小波34--向量空间.ppt

1、小波分析,第二章 向量空间,2023/5/1,2,基本内容,基本内容：1.向量空间。2.度量空间。3.范数。4.内积。5.正交性。,2023/5/1,3,1.向量空间,定义1.一个向量空间是一个集合V=vi,加上一个数集A=ai,在该集合上定义了两种运算以及7条性质。1.两个向量可以相加得到第三个向量；2.一个数可以与一个向量相乘得到第三个向量；此两种运算满足如下性质：1）v1+v2=v2+v1 2）v1+（v2+v3）=（v1+v2）+v3 3）a(v1+v2)=av1+av2 4)(a1+a2)vi=a1vi+a2vi5)(a1 a2)vi=a1(a2vi),2023/5/1,4,1.向量

2、空间,6)1*vi=vi7)存在唯一的向量v0 称为零向量，对所有向量vi,满足0*vi=v0.例2.1 考虑所有三角波v(t)=at,0t1的集合。问下面哪一个是向量空间。1）a是区间-1,1内的任意实数。2）a为任意复数。3）a为任意实数。,2023/5/1,5,1.向量空间,例2.2 令X是所有可能的波形集合，下面X的子集那一个是向量空间？1）由方波，正弦波、三角波和随机波形构成的子集。2）所有方波构成的子集。,2023/5/1,6,1.向量空间,例2.3 设X是所有31的矩阵构成的集合，问下面那一个子集构成向量空间？a)所有形如x=a,b,0的矩阵，其中a,b为任意实数。b)所有形如x

3、=a,b,2的矩阵，其中a,b为任意实数。c)所有满足Ax=0,0,0的矩阵x，其中A为33矩阵。,2.度量空间,定义2.2 一个度量空间（X,d）是在其上定义了函数d:XXR的集合X，该函数将每一对元素a和b，映射到一个数d(a,b)0上，并具有如下性质：i）d(a,b)=0 当且仅当 a=bii)d(a,b)=d(b,a)(对称性)iii)d(a,b)d(a,c)+d(c,b)(三角不等式),2.度量空间,例2.4 对任意非空集合X，定义a)判断它是否是一个度量b)令X=R,求a=1,b=1.5,c=1.5 之间的距离。,2.度量空间,例2.5 在区间a,b上定义如下四种度量：试求v1(t

4、)=0.5t,v2(t)=-t之间的四种距离（p=3),2.度量空间,例2.6 对于离散时间波形，类似定义四种度量：并求v1(n)=4,v2(n)=n+1的度量，0n3,p=3。,3.范数,定义2.3 设v=vi是一个向量空间，定义v的长度|v|是一个满足下列三个条件的映射，|：XR，并称之为范数。1）|v|=0，当且仅当 v=v0(零向量)2）|av|=|a|v|对所有vV，aA成立。3）|v1+v2|v1|+|v2|,3.范数,例2.7 由所有定义在a,b上连续波形vi(t)构成集合的四种范数定义如下：求v1(t)=0.5t和v2(t)=-t 的范数，0t1,p=3,3.范数,例2.8 由

5、所有定义在0nN-1上的离散波形vi(n)构成集合的四种范数如下：并求v1(n)=4,v2(n)=n+1的范数，0n3,p=3。,4.内积,定义2.4 符号表示内积或点积运算，对所有aiC和向量viV,该运算满足如下4个性质：i）=*ii)=+iii)=a*iv)0,当且仅当 v1=v0时等号成立。特别:|v|=,v1和v2夹角a满足：,4.内积,若V中向量,v1=a1,a2,an,v2=b1,b2,bn则标准内积为：例2.10 求下面两个向量的内积，长度和距离,4.内积,例2.11 求下面两个向量x与y的内积，长度和它们的距离。,4.内积,四类信号内积：1.连续时间能量信号：2.连续时间功率信号：周期信号：3.离散时间能量信号：,4.内积,4.离散时间功率信号周期信号：例2.12 求两个复指数信号的内积，范数和它们的距离。v1(t)=ejwt,v2(t)=ej2wt,5.正交性,若两个向量内积为0，则称它们是正交的，柯西不等式例2.13 说明柯西不等式对例2.10中两个矩阵成立。,