDBA
【解析】如何用好
是解题关解，因此要设法构造直角三角形，作DE⊥AB于点E．
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴AE＝DE．
DB1
tanDBA
设DE＝x，则AE＝x，由
知BE＝5x，
EB5
∴AB＝6x，由勾股定理知AC+BC＝AB，
2
2
2
2
2
2
2
∴6+6＝（6x），∴x，
2
AE＝
222．
∴AD＝
【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知
一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解．若所
在的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作
辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．
类型四、锐角三角函数与其它知识的综合
5
4．如图所示，直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，sinB＝
，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连接AP，
（1）求AC，BC的长；
（2）设PC的长为x，AD的长为y，求y与x之间的函数关系式．
【思路点拨】
5AC
AB
（1）在Rt△ABC中，由AB＝25，sinB＝
，易得AC＝2，再由勾股定理求BC．
5
PCCD
BCAC
1
1
x
AD2x
（2）由PD∥AB可得
，从而求出CD
，则
2
2
【答案与解析】
5
（1）在Rt△ABC中，由sinB
，AB＝
25
得AC＝2，由勾股定理得BC＝4．
5
ACDC1
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴
．
BCPC2
1
1
x
AD2x
∵PC＝x，则DC
，则
2
2
1
2-x
即y=
.
2
【总结升华】本题综合考察了解直角三角形和相似三角形的知识.
举一反三：
BD于F，AB3，AD4
．
AC于点E，PF
【变式】如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，PE
7
求PEPF
的值．
PE
PF
PD
.
.
【答案】如图，sin∠1=
sin∠2=
PA
由矩形ABCD知∠1=∠2，
CD3
=
AC5
则PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1=
，
3
5
12
5
4=
所以PE+PF=PAsin∠1+PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1=
类型五、三角函数与实际问题
5．（2015•保康县模拟）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5
米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？
（参考数据：
tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=）
【答案与解析】
解：
（1）在Rt△BCD中，
，
∴
≈6.7；
（2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2．
过E作AB的垂线，垂足为F，
在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120°=60°，
AF=
=0.8.
∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米．
答：
钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．
8
【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.
举一反三：
【变式】小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差。
如图，他利用测角仪站在C处测
得∠ACB＝68°，再沿BC方向走80m到达D处，测得∠ADC＝34°，求落差AB。
（测角仪高度忽略不计，结
果精确到1m）
【答案】
解：
∵∠ACB＝68°，∠D＝34°，∠ACB是△ACD的外角，
∴∠CAD＝∠ACB－∠D＝68°－34°＝34°，
∴∠CAD＝∠D，
∴AC＝CD＝80，
在Rt△ABC中，AB＝AC×sin68°≈80×0.927≈74（m）.
答：
落差AB为74m.
6．（2015攀枝花）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°
的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇
从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即
按原来的速度给游船送去．
（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？
（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．
【答案与解析】
9
解：
（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°，
∴∠BCO=90°．
在Rt△BCO中，∵OB=120，
∴BC=OB=60，
∴快艇从港口B到小岛C的时间为：
60÷60=1（小时）；
（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．
则OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，
∴DE=90﹣3v．
2
2
2
∵CE=60，CD+DE=CE，
2
2
2
∴（30）+（90﹣3v）=60，
∴v=20或40，
∴当v=20km/h时，OE=3×20=60km，
当v=40km/h时，OE=3×40=120km．
【总结升华】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解
题的关键.
举一反三：
【变式】某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l（如图）．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情
况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上
巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B
处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒．问谁先到达B处？
请
说明理由．（参考数据：
sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】
解：
由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°
10
BD
CD
∵tan∠BCD＝
∴BD＝CD•tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2
CD
cos∠BCD＝
BC
CD
40
＝
cosBCDcos55
57.2
∴BC＝
≈70.2
70.2
＋10
＝35.1秒
∴t＝
甲
＝38.6秒，t＝
乙
2
2
∴t＞t，
甲乙
答：
乙先到达B处．
11
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