最新广义积分的收敛判别法.docx

1、最新广义积分的收敛判别法广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在a, + ）上的广义积分Skip Record If.收敛的充分必要条件是：Skip Record If., 存在A0, 使得b, Sk

2、ip Record If.A时，恒有Skip Record If.证明：对Skip Record If.Skip Record If.使用柯西收敛原理立即得此结论同样对瑕积分Skip Record If.(Skip Record If.为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在a,b)上有定义，在其任何闭子区间a, bSkip Record If.上常义可积，则瑕积分Skip Record If.收敛的充要条件是: Skip Record If. , Skip Record If., 只要01,那么积分Skip Record If.收敛，如f(x)Skip R

3、ecord If.Skip Record If.，pSkip Record If.1,则积分Skip Record If.发散其极限形式为定理9.9 如Skip Record If.Skip Record If. (Skip Record If., p1), 则积分Skip Record If.收敛如Skip Record If.Skip Record If., 而Skip Record If., Skip Record If.Skip Record If.1, 则Skip Record If.发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。(1) Skip Record If.(2) Skip R

4、ecord If. (m0, n0)解：（1）因为0Skip Record If.Skip Record If. Skip Record If.由Skip Record If.收敛推出Skip Record If.收敛（2）因为Skip Record If.Skip Record If. 所以当nm1时，积分Skip Record If.收敛. 当nmSkip Record If.1时，积分Skip Record If.发散对于瑕积分，使用Skip Record If.作为比较标准，我们有下列柯西判别法定理9.10设x=a是f(x)在a,bSkip Record If.上的唯一奇点，在其任意闭

5、区间上可积,那么（1）如0Skip Record If.f(x)Skip Record If.Skip Record If. (c0), p0), pSkip Record If.1, 则Skip Record If.发散瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11 设Skip Record If.如0Skip Record If.kSkip Record If., p1, 则Skip Record If.收敛如0kSkip Record If.Skip Record If., pSkip Record If.1, 那么Skip Record If.发散例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。

6、(1) Skip Record If. (k20)解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 Skip Record If.Skip Record If. =Skip Record If.由Skip Record If.知瑕积分收敛（2）0与Skip Record If.都是被积函数的瑕点先讨论Skip Record If. 由Skip Record If.Skip Record If.知: 当p1时, 瑕积分Skip Record If.收敛; 当pSkip Record If.1时,瑕积分Skip Record If.发散再讨论 Skip Record If.因Skip Record If.Sk

7、ip Record If.所以当 q1时, 瑕积分Skip Record If.收敛，当qSkip Record If.1时，瑕积分Skip Record If.发散综上所述，当p1且q1时, 瑕积分Skip Record If.收敛; 其他情况发散例9.10 求证: 若瑕积分Skip Record If.收敛，且当Skip Record If.时函数f(x)单调趋向于+Skip Record If.，则Skip Record If.x f(x)=0.证明：不妨设Skip Record If., f(x)Skip Record If.0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。已知Skip Re

8、cord If.收敛，由柯西收敛准则，有Skip Record If., Skip Record If.(Skip Record If.1), Skip Record If.有Skip Record If.从而0Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.或00), 当Skip Record If.Skip Record If.时收敛当Skip Record If.Skip Record If.时发散.证明:Skip Record If.Skip Record If.=Skip Record If.Skip Record If.=Skip Reco

9、rd If.Skip Record If.所以当3Skip Record If.1时，即Skip Record If.Skip Record If.时，瑕积分收敛当3Skip Record If.Skip Record If.1，即Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.时，瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单调，则存在Skip Record If.a,b使Skip Record If.

10、=Skip Record If.为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况引理9.1设f(x)在a, b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可积，则存在cSkip Record If.a,b，使 Skip Record If.=f(a)Skip Record If.证明：作辅助函数Skip Record If.= f(a)Skip Record If. 对a,b的任一分法P: a=x0x1x2A0时, 有 g(x)|Skip Record If.于是，对Skip Record If.有 Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If. Skip

11、 Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.+Skip Record If.=Skip Record If.由Cauchy收敛原理知Skip Record If.收敛例9.12 讨论广义积分Skip Record If.的敛散性，解：令f(x)=Skip Record If., g(x)=cosxSkip Record If.则当xSkip Record If.时，f(x)单调下降且趋于零，F(A)= Skip Record If.=Skip Record If.在a,Skip Record If

12、.Skip Record If.上有界由Dirichlet判别法知Skip Record If.收敛，另一方面Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.因Skip Record If.发散，Skip Record If.收敛从而非负函数的广义积分Skip Record If.发散由比较判别法知Skip Record If.发散，所以Skip Record If.条件收敛例9.13 讨论广义积分Skip Record If.的敛散性解：由上一题知，广义积分Skip Record If.收敛, 而arctanx在a, +Skip Record If.

13、Skip Record If.上单调有界，所以由Abel判别法知Skip Record If.收敛。另一方面, 当Skip Record If.时, 有Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.前面已证Skip Record If.发散由比较判别法知Skip Record If.发散, 所以Skip Record If.条件收敛.对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法定理9.14若下列两个条件之一满足，则Skip Record If.收敛：（b为唯一瑕点）（1）（Abel判别法）Skip Record If.收敛, g(x

14、)在a,Skip Record If.Skip Record If.上单调有界(2) (Dirichlet判别法) Skip Record If.=Skip Record If.在a, Skip Record If.Skip Record If.上有界, g(x) 在(Skip Record If.Skip Record If.上单调, 且Skip Record If.证明: (1) 只须用第二中值定理估计 Skip Record If. 读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明.(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.例9.14 讨论积分 Skip Record If. (0pSkip Record If.2) 的敛散性解: 对于0p1 , 因为 Skip Record If. 由Skip Record If.收敛