概率论与数理统计答案.docx

1、概率论与数理统计答案概率论与数理统计答案 1. 观察某地区未来 3 天的天气情况，记 表示“有 天不下雨”， 用事件运算的关系式表示：“三天均下雨” “三天中至少有一天不下雨” 。 正确答案： 2. 一根长为 的棍子在任意两点折断，则得到的三段能围成三角形的概率为 。 正确答案： . 3.两事件 与 相互独立，且满足 ， ，则 。 正确答案： 4. 已知随机变量 的概率分布为 ，则 ， 。 正确答案： 1， 5. 设随机变量 X 服从区间0，5上的均匀分布，对随机变量 X 的取值进行了三次独立观察，则至少有两次观察值不超过 2 的概率为 。 正确答案： 0.352 6. 随机变量 ，则由切比雪

2、夫不等式有 。 正确答案： 7. 已知随机变量 X 和 Y 的协方差矩阵为 ，则 = 。 正确答案： ， 2 8. 设总体 X 服从正态分布 ，其中 未知，现取得样本容量为 64 的一个样本，则 的 0.95的置信区间的长度为 。 正确答案： 0.98 9. 设总体 X 服从正态分布 ， 是总体的样本，则 ， 正确答案： ， 10. 设随机变量 的概率密度为 ，则 的概率密度为 。 正确答案： 二、选择题（每题 2 2 分，共 0 10 分） 1.设 设 A A ，B B 为两随机事件，且 ，则 ( ) 。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D 2. 已知随机变量 X X 的概率密度

3、函数 ( ( A 0,A 为常数) ) ，则概率（ 0 ）的值（）。 正确答案 A. 与 无关，随 的增大而增大 B. 与 无关，随 的增大而减小 C. 与 无关，随 的增大而增大 D. 与 无关，随 的增大而减小 正确答案：C 3. 若 ， ，那么 的联合分布为（）。 正确答案 A.二维正态分布，且 B.二维正态分布，且 不定 C.未必是二维正态分布 D.以上都不对 正确答案：C 4. 总体均值 的 的 95% 置信区间的意义是 ( ) 。 正确答案 A. 这个区间以 95%的概率含样本均值 B. 这个区间以 95%的概率含 的真值 C. 这个区间平均含总体 95%的值 D. 这个区间平均含

4、样本 95%的值 正确答案：B 5. 对正态总体的数学期望 进行假设检验，如果在显著水平 下接受 ，那么在显著水平1 0.01 下，下列结论中正确的是 ( ) 。 正确答案 A. 必须接受 B. 可能接受，也可能拒绝 C. 必拒绝 D.不接受，也不拒绝 正确答案：A 三、判断题（每题 2 2 分，共 0 10 分) ) 1. 若 则 则 A A 与 与 B B 互不相容。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 窗体底端 2. 设 ，则 F F ( ( x) 为连续型随机变量的分布函数。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 3. 是总体 的样本，且 则 ( ) 正确答案 A

5、.对 B.错 正确答案：A 4.若 若 X X 与 与 Y Y 相互独立，则 X X 与 与 Y Y 不相关；反之亦成立。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 5. 在假设检验中，记 为备择假设，则称 “ 不真时，接受 ” 为犯第一类错误。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A 题 四、计算题（每题 10 分，共 30 分） 1 每箱产品有 10 件, 其中次品数从 0 到 到 2 是等可能的。开箱检验时, 依次从中抽取两件(不 不重复), 如果发现有次品, 则拒收该箱产品。试计算: （1）一箱产品通过验收的概率； （2）已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有 2 个次品的

6、概率。 正确答案： 解：设 =“每箱产品中含有 件次品” B=“一箱产品通过验收” 则 ， 且 （1）由全概率公式得 （2） 2 独立地将一枚质地均匀的硬币连抛三次，以 表示三次中出现正面的次数， 表示三次中正、反两面次数差的绝对值。 求 （1） 和 的联合概率分布和边缘概率分布；（2） . 正确答案： 解： （1） 的联合概率分布为 即 （2）由联合概率分布可求得 和 的边缘概率分布为 所以可求得 3 设随机向量 的密度函数 求（1）参数 的值; （2）X 和 Y 的边缘密度函数，并判断 X 和 Y 的独立性； （3） ，其中区域 D 是直角坐标平面上以点(0,0)，(3,0)，(0,2)为

