最新广义积分的收敛判别法.docx
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最新广义积分的收敛判别法
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．
定理9.1（Cauchy收敛原理）f（x）在[a,+∞）上的广义积分«SkipRecordIf...»收敛的充分必要条件是：
«SkipRecordIf...»,存在A>0,使得b,«SkipRecordIf...»>A时，恒有
«SkipRecordIf...»
证明：
对«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为瑕点）,我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f（x）在[a,b）上有定义，在其任何闭子区间[a,b–«SkipRecordIf...»]上常义可积，则瑕积分«SkipRecordIf...»收敛的充要条件是:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,只要0<«SkipRecordIf...»，就有
«SkipRecordIf...»
定义9.5如果广义积分«SkipRecordIf...»收敛，我们称广义积分«SkipRecordIf...»绝对收敛（也称f（x）在[a,+«SkipRecordIf...»上绝对可积];如«SkipRecordIf...»收敛而非绝对收敛，则称«SkipRecordIf...»条件收敛，也称f（x）在[a,+«SkipRecordIf...»上条件可积．
由于«SkipRecordIf...»，均有
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．
定理9.3如果广义积分«SkipRecordIf...»绝对收敛，则广义积分«SkipRecordIf...»必收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．
比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+«SkipRecordIf...»）上恒有«SkipRecordIf...»（k为正常数）
则当«SkipRecordIf...»收敛时,«SkipRecordIf...»也收敛;
当«SkipRecordIf...»发散时,«SkipRecordIf...»也发散．
证明：
由Cauchy收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5设f（x）,g（x）均为[a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使
«SkipRecordIf...»[a,b）,则
1）如«SkipRecordIf...»收敛，则«SkipRecordIf...»也收敛。
2）如«SkipRecordIf...»发散，则«SkipRecordIf...»也发散．
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
定理9.6如果f（x）,g（x）是[a,+«SkipRecordIf...»上的非负函数,且«SkipRecordIf...»则
（1）如果«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»收敛,则积分«SkipRecordIf...»也收敛．
（2）如果«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»发散，则积分«SkipRecordIf...»也发散．
证明：
如果«SkipRecordIf...»则对于«SkipRecordIf...»,存在A,
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»
即«SkipRecordIf...»成立.显然«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»同时收敛或同时发散，在l=0或l=«SkipRecordIf...»时，可类似地讨论.
使用同样的方法，我们有
定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»如果f（x）,g（x）是非负函数，且«SkipRecordIf...»则
（1）当«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»收敛时，则«SkipRecordIf...»也收敛．
（2）当«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»发散时，则«SkipRecordIf...»也发散．
对无限区间上的广义积分中，取«SkipRecordIf...»作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：
设f（x）是[a,+«SkipRecordIf...»的函数，在其任意闭区间上可积,那么:
定理9.8 若0«SkipRecordIf...»f（x）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，p>1,那么积分«SkipRecordIf...»收敛，如f（x）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，p«SkipRecordIf...»1,则积分«SkipRecordIf...»发散．
其极限形式为
定理9.9如«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»,p>1）,则积分«SkipRecordIf...»收敛．
如«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,而«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»1,则«SkipRecordIf...» 发散.
例9.8判断下列广义积分的收敛性。
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»（m>0,n>0）
解：
（1）因为0«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»收敛推出«SkipRecordIf...»收敛．
（2）因为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»所以当n－m>1时，积分«SkipRecordIf...»收敛.当n－m«SkipRecordIf...»1时，积分«SkipRecordIf...»发散．
对于瑕积分，使用«SkipRecordIf...»作为比较标准，我们有下列柯西判别法．
定理9.10 设x=a是f（x）在[a,b«SkipRecordIf...»上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么
（1）如0«SkipRecordIf...»f（x）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（c>0）,p<1,则«SkipRecordIf...»收敛．
（2）如f（x）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（c>0）,p«SkipRecordIf...»1,则«SkipRecordIf...»发散．
瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为
定理9.11设«SkipRecordIf...»
如0«SkipRecordIf...»k<«SkipRecordIf...»,p<1,则«SkipRecordIf...»收敛
如0例9.9判别下列瑕积分的敛散性。
（1）«SkipRecordIf...»（k2<1）
（2）«SkipRecordIf...»（p,q>0）
解：
（1）1是被积函数的唯一瑕点
因为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»知瑕积分收敛．
（2）0与«SkipRecordIf...»都是被积函数的瑕点．
先讨论«SkipRecordIf...»由«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
知:
当p<1时,瑕积分«SkipRecordIf...»收敛;当p«SkipRecordIf...»1时,瑕积分«SkipRecordIf...»发散．
再讨论«SkipRecordIf...»
因«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
所以当q<1时,瑕积分«SkipRecordIf...»收敛，
当q«SkipRecordIf...»1时，瑕积分«SkipRecordIf...»发散．
综上所述，当p<1且q<1时,瑕积分«SkipRecordIf...»收敛;其他情况发散．
例9.10求证:
若瑕积分«SkipRecordIf...»收敛，且当«SkipRecordIf...»时函数f（x）单调趋向于+«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»xf（x）=0.
