1、 2013考研数学模拟试卷三【数三】解析一、选择题(1)解:首先由,得。又因为在的某邻域内有二阶连续导数,于是。其次,根据极限保号性,在的某去心邻域内必然有,即在两侧变号,于是为曲线的拐点。(2)C解:由导数的几何意义,应选(C)(3) A 解:令 (4)解:因为,所以,而,由夹逼定理得原极限为零。(5) D 解:说法都不正确,对于(D),由相似知, (6)解:设,由已知条件有。即为方程组的非零解。由于线性无关,所以方程组系数阵的秩为3,所以其基础解系为1个解向量,从而向量组的秩为1。(7)解:,即。(8) C解:因,从而,故,即选(C)二。、填空题(9) 解:令,原方程变为方程两边对求导得再
2、两边对求导得,即由得,故(10)1解:因为 ,令其中 ,得 ,则 (11);解:介于与之间,即或,由夹逼定理,得(12)解:;(13) 【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】解:由,知的特征值为,相似矩阵具有相同的特征值,所以的特征值也为,故相似的标准形为(14)解:由易得X与Y的联和分布律为 YX01-1011,故三、解答题(15)解:(I)若要在处连续,必须,即故,为任意实数时,在处连续。(II)若要在处可导,则必须在处连续(),且所以所以,时,在处可导(16)解:,切线方程为,与轴的交点坐标为。 切线旋转后的旋转体体积为,曲线转转后的旋转体的体积为。 此容器的质量为。容器内
3、表面积为。 (17)解:(1)令, 则。 (2)。,。因为,所以单调增加。又因为,所以存在唯一的,使得。当时,;当时,所以为在上唯一的最小点。 (18)证明:由于在上可导,知在上连续,从而在上连续.由积分中值定理,知存在一点使得在上,由罗尔定理得至少存在一点使,即,. (19)解:由,有,在条件,即,中令得,于是满足一阶线性微分方程.通解为,由分部积分公式,可得,所以.注:也可由,满足的偏微分方程,直接得到满足的常微分方程.由,令,上式转化为常微分方程,所以,得满足的微分方程.(20)解:() 二次型的矩阵由是的特征值,有得到. 由矩阵的特征多项式得到矩阵的特征值是,.对,解齐次方程组得基础解
4、系,对,解齐次方程组得基础解系.因为不正交,故需Schmidt正交化,有,.再单位化,得,那么令,则在正交变换下,有() 条件,即.而可知在条件的极小值,即在条件下的极小值.由于,所以.而极小值点是.()因为矩阵的特征值:7,7,-2.所以,那么的特征值为:-14,-14,49.从而的特征值为,.因此,时,正定.(21)解:(1)由得。 。 又得。 (2)的特征值为0,0,3。 对应的特征向量为;对应的特征向量为, 令,则有。 (22)解: (1)联合分布律为VU01PU=i001PV=j1(2)从1中看出EU=,DU=,EV =,DV=EUV=PU=1,V=1=Cov(U,V)=-*=(23)解(1)又故所以的矩估计量 (2) 似然函数.取对数所以的极大似然估计量为 9