7、顶点构成的三角形区域。 正确答案： 解：（1）由 （2） X 与 Y 相互独立 （3） 题 五、综合应用题（每题 10 分，共 20 分） 1 某公司的老年人寿有 1 万人参加, 每人每年交 200 元。若老人在该年内死亡,属 公司付给家属 1 万元。 假设老年人死亡率为 0.017, 试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率。 正确答案： 解：设 X 表示一年内死亡的老年人数，则 ， ， 由拉普拉斯中心极限定理知，X 近似服从正态分布 由题意即求 2 设总体 ， 为来自总体X 的样本， 为样本值，试求 的最大似然估计，并验证其最大似然估计量是 的无偏估计量。 正确答案： 解： 解得：最大似

8、然估计值为 最大似然估计量为 六、分析题（10 分） 1 一自动车床加工零件的长度服从正态分布 ，车床正常工作时，加工零件长度为 的均值为 10.50 厘米。经过一段时间后，要检验这机床是否工作正常，为此随机抽取了该的 车床加工的 31 个零件，测得其平均长度为 11.08 厘米，标准差为 0.516 厘米。若加工零件长度的方差不变，问在显著性水平 下，此车床是否工作正常？ （附表： ） 正确答案： 解： 设 X 表示加工零件的长度，则 选用枢轴量 在 成立时， 对于 ， 由 ，得拒绝域 对于 故应拒绝 ，即认为该车床工作不正常。 一、填空题（每题 2 2 分，共 0 20 分） 1. 观察某

9、地区未来 3 天的天气情况，记 表示“有 天不下雨”， 用事件运算的关系式表示：“三天均不下雨” “三天中至多两天不下雨” 。 正确答案： ， 2. 一箱产品中有 10 个正品和 4 个次品，随意地每次从中取出一个（不放回），则第三次取到次品的概率是 。 正确答案： 3.两事件 与 相互独立，且满足 ， ，则 。 正确答案： 0.4 4. 设随机变量 X 的分布函数为 ，则 A= ，B= 。 正确答案： ， 5. 某元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为 1000 小时，则 3 个这样的元件同时使用 1000小时后至少损坏两个的概率为 。 正确答案： (或 0.6936) 6. 随机变量 ，

10、则由切比雪夫不等式有 。 正确答案： 7. 已知随机变量 X 和 Y 的协方差矩阵为 ，则 = 。 正确答案： ， 10 8. 设总体 X 服从正态分布 ，其中 未知，现取得样本容量为 36 的一个样本，则 的 0.95 的置信区间的长度为 。 正确答案： 1.96 9. 设总体 ， 是来自总体的样本， 为样本均值，则 ， 正确答案： 10. 设随机变量 ,则 Y 的概率密度函数为 。 正确答案： 二、选择题（每题 2 2 分，共 0 10 分） 1.以 以 A A 表示事件 “ 甲种 产品畅销，乙种产品滞销 ” ，则其对立事件 为 ( ) 。 正确答案 A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”

11、B. “甲、乙两种产品均畅销” C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销” 正确答案：D 2. 设随机变量 X X 的概率密度为 则区间 (a,b) 是（）。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：A 3. 设二维随机向量 ，则下列结论中错误的是（）。 正确答案 A. ， B.X 与 Y 相互独立的充分必要条件是 C. D. 正确答案：D 4. 设 为 的无偏估计量，且 则 必为 的 ( ) 。 正确答案 A. 无偏估计 B. 有偏估计 C. 一致估计 D. 有效估计 正确答案：B 5. 设样本 取自正态总体 ， 分别为样本均值和样本标准差，则( ) 。 正确答案 A.

