1考研数学模拟卷数三3答案.doc
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2013考研数学模拟试卷三【数三】解析
一、选择题
（1）
解：
首先由，得。
又因为在的某邻域内有二阶连续导数，于是。
其次，根据极限保号性，在的某去心邻域内必然有，即在两侧变号，于是为曲线的拐点。
（2）C
解：
由导数的几何意义，应选（C）
（3）A
解：
令
（4）
解：
因为，
所以，
而，由夹逼定理得原极限为零。
（5）D
解：
说法都不正确，对于（D）,由相似知，
（6）
解：
设，由已知条件有。
即为方程组的非零解。
由于线性无关，所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，从而向量组的秩为1。
（7）
解：
，
即
。
（8）C
解：
因～，从而～，～
故～，即选（C）
二。
、填空题
（9）
解：
令，原方程变为
方程两边对求导得
再两边对求导得，即
由得，故
（10）1
解：
因为，令其中，得，
则
（11）；
解：
介于与之间，即或，由夹逼定理，
得
（12）
解：
；
（13）【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】
解：
由，知的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值也为，故相似的标准形为
（14）解：
由易得X与Y的联和分布律为
Y
X
0
1
-1
0
1
1
故
三、解答题
（15）解：
（I）
若要在处连续，必须，即
故，为任意实数时，在处连续。
（II）若要在处可导，则必须在处连续（），且
所以
所以，时，在处可导
（16）解：
，
切线方程为，
与轴的交点坐标为。
切线旋转后的旋转体体积为，
曲线转转后的旋转体的体积为。
此容器的质量为。
容器内表面积为
。
（17）解：
（1）令，
则
。
（2）。
，。
因为，所以单调增加。
又因为，所以存在唯一的，使得。
当时，；当时，，所以为在上唯一的最小点。
（18）证明：
由于在上可导，知在上连续，从而在上连续.由积分中值定理，知存在一点使得
在上，由罗尔定理得至少存在一点使
，
即，.
（19）解：
由，有
，
在条件，即，中令得，
于是满足一阶线性微分方程.
通解为，
由分部积分公式，可得，
所以.
注：
也可由，满足的偏微分方程，直接得到满足的常微分方程.
由，
令，上式转化为常微分方程，
所以，
得满足的微分方程.
（20）解：
（Ⅰ）二次型的矩阵
由是的特征值，有
得到.
由矩阵的特征多项式
得到矩阵的特征值是，.
对，解齐次方程组得基础解系
，
对，解齐次方程组得基础解系.
因为不正交，故需Schmidt正交化，有
，.
再单位化，得
，，
那么令，则在正交变换下，有
（Ⅱ）条件，即.而
可知在条件的极小值，即在条件下的极小值.
由于，
所以.而极小值点是
.
（Ⅲ）因为矩阵的特征值：
7,7,-2.所以，那么的特征值为：
-14,-14,49.从而的特征值为，，.因此，时，正定.
（21）解：
（1）由得。
。
又得。
（2）的特征值为0，0，3。
对应的特征向量为；对应的特征向量为，
令，则有。
（22）解：
（1）
联合分布律为
V
U
0
1
P{U=i}
0
0
1
P{V=j}
1
（2）从1中看出
EU=，DU=，EV=，DV=
EUV=P{U=1，V=1}=
Cov（U，V）=-*=
（23）解
（1）
又
故
所以θ的矩估计量
（2）似然函数
.
取对数
所以θ的极大似然估计量为
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