证明：
不妨设«SkipRecordIf...»,f（x）«SkipRecordIf...»0,且f（x）在（0,1）上单调减少。
已知«SkipRecordIf...»收敛，由柯西收敛准则，有
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»<1）,«SkipRecordIf...»有
«SkipRecordIf...»
从而
0<«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
或
0即«SkipRecordIf...»xf（x）=0.
例9.11求证瑕积分«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»>0）,当«SkipRecordIf...»<«SkipRecordIf...»时收敛
当«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»时发散.
证明:
∵«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
所以当3«SkipRecordIf...»<1时，即«SkipRecordIf...»<«SkipRecordIf...»时，瑕积分收敛．当3«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»1，即«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»时，瑕积分发散．
前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．
定理9.12（积分第二中值定理）设g（x）在[a,b]上可积，f（x）在[a,b]上单调，则存在ξ«SkipRecordIf...»[a,b] 使
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．
引理9.1设f（x）在[a,b]上单调下降并且非负，函数g（x）在[a,b]上可积，则存在c«SkipRecordIf...»[a,b]，使
«SkipRecordIf...»=f（a）«SkipRecordIf...»
证明：
作辅助函数«SkipRecordIf...»=f（a）«SkipRecordIf...»对[a,b]的任一分法
P:
a=x0我们有
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
由此得到
|«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»|
=|«SkipRecordIf...»|
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»△xi
这里L是|g（x）|在[a,b]的上界,«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的振幅，从这个估计式可知,当«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»时,应当有
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
我们来证明
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
为此，引入记号
G（x）=«SkipRecordIf...»
并作如下变换
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...» （«SkipRecordIf...»）
=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
因为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
所以
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»{«SkipRecordIf...»}«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
同样可证
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
我们证明了不等式
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
现令|p|«SkipRecordIf...»,取极限，就得到
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
因此，存在c«SkipRecordIf...»[a,b]，使得
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...» （因为«SkipRecordIf...»在［«SkipRecordIf...»］上是连续函数）
也就是«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»证毕
下面我们证明定理9.12
证明：
如f（x）是单调下降的，则f（x）－f（b）单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c«SkipRecordIf...»[a,b«SkipRecordIf...»,使
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
即
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
对f（x）单调上升的情形，可作类似讨论.
使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法
定理9.13 若下列两个条件之一满足，则«SkipRecordIf...»收敛
（1）（Abel判别法）«SkipRecordIf...»收敛，g（x）在[a,«SkipRecordIf...»]上单调有界;
（2）（Dirichlet判别法）设F（A）=«SkipRecordIf...»在[a,«SkipRecordIf...»]上有界，g（x）在[a,«SkipRecordIf...»上单调,且«SkipRecordIf...»g（x）=0.
证明：
（1）«SkipRecordIf...»,设|g（x）|«SkipRecordIf...»M，«SkipRecordIf...»[a,«SkipRecordIf...»）,因«SkipRecordIf...»收敛，由Cauchy收敛原理，«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»
由积分第二中值定理，我们得到
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
再由Cauchy收敛原理知«SkipRecordIf...»收敛
（2）设M为F（A）在[a,+«SkipRecordIf...»上的一个上界，则«SkipRecordIf...»,显然有
«SkipRecordIf...»
同时,因为«SkipRecordIf...»g（x）=0，所以存在«SkipRecordIf...»,当x>A0时,有
g（x）|<«SkipRecordIf...»
于是，对«SkipRecordIf...»有
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
由Cauchy收敛原理知«SkipRecordIf...»收敛
例9.12讨论广义积分«SkipRecordIf...»的敛散性，
解：
令f（x）=«SkipRecordIf...»,g（x）=cosx«SkipRecordIf...»
则当x«SkipRecordIf...»时，f（x）单调下降且趋于零，
F（A）=«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»在[a,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»上有界．
由Dirichlet判别法知«SkipRecordIf...»收敛，
另一方面
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
因«SkipRecordIf...»发散，«SkipRecordIf...»收敛
从而非负函数的广义积分«SkipRecordIf...»发散
由比较判别法知«SkipRecordIf...»发散，
所以«SkipRecordIf...»条件收敛
例9.13讨论广义积分«SkipRecordIf...»的敛散性．
解：
由上一题知，广义积分«SkipRecordIf...»收敛,而arctanx在[a,+«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»上单调有界，所以由Abel判别法知«SkipRecordIf...»收敛。
另一方面,当«SkipRecordIf...»时,有
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
前面已证«SkipRecordIf...»发散
由比较判别法知«SkipRecordIf...»发散,所以«SkipRecordIf...»条件收敛.
对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法
定理9.14若下列两个条件之一满足，则«SkipRecordIf...»收敛：
（b为唯一瑕点）
（1）（Abel判别法）«SkipRecordIf...»收敛,g（x）在[a,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»上单调有界
（2）（Dirichlet判别法）«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»在[a,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»上有界,g（x）在（«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»上单调,且«SkipRecordIf...».
证明:
（1）只须用第二中值定理估计
«SkipRecordIf...»
读者可以仿照定理11.2.8
（1）的作法完成
（1）的证明.
（2）读者可以仿照定理11.2.8
（2）的作法完成
（2）的证明.
例9.14讨论积分«SkipRecordIf...»（0解:
对于0«SkipRecordIf...»
由«SkipRecordIf...»收敛
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