12、 B. C. D. 正确答案：C 三、判断题（每题 2 2 分，共 0 10 分) ) 1. 概率为 1 1 的事件一定是必然事件。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 2. 连续型随机向量（X X ，Y Y ）的分布函数 一定是 上的连续函数。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A 3. 若 X X 和 Y 不相关，则有 。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 4. 若随机变量 ，则 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 5. 在假设检验中，显著型水平 越小，则犯第一类错误的概率就越小。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A 四、计算题（

13、每题 0 10 分，共 0 30 分） 1 1 某超市销售一批照相机共 0 10 台，其中有 3 3 台次品。某顾客去选购时，超市已售出 2 2 台，该顾客从余下的 8 8 台中任意选购一台，求: : （1）该顾客购到正品的概率； （2）若已知顾客购到的是正品，则已售出的两台都是次品的概率是多少？ 正确答案： 解：设 =“售出的 2 台照相机中含 台次品” B=“顾客购到正品” 则 且 （1）由全概率公式得 （2） 2 2 独立地将一枚质地均匀的硬币连抛三次，以 表示前两次中正面出现的次数， 表示三次中正面出现的次数。 求 （1） 和 的联合概率分布和边缘概率分布；（2） . 正确答案： 解：

14、（1） 的联合概率分布为 即 和 的边缘概率分布为 （2）由联合概率分布边缘概率分布可求得 3 3 设随机 向量 的密度函数 求（1）参数 的值; （2）X 和 Y 的边缘密度函数，并判断 X 和 Y 的独立性； （3） 。 正确答案： 解：（1）由 （2） X 与 Y 不相互独立 （3） 五、综合应用题（每题 0 10 分，共 0 20 分） 1 1 甲、乙两电影院在竞争 名观众，假设每位观众随机等可能地选择两影院，且彼此相互独立，问甲影院至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 ？ 正确答案： 解：设甲影院应设 n 个座位才满足要求，且设 X 表示选择甲影院的观众数。 则 ，

15、 ， 由拉普拉斯中心极限定理知，X 近似服从正态分布 由题意知： 即 则 从而得 ，取 . 故甲影院至少应设 537 个座位，才能使观众因无座而离去的概率小于 1% 2 2 一个电子仪器的失效时间 T （小时）的概率密度函数为（ ， ）设随机检验了 n 个电子仪器的失效时间为 ，样本观测值为 .求未知参数 的最大似然估计值与最大似然估计量。 正确答案： 解： ， 解得：最大似然估计值为 ， 最大似然估计量为 ， 六、分析题（0 10 分） 1 1 某电器厂生产的一 种云母片，由长期生产的数据知道，云母片的厚度服从正态分布，厚度的均值为0.13mm 。今在某天生产的云母片中，随机抽取了 10 片

16、，分别测得其厚度，计算得厚度的平均值为 0.146mm ，标准差为 0.015mm 。问该天生产的云母片厚度的均值与往日是否有显著差异？（ ） （附表： ） 正确答案： 解： 选用枢轴量 在 成立时， 对于 ， 由 得拒绝域 对于 故应拒绝 ，即该天生产的云母片厚度的均值与往日有显著差异。 题 一、填空题（每题 2 分，共 20 分） 1. 10 件产品中有 3 件次品，随机从中抽取两件，至少抽到一件次品的概率为 。 正确答案： 2. 在区间 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 的概率为 。 正确答案： 3.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率

17、分别为 0.5、0.6、0.8 ，则至少有一人中靶的概率为 。 正确答案： 0.96 4. 设连续型随机变量 的概率密度函数为 则 。 正确答案： 1 5. 设 ，且 与 相互独立，则 = 。 正确答案： 0.08 6. 已知随机变量 ， 则 = 。 正确答案： 13 7. 设 是总体参数 的估计量，若 ，则称 是总体参数 的无偏估计量。 正确答案： 8. 设总体 ，其中 未知，则利用同一样本得到 的 90%与 95%的置信区间长度之比为 。 正确答案： 41 : 49 (或 0.84) 9. 设总体 服从正态分布 ， 是总体的样本，则 。 正确答案： 10. 非负连续型随机变量服从的分布具有

18、无记忆性特征，则它服从 分布。 正确答案： 指数 题 二、选择题（每题 2 分，共 10 分） 1.设 设 为两随机事件，且 ， , 则必有( ) 。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：A 2.设 设 分别为连续型随机变量 的密度函数和分布函数，则正确的是（）。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D 3.设 设 为一随机变量，若 ，则正确的是（）。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：B 4. 设样本 取自正态总体 ， 已知， 未知，则下列随机变量不是统计量的是 ( ) 。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C 5. 设样本 取自正态总体 ， 分别为样本均

19、值和样本标准差，则正 确的是 ( ) 。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：D 题 三、判断题（每题 2 分，共 10 分) 1. 若随机事件 与 相互独立，且 ，则 与 一定相容。( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A 2.若 若 ， ， ，那么 一定服从二元正态分布。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 3. 总体均值 的 的 95% 置信区以 间的意义是指这个区间以 95% 的概率含 的真值 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A 4. 设随机变量 与 为 分别服从参数为 2 和 和 3 的泊松分布，则 为 服从参数为 5 的泊松分布。 ( ) 正确

20、答案 A.对 B.错 正确答案：B 5. 在假设检验中，记 为备择假设，则称“ 不真时，接受 ” 为犯第二类错误。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 题 四、计算题（每题 10 分，共 30 分） 1 对有 50 名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机地点 10 位同学的名字，如果从 没有缺席，则评该班级考勤情况为优。假定班上学生的缺席人数从 0 到 到 2 是等可能的，求： （1）该班级考核为优的概率； （2）若已知该班级考核为优，则该班实际上全勤的概率为多少？ 正确答案： 解：设 “班级缺席 人”， 则 ， 记 “班级考核为优” 则 （1）由全概率公式得 （2） 2 一批

21、产品共 10 件，其中 7 件正品，3 。 件次品。 每次从中任取一件，取后不放回，直到取到正品为止，所需抽取次数记为 ，求 （1） 的概率分布；（2） 的分布函数 ；（3） 正确答案： 解： （1）所需抽取次数 的可能取值为 1，2，3，4，且其概率分布为 ； ； ； . 即 （2） 3 设随机向量 的密度函数 求（1）参数 的值; （2） 和 的边缘密度函数，并判断 与 的独立性； （3） 。 正确答案： 解：（1）由 （2） , X 与 Y 相互独立 （3） 题 五、综合应用题（每题 10 分，共 20 分） 1 用同一机器包装味精，每袋味精净重为随机变量，期望值为 100 克，标准差为

22、 10 克，装 一箱内装 200 袋味精，应用中心极限定理求一箱味精净重大于 * 克的概率。 正确答案： 解：设 表示第 袋味精的净重， ，则 独立同分布 且 ， ， 由中心极限定理知， 近似服从正态分布 则 2 总体 的概率密度函数为 （其中 ）设是取自总体的样本， 为样本值。求未知参数 的最大似然估计值与最大似然估计量。 正确答案： 解： ， 解得：最大似然估计值为 ，最大似然估计量为 六、分析题（10 分） 1 某工厂用自动生产线生产金属丝，假定金属丝的折断力 （单位：N ）服从正态分布，为 其平均值为 580N 时认为合格。某日开工后，抽取 9 根作折断检测，测得其样本均值为575.7

23、6 ，样本方差为 86.02 ，试问：此自动生产线是否工作正常？（ ） ） （附表： ） 正确答案： 解： 设 X 表示金属丝的折断力，则 ，其中 未知 选用枢轴量 在 成立时， 对于 ， 由 ，得拒绝域 对于 故应接受 ，即可认为此自动生产线工作正常。 题 一、填空题（每题 2 分，共 20 分） 1. 袋中装有 7 个白球，3 个黑球，从中一次任取两个，则取到的球的颜色不同的概率为 。 正确答案： 2. 在区间 中随机地取两个数，则这两个数之和小于 的概率为 。 正确答案： 3.加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为 0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出

24、废品是独立的，则经过三道工序生产出的是废品的概率为 。 正确答案： 0.316 4. 设连续型随机变量 的概率密度函数为 ，则 。 正确答案： 5. 设 ， ，且 与 相互独立，则 。 正确答案： 6. 已知随机变量 ， 则 = 。 正确答案： 13 7. 设 和 是总体参数 的两个无偏估计量，若 ，则称 比 有 效。 正确答案： 8. 设总体 ，其中 未知，则利用同一样本得到 的 90%与 95%的置信区间长度之比为 正确答案： 41 : 49 9. 设总体 服从正态分布 ， 是总体的样本，则 正确答案： 10. 一个取正整数值的随机变量，如果具有无记忆性，则它一定服从 分布。 正确答案：

25、几何 题 二、选择题（每题 2 分，共 10 分） 1.设 设 为两随机事件，且 ， , 则必有( ) 。 正确答案 A. 是必然事件 B. C. D. 正确答案：D 2.设 设 分别为连续型随机变量 的密度函数和分布函数，则错误的是（）。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：B 3. 设随机变量 和 相互独立，且均服从区间 0 ，3 上的均匀分布则（）。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：B 4. 设样本 取自正态总体 ， 分别为样本均值和样本标准 差，则服从 分布的随机变量是( ) 。 正确答案 A. B. C. D. 正确答案：C 5. 在假设检验中，记 为备择假设，则

26、称 ( ) 为犯第一类错误。 正确答案 A. 不真时，接受 B. 真时，接受 C. 真时，拒绝 D. 不真时，拒绝 正确答案：A 题 三、判断题（每题 2 分，共 10 分) 1. 设样本空间 ，随 机事件 ，则 。 。( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 2.若 若 ， ， ，且 与 相互独立，那么 一定服从二元正态分布。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：A 3. 连续型随机向量 的概率密度函数 一定是 上的连续函数 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 4.若 若 与 则 相互独立，则 X 与 与 Y 一定不相关。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案

27、：A 5. 如果 是 的无偏估计量， 是 是 的函 数，则 一定是 的无偏估计量。 ( ) 正确答案 A.对 B.错 正确答案：B 题 四、计算题（每题 10 分，共 30 分） 1 10 个乒乓球中有 6 个新球,4 个旧球, 第一次随机地抽出 2 个球, 用毕放回, 第二次又任意出 取出 2 个球。试求： （1）第二次取到 2 个新球的概率有多大? （2）若发现第二次取到的是 2 个新球,计算第一次没有取到新球的概率. 正确答案： 解：设 则 （1）由全概率公式得 （2） 2 假设袋中有编号为 1 ，2 ，3 ，4 ，5 的 的 5 个球。今从中任取 3 个，用 的 表示取出的 3个球中的

28、最大号码。求 （1） 的概率分布；（2） 的分布函数 ；（3） 正确答案： 解：（1） 的可能取值为 3，4，5，且其概率分布为 ； ； . 即 （2） .4 3 设随机向量 的密度函数 求（1）参数 的值; （2） 和 的边缘密度函数，并判断 与 的独立性； （3） 。 正确答案： 解：（1）由 （2） 相互独立。 （3） 题 五、综合应用题（每题 10 分，共 20 分） 1 用同一机器包装食盐，每袋食盐净重为随机变量，期望值为 500 克，标准差为 10 克，装 一箱内装 100 袋食盐，应用中心极限定理求一箱食盐净重大于 * 克的概率。 正确答案： 解：设 表示第 袋食盐的净重， ，则

29、 相互独立同分布， 且 ， ， 由中心极限定理知 则 2 总体 的概率密度函数为 ( 其中 )设 设是取自总体的样本， 为样本值。求未知参数 的最大似然估计值与最大似然估计量。 正确答案： 解： ， 解得：最大似然估计值为 ，最大似然估计量为 六、分析题（10 分） 1 市质检局接到投诉后，对某金商进行质量调查。现从其出售的标志 18K 的项链中抽取 取 9 件项链，对其含金量进行检测，测得样本均值为 17.5 ，样本标准差为 0.7416 。假定项链的含金量 （单位：K ）服从正态分布 为 ，其平均含金量为 18K 时认为合格。试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？（ ） ） （附表： ） 正确答案： 解： 选用枢轴量 在 成立时， 对于 ，